初中七年级数学 集合与不等式 常用逻辑用语（原卷版）

努力的你，未来可期!

第一篇集合与不等式

专题1.02常用逻辑用语

【考试要求】

1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意

义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；

2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；

3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.

【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件

P是q的充分不必要条件pnq且q今p

p是q的必要不充分条件p方q且qnp

P是q的充要条件p=q

P是q的既不充分也不必要条件p今q且q分p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个''等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“V”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号叼”表示.

3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为「p,读作“非p”)

全称命题特称命题

形式

结构对M中的任意一个X,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立

简记VxeM,p(x)3XQGM,p(xQ)

-1

否定SxoeM,p(x0)VxeM,p(x)

【微点提醒】

1.区别A是B的充分不必要条件(A=B且B±*A),与A的充分不必要条件是B(B=A且A歩B)两者的不同.

2.A是B的充分不必要条件是一1A的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论

【疑误辨析】

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1.判断下列结论正误（在括号内打或"x"）

（1）若已知p：x>l和q：x>l,则p是q的充分不必要条件.（）

（2）“长方形的对角线相等”是特称命题.（）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.（）

【教材衍化】

2.（选修2—IP26A3改编）命题“VxeR,X2+XN0”的否定是（）

A.3xOGR,xo2+xo<OB.3x0GR,x02+x0<0

C.VxGR,x2+x<0D.VxWR,x2+x<0

3.（选修2—1P12A4改编）圆（x—a）2+（y—b）2=t2经过原点的一个充要条件是.

【真题体验】

4.（2015•全国I卷）设命题p：3nGN,n2>2n,则—%为（）

A.VnGN,n2>2nB.SnEN,n202n

C.VneN,n2<2nD.Sn^N,n2=2n

丄1

5.（2018・天津卷）设x£R,贝厂x-24'是'*3〈1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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6.(2019•济南调研)“a=0”是“函数f(x)=sinx-x+a为奇函数”的条件

【考点聚焦】

考点一充分条件与必要条件的判断

【例1】⑴(2018・北京卷)设a,b均为单位向量，则“|ar3bl=l3a+b|”是“a丄肢的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2mx+l,X>0,

(2)(2019・华大新高考联盟质检)设函数f(x)=11八则"m>l是f[f(-1)]>4”的()

—x—x，xvO.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【规律方法】充要条件的两种判断方法

⑴定义法：根据p=q,q=p进行判断.

(2)集合法：根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

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【训练1】（2018•浙江卷）己知平面a,直线m,n满足m<ta,nca,则“m〃n"是"01〃01”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点二充分条件、必要条件的应用》典例迁移

【例2］（经典母题）已知P={xlx2—8x—20W0},非空集合S={xll—mWxWl+m}.若xWP是xdS的必要条

件，求m的取值范围.

【迁移探究1】本例条件不变，若xdP是xWS的必要不充分条件，求m的取值范围.

【迁移探究2】本例条件不变，若xdP的必要条件是xWS,求m的取值范围.

【迁移探究3】本例条件不变，问是否存在实数m,使xWP是xWS的充要条件？并说明理由.

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【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等

号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

(3)数学定义都是充要条件.

【训练2】(2019・临沂月考)设p：实数x满足X2—4ax+3a2<0,aGR；q：实数x满足x2—x—6$0或X2+

2x—8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

考点三全称量词与存在量词

角度1全(特)称命题的否定

【例3—1](1)命题“VnGN*,f(n)CN*且f(n)Wn”的否定形式是()

A.VnGN*,f(n)隹N*且f(n)>n

B.VnGN*,f(n)任N*或f(n)>n

C.3n0eN*,f(n0)eN*且fg)〉丁

D.3n0£N*,f(n0)把N*或

(2)(2019•德州调研)命题Fx°WR,l<f(Xo)W2”的否定形式是()

A.VxGR,l<f(x)<2

B.3x0£R,l<f(x0)<2

C.3x0eR,f(x0闫或f(x0)>2

D.VxeR,氏x闫或f(x)>2

角度2含有量词(V、小的参数取值问题

X

【例3—2】(经典母题)已知f(x)=ln(x2+l),g(x)=G)-m,若对Vxf[0,3],3x2G[l,2],使得f(x1)>g(x2),

则实数m的取值范围是.

