浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.9 公式法解一元二次方程及根的判别式（知识讲解）（附参考答案）

专题2.9公式法解一元二次方程及根的判别式（知识讲解）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】知识点一一元二次方程根的求根公式一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值确定公式中a,b,c的值，注意符号；求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根一元二△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根根的判别式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根【典型例题】类型一、解一元二次方程➽➼公式法➽➼运算1．用公式法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】按照公式法的一般步骤：先把式子化为一般式，找到a，b，c，先算，再带入求根公式求解即可．解：（1）∵，∴，∴，即；方程化为一般形式，得，这里，∴，，∴原方程的解为．【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式，是解决本题的关键．举一反三：【变式1】公式法解方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．解：（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．【点拨】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．【变式2】用公式法解下列方程：（1）；

（2）．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）先找出abc，再求出b2-4ac的值，最后代入公式求出即可．（2）先移项，找出abc，再求出b2-4ac的值，最后代入公式求出即可．解：（1）∵

∴

∴

∴，即，令A＝ab，B＝，C＝ab．∵

∴

，∴

，，∴

，．【点拨】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．类型二、解一元二次方程➽➼公式法✮✮配方法2．解方程：（用两种方法解）【答案】，【分析】方法一：配方法；方法二：直接用求根公式求解即可．解：方法一：解得，∴方程的解为，；方法二：，解得，∴方程的解为，；【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握解一元二次方程的方法．举一反三：【变式1】解下列方程：x2+2x﹣4＝0（配方法）；(2)3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）先把常数项移到等号的另一边，配方后利用直接开平方法求解；（2）先确定二次项、一次项系数及常数项，代入求根公式即可．(1)解：移项，得x2+2x＝4，配方，得x2+2x+1＝5，∴（x+1）2=5，∴，∴，．(2)解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟记求根公式及配方法的技巧，掌握配方法及公式法解一元二次方程的步骤是解题关键．【变式2】解方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用配方法，首先将常数项移项，再配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方求出即可；（2）利用公式法直接代入求出即可．解：（1）（2）∴∴【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、配方法的解题步骤是解题的关键．类型三、解一元二次方程➽➼公式法➽➼根的判别式➽➼判定一元二次方程根的情况3．用判别式判别下列方程根的情况（不要求解方程）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)方程有两个不相等的实数根(2)方程有两个相等的实数根(3)方程没有实数根【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；（2）利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；（3）先将原方程整理为一元二次方程的一般式，然后利用一元二次方程根的判别式进行判断即可．（1）解：，∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根；（2），∵，∴，∴方程有两个相等的实数根；（3），整理为：，∵，∴，∴方程没有实数根．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于的一元二次方程：若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，方程没有实数根；是解本题的关键．举一反三：【变式1】利用一元二次方程的根的判别式判别下列方程根的情况：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)有2个不等的实数根；(2)没有实数根；(3)有2个相等的实数根【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解；（2）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解；（3）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．解：（1）∵，∴∴原方程有2个不等的实数根，（2）∵，∴∴原方程没有实数根，（3）∵，∴∴原方程有2个相等的实数根，【点拨】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．【变式2】已知关于x的方程．请你判断方程的解的情况；(2)若等腰三角形ABC的一边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．【答案】(1)方程有两个实数根；(2)5【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断出方程的解的情况；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出的周长．解：（1）由题意知：，∵，即，∴方程有两个实数根；（2）当时，，则，方程化为，解得，∴的周长；当或时，把代入方程得，解得，方程化为，解得，，不符合三角形三边的关系，此情况舍去；综上所述，的周长为5．【点拨】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．注意：在判别式中，①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．类型四、解一元二次方程➽➼公式法➽➼根的判别式➽➼证明4．已知关于x的一元二次方程．求证：此方程总有两个实数根；若此方程的两根的差为2，求k的值．【答案】(1)见解析；(2)1或【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，进而可证出方程总有两个实数根；（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程解之即可．（1）证明：∵，∴此方程总有两个实数根；（2）解：由（1）知，，∴，∴，，∵若此方程的两根的差为2，∴或，解得：或；∴k的值为1或．【点拨】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式：．举一反三：【变式1】已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0．求证：方程有两个不相等的实数根；如果方程的两实根为x1，x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）只要证明恒成立即可；（2）由题意得，，进行变形后代入即可求解．（1）证明：∵恒成立，∴方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系：，，∴，解得，，即．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握知识点是本题的关键．【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．【答案】(1)见解析；(2)m的值为4或3【分析】（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论；（2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．类型五、解一元二次方程➽➼公式法➽➼根的判别式➽➼求参数的取值范围5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根．求m的取值范围；若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值．【答案】(1)全体实数；(2)m＝﹣1【分析】（1）由Δ＞0得到关于m的不等式，解之得到m的范围；（2）将x=1代入原方程即可求出m值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5＞0，∴m的取值范围是全体实数．（2）将x＝1代入原方程，1﹣（2m+1）+（m﹣1）＝0，解得：m＝﹣1．【点拨】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=b2-4ac≥0”是解题的关键．举一反三：【变式1】已知关于的一元二次方程．若，解这个方程；若该方程有实数根，求的取值范围．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）把代入，得到，再解这个方程即可；（2）根据该方程有实数根，由根的判别式可求的取值范围．（1）解：∵关于的一元二次方程，∴当时，方程为，∴，∴，．∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：．∴的取值范围为．【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程和一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式用表示，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．【变式2】关于x的方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围；当k取最大整数值时，求方程的两个根．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则Δ=>0