福建省高中数学竞赛预赛试题

2021年全国高中数学联赛〔福建省赛区〕预赛

暨2021年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

〔考试时间：2021年5月21日上午9：00-11：30,总分值160分〕

一、填空题〔共10小题，每题6分，总分值60分。请直接将答案写在题中的横线上〕

1.集合A={x|<1},S={x||.r-a|<2},假设那么实数a的

取值范围为。

【答案】(-1,5)

【解答】由log(x-l)<l,得0<x—1<2,l<x<3,A=(l,3)。

2

由|x-ci|<2,得-2<x—a<2,a—2<x<a+2,B=(a—2,a+2)。

假设AcB=0,那么a+2<l或a—2»3,1或aN5。

时，a的取值范围为(-1,5)。

2./(x)是定义在R上的奇函数，且函数y=/(x+l)为偶函数，当-IWXWO时，/(x)=x3,

那么/(|-)=。

【答案】-

8

【解答】由函数y=/(x+l)为偶函数，知/(—x+l)=/(x+l)。

又/(x)为奇函数，

/(x+2)=f(-x)=-f(x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x)o

A心=心=-(寺=|。

3.{a}为等比数列，且aa=1,假设/(%)=_1_,那么

"120171+X2

f(a)+/(a)+/(«)++/(a)=_______________。

1232017

【答案】2017

【解答】由/(月=二知，/(x)+/(l)==+^_=:+J=2。

1+X2X1+X2]+(1)21+举心+1

X

{a}为等比数列，且aa=1,

n12017

=

••aa—cici—cici——cia1o

12017220163201520171

，/(a)+/(a)=/(a)+/(a)=/(a)+/(a)==f(a)+/(a)=2。

12017220163201520171

2[f(a)+f(a)+f(a)+…+/(a。。)]

=[f(a)+f(a-)]+[/(«)+f(a')]+[,/(«)+f(a)]++[f(a)+/(«)]

12017220163201520171

1

=2x2017-

f(a)+f(a)+f(a)++f(a)=2017。

I232017

4.将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，那么甲班恰

好分到2个名额的概率为…o

【答案】-

7

【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同

分配方案有C3=35种。(用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3

7

块隔板，那么每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。)

其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有C2=10种。(相当于将6个名额分配个3个

5

班级，每班至少1个名额。)

所以，所求的概率为12=J

357

5.三棱锥P-A8C中，ZXABC是边长为2寿的等边三角形，PB=PC=^5,且二面角

尸-BC-A的大小为45。，那么三棱锥尸-ABC的外接球的外表积为。

【答案】25兀

【解答】如图，取8C中点。，连40,PD。

由△43C是边长为2道的等边三角形，PB=PC＜知,

AD1BC,PD1BC,PD=W。

NPDA为二面角P-BC-A的平面角，

ZPD4=45°,8。_1_面尸/10,面巳4。_1_面48。。

作P。_LA。于。，那么P。J,面ABCo

111

...PO=OD=1,0A=2,。为△ABC的外心，三A

1111

棱锥尸-ABC为正三棱锥。

设三棱锥P-ABC外接球的球心为0,半径为R0

2

那么。在直线上，且|PO-PO\+OA2=OA2o

...(R—1)2+22=R2,R=2,三棱锥尸―ABC的外接

2

球的外表积为471/?2=2571o

6.尸为双曲线C：丝-竺=1上一点，F、F为双曲线C的左、右焦点，M./分别

412।2

为△PFF的重心、内心，假设轴，那么尸产内切圆的半径为。

I212----------------------------------------

【答案】x/6

2

【解答】如图，不妨设点P在第一象限，D、E、产分别为。/与三边相切的切

12

点。

那么由切线长定理以及双曲线定义，得

2a=|PF|-|PF2\=(\PF|-»-|FF|)-(|P£|+|EF|)=|FF|-|EF^\FD|-|FD|

=(x+c)-(c-x)=2x

DDD

••x=a=2,x-x-x-2o

DM/D

设P(x,y),由M为4PFF重心，

00I2

x—3x=6,y=4^/G,O

0M0

|PF|=^(6+4)2+(476-0)2=14,

|?|=^(6-4)2+(476-0)2=10o

设△PF尸内切圆半径为r,那么

12

S=1(1PFl+lPFl+lFFI)xr=16ro

2i212

另一方面，

Sy化2。《8X4«=164。

16r=16^/6,r=声。

AA

7.在AABC中，内角A、3、C所对的边分别是4、b、c,且sinCcos_=(2—cosC)sin_,

22

3

cosA=—fQ=4,那么△ABC的面积为。

5---------------------

【答案】6

【解答】由5由。(：052二(2-(：0$。)§1112,知2sinCcos2—=2(2-cosC)sin—cos—。

22222

sinC(1+cosA)=(2-cosC)sinA,sinC+sinCcosA=2sinA-cosCsinA。

；・sinC+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,sinC+sin(C+A)=2sinA。

