江苏省连云港市高级中学2022-2023学年高二年级上册期末考试数学模拟卷

连云港市2022-2023学年第一学期高二期末考试模拟卷02

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为兴助/=()

A.-1B.-3C.0D.2

1.8【分析】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及由两点求直线的斜率，此题属于基础题型.

首先根据斜率公式求直线48的斜率k,再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出y的值.

【解析】因为直线经过两点4(4,2y+l),8(2,-3),所以直线4B的斜率k=宅毕=y+2,

4—Z

又因为直线的倾斜角为华，所以/£=-1,所以y=-3.故选B.

2.在平面直角坐标系中，直线过点P(L2),且被圆0：V+y2=9截得的弦长为4及，则直线的方

程为()

A.31一4>+5=0B.3x+4y-ll=0

C.%=1或3x-4y+5=0D.x=l或3x+4y-ll=0

2.C【解析】由已知，圆心O到直线/的距离d=J到—(20了=囱二W=1，当直线的斜率不存在时，

此时直线的方程为x=l,满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=Z(x-l)+2,即

kx-y+2-k=0,由点到直线的距离公式得d=7再;=1,解得*=；,此时方程为y=.故选

C.

3.若点P为抛物线y=2/上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()

A.iB.JC.1D.2

842

3.A【分析】本题考查抛物线的定义、标准方程及几何性质，属基础题.

根据抛物线的定义，将|PF|转化为到准线的距离即可求解.

【解析】设抛物线上点P到准线的距离为d,则有|PF|=d,抛物线的方程为y=2/,

即/=%,其准线方程为y=7.当P在抛物线的顶点时，d有最小值:，即|PF|的最小值为"故选A.

Zooo

22

4.已知双曲线=1（“>0,人>0）的左、右焦点分别为耳，居，过耳作圆/+/=/的切线，交双曲

a~b

线右支于点M,若/耳M5=60。，则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±（3+百）xB.y=±2xC.y=D.y=±（l+百）x

4.C【解析】如图，作。AJ.-M于点A,63,6M于点8,因为与圆/+,2=/相切，

所以|Q4|=a,优用=2|Q4|=2a,忻@=28,在RtABMg中，N£M玛=60°,所以

|8知|=」型1=翠=友勺居必=生物.又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：

tan60°G31213

所以忸加|一出叫=|£邳+|91|一后陷=26+方^一勺兽=2。，整理得6=过户。，所以

2=过二叵，所以双曲线的渐近线方程为y=±北立x.故选C.

a33

5.已知等比数列｛即｝中，若4%,a3,2a2成等差数列，则公比q=（）

A.1B.—1或2C.3D.—1

5.B【分析】本题考查了等比数列的通项公式及等差中项的应用问题，是基础题.

根据三个数成等差数列列出等式，结合等比数列的通项公式，列出方程即可求出公比q的值.

【解析】设等比数列｛a"的公比为q（qH0），：4%,a3,2a2成等差数列，［2a3=2。2+4%,

•；a】#0,q2—q—2=0,解得q=2或q=-1.故选艮

6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减

一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其意思为：“有一个人走378里路，第一天

健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地则此人第4天和第5天

共走的路程为()

A.60里B.48里C.36里D.24里

6.C【分析】本题考查数学文化与等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.

根据题意可得每天行走的里程构成等比数列，求出首项，进而可求其第四五项的和.

【解析】设每天行走的里程数组成的数列为｛an｝，则数列｛an｝是公比为:的等比数列，

所以的+a2+-+a6="，了=378(里),故由=192(里)，所以a4+=192x盘+192x广36(里

)，

故选C.

7.下列求导运算正确的是()

A.(x4—)'=1H--B.(log,X)'=-----

XX2o-xln2

vrA2r

C.(3)=3log3eD.(xcosx)=-2xsinx

7.B【解析】因为+=1—],故A错；因为(log2X)'=£^,故B正确；

因为(3")'=3"In3,故C错；H(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx,故D错.故选B.