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【迁移探究】若将“水22[1,2厂改为"八2^[1,2『，其他条件不变，则实数m的取值范围是.

【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一

是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否

定只需直接否定结论.

2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

【训练3】（2019•衡水调研）已知命题p：VxER,Iog2（x2+x+a）>0恒成立，命题q：3xoe[—2,2J,2a<2x0,

若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为.

【反思与感悟】

1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

⑴定义法

（2）利用集合间的包含关系判断：设厶=壇©仪）｝,B=｛xlq（x）｝；

①若AUB,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

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②若A^B,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若A=B，则p是q的充要条件.

2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量

词，否结论”.

【易错防范】

1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.

【核心素养提升】

逻辑推理、数学运算——突破双变量”存在性或任意性''问题

逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量”存在性或任意性''问题关键就

是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，

目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.

类型1形如“对任意xfA,都存在x?eB,使得g(X2)=f(x)成立”

191

【例1】已知函数f(x)=x3+(l—a)x2—a(a+2)x,g(x)="6'x—3,若对任意x〕e[―1,1],总存在x?G[0,

2],使得「依])+22*1=8類2)成立，求实数a的取值范围.

【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即”函

数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.

类型2形如“存在xlCA及x26B,使得f(xl)=g(x2)成立"

[2X3A-

<x+1，xw^2，1_,兀x

【例2】已知函数f(x)=1jrq函数g(x)=ksin^—2k+2(k>0),若存在xf[0,1]及x?

l—3x+&xc|_0,乱

G[0，1],使得f(xJ=g(X2)成立，求实数k的取值范围.

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【评析】本类问题的实质是“两函数f(X)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.

另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则"等价转化”策略是利用“f(X)的值域和g(x)的值域相等”

来求解参数的取值范围.

类型3形如“对任意xlGA,都存在x26B,使得f(xl)<g(x2)成立"

4「丄"

【例3】已知函数f(x)=x+Q,g(x)=2x+a,若1」,3x2G[2,3],使得网)用区)，则实数a的

取值范围是.

【评析】理解量词的含义，将原不等式转化为Ex)]maxW[g(x)]max,利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最

大值，得关于a的不等式求得a的取值范围.

思考1：在[例3]中，若把2*2右[2,3]”变为“Vx2d[2,3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是.

问题“等价转化”为[f(x)]maxW[g(x)]min,请读者完成.

-1IF1

思考2：在[例3]中，若将例3]中1」”改为“本产区1」”，其它条件不变，则a的取值范围是

问题“等价转化”为f(x)min<g(x)max,请读者自行求解.

【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)

一、选择题

1.命题FxeZ,使x2+2x+mW0”的否定是()

A.SxGZ,使x2+2x+m>0

B.不存在xCZ,使x2+2x+m>0

C.VxGZ,使x2+2x+m^0

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D.VxGZ,使x2+2x+m>0

2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是（）

A.所有实数的平方都不是正数

B.有的实数的平方是正数

C.至少有一个实数的平方是正数

D.至少有一个实数的平方不是正数

3.设xeR,则“2-xNO”是“惧一1怪1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

也

4.（2019■焦作模拟）命题p：cos0=2，命题q：tan0=1,则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2017•浙江卷）已知等差数列｛aj的公差为d,前n项和为Sn，则“d>0”是“$4+S6>2$5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

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6.已知命题p；"VxC[O,1],aNex”,命题q：FxOGR,Xo2+4Xo+a=0”.若命题p和q都成立，则实数a的

取值范围是()

A.(4,+oo)B.[l,4]CJe,4]D.(-oo,-1)

7.（2017・北京卷）设m,n为非零向量，则“存在负数九，使得m=M”是“111-11<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.命题2）,x2-aW0”成立的一个充分不必要条件可以是（）

A.a>lB.a>lC.a>4D.a>4

二、填空题

9.直线x—y—k=0与圆（x—l"+y2=2有两个不同交点的充要条件是.

10.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的

条件.

11.已知“p：（x-m）2>3（x-m），奨“q：x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是.

12.设ndN*,一元二次方程X2—4x+n=0有整数根的充要条件是n=.

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【能力提升题组】