；・sinC+sinB=2sinA,艮|Jc+/?=2。。

3

34.cos4=—,6/—4o

5

3

.・•42=》2+c2-2bccosA,即42=枚+(8-。)2-2。(8-。)、g，解得~=3或b=5。

3

h=5

c=3

一ii4

△ABC的面积S=_hcsin4=_x3x5x_=6。

8.假设关于x的方程X2+ox+/?-3=0(a,bwR)在区间[1,2]上有实根，那么。2+(。-4)2

的最小值为。

【答案】2

【解答】由+办+。-3=0矢口，b=-X2-or+3o

(72+(/?-4)2=〃2+(-X2一办一1)2=〃2+(%2+1)2+2dX(X2+1)+Q2%2

=(X2+1)(X2+1+2OX+Q2)=(%2+1)(X+Q)2+工2+1。

V—[1,2],

42+(0-4)22x2+122,当x=l,a--\,/?=3时，等号成立。

...“2+S-4)2的最小值为2。

9.函数/(%)=727^7+712^7+的最大值为o

【答案】11

【解答】由柯西不等式知，

2x-712-x44-x

<(3+2+6)(+-----+-----)=112o

当日仅当/即一9_=_J_=_36_,x=8时等号成立。

(2x^72X—7n-x44-x

.../(x)的最大值为11。

10.A,B、。为圆。上不同的三点，且44。8=120。，点。在劣弧48内〔点C与A、B

不重合),假设OC=九。4+口03(A,,geR),那么无+日的取值范围为0

【答案】(1,2]

【解答】如图，连结0C交A8于点。。

设机灰刃必由优=九。A+R08,得

0D=tnk0A4-m|i0B。

*/4、。、3三点共线，

mk+myi=1,_&+日=—o

m

不妨设圆的半径为1,作于E,由4408=120。，知

4

OE=L

2

ODNOE=L,且点C在劣弧AB内（点C与4、8不重合）,

2

o于是，1<A，+LI<2O

2

九+N的取值范围为（1,2〕。

另解：如图，以。为原点，线段A8的垂直平分线所在直线为y轴建立直角坐标系。

不妨设圆。半径为2,那么由4405=120。，知4（一JT,I）,B（JT，1）。

设C(2cosa,2sina)o

那么由OC=入Q4+J1O8,得

(2cosa,2sina)=>(一寿，1)+日(寿，1)。

/.X+)LI=2sina。

点除劣弧工3内一「点。与A、8不重合)，

・・・30°<a<150°o

—<sina<1,X+u=2sinaG(1,2]o

2

1+N的取值范围为(1,2]。

5

二、解答题〔共5小题，每题20分，总分值100分。要求写出解题过程〕

11.假设数列5｝中的相邻两项。、a是关于x的方程通一〃x+c=0("=1,2,3,・・・)

的两个实根，且％=;n"+|“

(1)求数列%“｝的通项公式；

(2)设b=c”,求数列｛b｝的通项公式及｛b｝的前〃项的和T。

n2n-\nnn

(必要时，可以利用：12+22+32++〃2=〃(〃+1)(2〃+1))

6

【解答】(1)依题意，由韦达定理，得a+。=n,c-aao

nn+1nnn+l

/.(a+a)-(tz+a)=(n4-1)-n=1,BPa-a=10.......................5分

n+1n+2nn+1M+2n

a,a,a9,••；和q,a,a,…，都是公差为1的等差数列。

135246

又。=1,a=l—a=0o

12I

/.对弋keN*,a-k,a=%—1。

2k2k

—,〃为奇数

即a=«之0...................................10分

”二〃为偶数

/c、/■«、kr12/1—1+12〃一2/｛、

(2)由(1)知，b=c=aa=--------------------=〃(〃-1)="2一〃。

n2n-12H-12n22

..............................................15分

.T八八「、八cc、〃(九+1)(2〃+1)n(n+l)

・・T=(12+22+32++〃2)_(l+2+3++H)=———---------L-———I

〃62

“(〃一1)(拉+1)