8.若过点(1,2)可作曲线y=/+ax的三条切线，则实数a的取值范围是()

A.(-3,-1)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(1,3)

8.C【分析】本题主要考查了导数的儿何意义，考查利用导数判断方程根的个数，以及利用导数研究函数

的极值，属于中档题.首先求函数在切点P(x0,以+a&)处的切线方程，在根据条件转化为函数9(为与丫=

a-2有3个交点，即可求参数的取值范围.

2

【解析】y'=3x+a,设切点P(&,端+ax0),所以在点P处的切线方程为y-(瑞+ax0)=(3就+a)(x—

&)，

因为切线过点(1,2),所以2-瑞-=(3瑞+a)(l-3，整理为2端-3瑞一a+2=0,

即a—2=2xg—3XQ,设g(x)=2x3—3x2,则g'(x)-6x2-6x=6x(x—1),

当0<x<l时，g'(x)<0；当x<0或x>l时，g'(x)>0,

所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(-8,0)和(1,+8)上单调递增，

则函数g(x)的极大值是g(0)=0,函数的极小值是g(l)=-1,

若函数90)与、=a-2有3个交点，则-l<a-2<0,即l<a<2.

实数a的取值范围是(1,2).故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线4：x+my—l=0,/2：0〃—2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是()

A.若则加=T或m=3B.若“〃2，则力=3

C.若/1_L，2，则加=—；D.若/[-L/?，贝=g

9.BD【解析】直线“〃2,则3-砥加-2)=0,解得加=3或m=—1，但加=一1时，两直线方程分别为

x—y—1=0,-3x+3y+3=O即x-y-3=0,两直线重合，只有机=3时两直线平行，A错，B正确；

则加一2+3帆=0，m=—,C错，D正确.故选BD.

-2

10.在等差数列｛〃“｝中，4+。9=14,4=3,则4o=

10.11【解析】由4+%=14,4=3,又｛%｝为等差数列，得%+“9=24+101=14,

=3,解得弓=2,1=1,则4()=q+9d=2+9=11.故答案为11.

11.等差数列｛4｝中，S,,为其前n项和，4=15,S5=SU,则以下正确的是()

A.d——2B.。6=-%

C.S”的最大值为S7D.使得S...O的最大整数〃=16

1MBD【分析】本题主要考查等差数列前n项和公式和通项公式，以及数列的函数特性.

设等差数列｛&｝的公差为d,根据％=15,S5=SI1(列出关于d的等式，可求d,进而表示出凡、S.,

从而对各个选项逐一分析即可得出结果.

【解析】设等差数列｛凡｝的公差为d,因为％=15,S5=S「

所以""11.15t1''"3,解得d=—2,故A正确；

22

所以〃-1"»2:fl12：,♦17,%=-2x6+17=5,，“|二2-11171,

所以有4=一41，故8正确;

令%=一2〃+17=0,解得〃=8.5,因为d<0,所以｛《,｝为递减数列，所以〃..9时，a“<0,&8时

,勺〉0,则〃=8时，S“最大，故C错误；

由于6"0-2-•而，令S“=-/+16〃..O,解得0<%16,

所以使得S,..0的最大整数是〃=16,故。正确.故选ABD.

12.阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究,

定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三

角形.设抛物线C：y=f上两个不同点4,8横坐标分别为用，x2)以A8为切点的切线交于尸点.则关

于阿基米德三角形P钻的说法正确的有()

A.若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上

B.若阿基米德三角形月45为正三角形，则其面积为空

4

C.若阿基米德三角形RW为直角三角形，则其面积有最小值,

4

D.一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积S=I*一人]

4

12.ABC【解析】由题意可知：直线AB一定存在斜率，所以设直线AB的方程为：y=kx+m,

由题意可知：点4天,才),8(々,石)，不妨设西<0<々，由y=Y?y2x,所以直线切线PAM的

2

方程分别为：y-X|=2xl(x-xl),y-%2=2X2(X-X2),

2_玉+々

y—x,=2x(x—x)

两方程联立得：'1"，解得：2,所以尸点坐标为：(N,中2),

y-x=2X(X-X)

222y=中2-

2

直线AB的方程与抛物线方程联立得：\2=>x-Ax-/n=O=>Xj+x2=k,x]x2=-m.

[y=x

A：抛物线C:旷=》2的焦点坐标为(0」)，准线方程为y=—L,

44

因为A3过抛物线的焦点，所以加=4，而%X2=-加=一,，

44

显然尸点一定在抛物线的准线上，故A选项正确；

B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有IPARP8I,

即_%）2+（石尤2-kA=/（芯一'A，

因为办工工2，所以化简得：西=一%2，此时A（X1,X；）,B（-X|,X；）,P点坐标为：（0,-X；）,

因为阿基米德三角形Q4B为正三角形，所以有|PA|=|A8|,所以

J（0-9）2+（f2-.）2=—2%n%=_曰，因此正三角形PAB的边长为6，

所以正三角形F4B的面积为百xVLsin60°=」x百x百、迫=当8,故B选项正确;

2224

C：阿基米德三角形廿LB为直角三角形，当R4_LPB时，

x}+x2X,

所以％k_1二\"一芯——,i

KpAMB—1=?2=-1"=-7

XjX2-x1

ik1

直线AB的方程为：y="+屋所以。点坐标为：（于一1）,点尸到直线A8的距离为:

2'4'4JIA3=—%2)2+(%；—君)2=J(%1—%2)2:+(为+:2)n

J.2+(-1)22

=J[(X[+々)2-4%%2][1+(项+/)2]，因为X|+w=k,g=一；，所以AB="(P+1)(1+左2)=]+左2,

因此直角以6的面积为：-X-Jk2+l-(k2+l)^-yl(k2+1)3>-,

2244

当且仅当A=（）时，取等号，显然其面积有最小值,，故C选项正确;

4

D:因为X]+毛=%,西％2~~m'所以

2

IAB1=J（X|一工2）2+（片—十；）2=J（X|一工2）"1+（%+々）2]=归一x2\\Jk+\,

点P到直线A3的距离为：

X.+X,.,

2.-左+(一1)•X1•%2+m’2--（X|+X2）+（1>%,工2（用工2）

1(3一切2

\jk~+(-1)2\Jk~+(-1)-2VF7T，

所以阿基米德三角形PAB的面积5=*寸匹！器43

4

故D选项不正确.故选ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线]:x+(，〃+l)y=2则当机=0时，直线的倾斜角为.

3兀3it

13.—【解析】当加=0时，l:x+y=2,斜率％=一1,所以直线的倾斜角为二.

44

14.双曲线工-f=1上的点F到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为_______.

2524一「一

14.21【分析】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的标准方程与定义的应用，属于基础题.

由双曲线的定义求解即可.

【解析】a2=25,)2=24,:.c2=a2+b2=49,.'.a=5,c=7,

22

,•双曲线三一士=1上的点F到一个焦点的距离为11,设点F到另一个焦点的距离为x,可知X..2,

2524

由双曲线的定义，得"112“山，解得x=21或x=l(舍去，故答案为21.

2222

15.已知椭圆二+J=1与双曲线二一上=1有共同的焦点，则〃2=_______.

2516m5

15.4【分析】本题考查双曲线与椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.

求出椭圆的焦点坐标，然后利用双曲线的焦点坐标列出关系式求解即可.

X2V2X2222

【解析】椭圆一+J=1的焦点坐标(±3,0),椭圆一+2=1与双曲线二一匕=1有共同的焦点，

25162516m5

可得m+5=9,解得〃2=4.故答案为4.

,若函数f(X)与3,4])的图象上

16.已知函数〃尤)一〃1r+3,g(x)=-5x-41n—

6x

至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是

,4])的图象上至少存在一对关于x轴对称的点,

【解析】函数/'(x)与

L2」1Le

等价于/'(%)+g(x)在1，4上有零点，

令/?(x)=F'(x)+g(x)=—x2-zn-5x-41n—=—x2--m-5x+41nx

2x2

则/(%)=—+&=,所以在[上，

(1)(1)/i,(x)>0,〃(x)单调递增，

o

在［1,4］上，/Z(x)<0,单调递减，则/z(x)<7z(l),又力(1)=-加一展

_j=22—"?--------4,/?（4）=81n2—12,

因/?（4）_〃Q）=81n2_8+3_J<0,又〃（4）<〃Q）,则〃（x）N〃（4）,

9

所以〃（4）=81n2—加—12W0①〃（1）=一根一^20②

99

解得81n2—故答案为8ln2-12,--

22

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知圆C的圆心在无轴正半轴上，且圆C与y轴相切，点P(2,4)在圆C上

(1)求圆C的方程;

(2)若直线/：(〃7+l)x+y+m+4=0与圆C交于A,B两点，且|AB|=8,求实数机的值.