--'O

3……

..............................................20分

6

12.椭圆C：E+21=l（a>b〉O）过点P（-2,1）,且离心率为"。过点尸作两条互

Q2b22

相垂直的直线分别交椭圆于A、8两点（A、B与点尸不重合）。求证：直线A8过定点，并

求该定点的坐标。

【解答】依题意，有3+_L=i,且£="从="。

a2b2aa2

解得。2=6,。2=3。

椭圆c的方程为『十几5分

易知直线A8斜率存在，设AB方程为y=kx+m。

y=kx+m

由<V2，得

——+--=1

163

(2^2+1)%2+^mkx+2iri2-6=0.......①

设A(q，DB(x2，y2),

4,欣2加2-6

那么X+XXX=---------

1:一一2左2+1122公+1

10分

由孙_1_尸3知，PAPB=0o

・・(尤+2)(x+2)+(y—1)(y—1)=(x+2)(九4-2)+(^kx+m—1)(/ex+fti-1)=0,

121212I2

即(攵2+l)xx+(km-k+2)(x+x)+加2—2m+5=0。

12-k12

.八］、2根2—6,,小、/4/nk、r厂八

••(氏2+l)x----------(kzm-k+2)x(------------)+〃?2-2m+5=0°

2攵2+12h+1

3m2-2>mk+4^2-2m-l=0o.......................15分

/.(36一2左+1)(初一2Z-1)=0。

由直线A3不过点P(—2,1),知加一2攵一I/O。

2121

/.3机一2女+1=0,m=—k--,直线A8方程化为y=日+.左一可。

21

・•・直线48过定点。(一1,一1)。.......................20分

7

13.如图，PA,BBC分别是圆。的切线和割线，其中A为切点，M为切线PA的中点,

弦40、8C相交于点E,弦延长线上的点R,满足NFBD=NFED。

求证：P、F、。三点共线的充分必要条件是M、B、。三点共线。

又点尸、尸均在直线48上，因此尸、F重合。

11

P、F、。三点共线。.........15分

(2)假设P、F、。三点共线。

设直线DB、AP相交于点M。

1

那么由塞瓦定理知，丝・竺.竺=1。

MPFDEA

PF_AE

EF//AP,

~FD~~ED

：.”_=1,AM=MP,M为Q4的中点

MP।ii

1

M、M重合。

1

/.M、B、。三点共线。

由(1)、(2)可得，P、F、。三点共线的充分必要条件是M、B、。三点共线。

20分

8

【解答二】由/与。=/FED知，B、F、D、

E四点共圆。

,ZAFE=NBDE。

由24为圆0的切线知，/BDE=4PAFo

/.ZAFE=NBDE=ZPAF。

：.EF//AP-.............................5分

（1）假设M、B、。三点共线。

连结BM、DP、DFo

A

NMDF=NBDF=NBEF=ZAPB□

ZMDF=ZMDPo

P、F、。三点共线。.............................15分

(2)假设尸、F、。三点共线。

设直线。8、AP相交于点"，那么NPDM=ZFDB=ZFEB=/MPB°

1i

又NPMB=NDMP，

11

・•・工MPBS/\MDP。

1I

・•・MP2=MBMD°

111

又MA2=MBMD,

11।

JMP2=MA29MP=MAO

i]ii

因此，M为的中点，M.M重合。

ii

・•・M、B、。三点共线。

由（1）、（2）可得，P、F、。三点共线的充分必要条件是M、B、。三点共线。

.........................20分

9

14.Q〉0,/(%)=ln(2x+l)+2or-4aei+4。

⑴当4=1时,求"X)的最大值;

(2)判断函数/(X)零点的个数，并说明理由。

【解答】⑴当。=1时，/(x)=ln(2x+l)+2x-4e.x+4,f'(x)----+2-4exo

2x4-1

X>-^■时，f'\x)--------4e*<0,

(2X+1)2

/(%)在(-(，+8)上为减函数。

又八0)=2+2-4=0,

-3<x<0时，八%)>0；x>0时，f'(x)<0o

，/(x)在区间(-3，0上为增函数，在［。，+8)上为减函数。

...a=l时，/(x)的最大值为/(0)=0。...............5分

24

(2)=----+2〃-4aet,/"(x)=---------4ae^

2x4-1(2x+1)2

当Q〉0,且无>一：时，f\x)<0c

二/'(X)在(-；，+8)上为减函数。

X—时，f'(x)—>+00;x->+8时，/(x)f-oo。

/'(X)存在唯一实根，设此根为X。

0

那么一l<x<x时，fix')>0；x>x时，fix')<0o

2oo

/•/(X)在区间，X°上为增函数，在，+8)上为减函数。

/(x)有最大值f(x)o

0

..........10分

①当。=1时，由(1)知，/(X)有唯一零点。

②当0<。<1时，由r(0)=2+2a—4a=2—2a>0知，x>0。

0

・•・/(七)>/(0)=-4。+4>0。

又时，/(X)-00;X-»+oO时，f(x)-^-00o

10

/(X)在区间(-“0，+8)内各有一个零点。

...当0<。<1时，/(x)有两个零点。.................15分

③当。>1时，由尸(0)=2—2。<0,知一L<x<0o

2o

22

由)—-----+2a—4ae%=0,知=------+2〃。

o2x+12x+1

00

2

・・♦/(x)=ln(2x+1)+2依-4cie\+4=ln(2x+1)4-lax-(--------+2a)+4

ooooo2x+1

21

—ln(2x+1)+2ax-..........—2〃+4,(——<x<0)0

。o2x+12。

、2

设g(x)=ln(2x+1)+2QX---------2Q+4。