17.【解析】(1)由题意设圆心坐标为C(a,O),a>Q,半径「=。，

因为点尸在圆上，所以|PC|=r,即(a—2)2+(0—4『=标，a>Q

解得：a=5,所以圆C的方程为：(x—5『+>2=25；

|5（/??+l）+m+4||6m+9|

(2)由(1)得圆心(5,0)到直线/的距离4=

2=,半径厂=5,

JW+1）+1++1

所以弦长\AB\=2〃一储=2,25-储，即8=2,25-屋,

\6m+9|

整理得：d2=9.即4=3,所以Jm+iy+i=3'整理3机2+10机+7=0,

77

解得：加=一二或一1,都符合题意，所以"，的值-二或—1.

33

22

18.已知双曲线Ci：工-匕=1

412

(1)若点M(3,/)在双曲线Ci上，求M点到双曲线G右焦点的距离;

(2)求与双曲线G有共同渐近线，且过点(-3,2卡)的双曲线C2的标准方程.

18.【解析】(I)双曲线C”二一匕=1的右焦点为(4,0),

412

9

点M(3,/)在双曲线G上，可得理=12(--1)=15,

则M点到双曲线G右焦点的距离为1币5=4；

(2)与双曲线Ci有共同渐近线，可设双曲线C2的方程为三-t=胆(机翔，*1),

412

9241

代入点(-3,2-y6),可得〃尸-----,

4124

则双曲线C2的标准方程为PE=I.

3

19.记5,是等差数列｛”“｝的前”项和，若§5=-35,S7=-21.

(1)求｛%｝的通项公式，并求S“的最小值；

(2)设2=||,求数列｛或｝的前n项和却

19.(1)设｛6,｝的公差为d,则5q+个”=一35,7“+早”=-21,

:.Oy=-15,d=4,.1a”=—15+4(〃-1)=4〃—19.

ia

由a“=4〃-19..0得〃…a，,〃=1，2.3,4时a“<0,〃..5时，a“>0,

Sn的最小值为S4=4q=—36.

(2)由(1)知，当44时，h„=\an\=-an-,

2

.5时，bn=|an|=an,S1t=1d=2"-17",

当〃,4时，T„=-S„=nn-2n2.

当〃..5时，7；=S“-2s4=2〃2-17〃+72,

,丁=4,

""|2n2-17n+72.n..5.'

20.数列｛an｝的前n项和为Sn,4=1,an+]=2Sn+1,等差数列｛2｝的公差大于0.已知S2=b2+1,且

4为2,々成等比数列.

(1)求数列仅“｝的通项公式；

,1、

(2)求数列｛丁二｝的前〃项和7.

20.【解析】(1)因为4+i=2S,+l,所以a“=2S,i+l("N2),

所以4用一=(2Sn+l)-(2S„_,+1)=2an,即an+t=3a„(n>2),

当〃=1时，々=2SI+1=3,所以4=3%,所以｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列,

所以勺=3一

(2)设｛4｝公差为d,由邑=瓦+1,得a=3,

因为乙也也成等比数列，所以q=仇打，即(3-")(3+3砌=9,

解得d=2或d=O(舍去)，所以4=1,所以仇=2〃-1.

…，1_1

所以T~i=:rjz77>

b„bn+｝(2n-l)(2/?+l)

1111、

因为----------------(z-------------),

(2n-l)(2n+l)22〃-12〃+1

所以小；［(/+(；］)++(+-*力4(1-£)=端.

21.已知函数f(x)=-^-+\nx.

e

⑴若a=e,求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)求函数“X)的极值点个数.

21.【解析】(1)依题意，/(力=一5+:,故/⑴=0,

又/(1)=0,故所求切线方程为y-l=0.

心\a1ex-ax1(ex、

(2)依题意/(x)=--+—=-=----a.

exxeeI