2021-2022新教材苏教版数学必修第一册课时检测7.1.2弧度制WORD版含解析

课时跟踪检测（三十）弧度制[A级基础巩固]1．(2021·常州高一月考)学校操场上的铅球投掷落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为()A．0.6 B．6C．60 D．600解析：选A根据条件得，扇形半径为10，弧长为6，所以圆心角为eq\f(6,10)＝0.6rad.2．(2021·山东烟台高一月考)已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为2cm2，A．6cm B．3cmC．12cm D．8cm解析：选A设扇形的半径为Rcm，则弧长l＝Rcm，又因为扇形的面积为2cm2，所以eq\f(1,2)R2＝2，解得R＝2cm，故扇形的周长为6cm.故选3．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步＝1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为()A．135平方米 B．270平方米C．540平方米 D．1080平方米解析：选B根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×45×eq\f(24,2)＝270(平方米)．4．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，A．4cm B．6cmC．8cm D．10cm解析：选C由题意，设扇形所在圆的半径为R，则扇形的弧长为l＝4R，所以l＋2R＝4R＋2R＝6R＝12，解得R＝2，所以扇形的弧长为l＝4×2＝8(cm)．5.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行两步恰竿齐，五尺板高离地……”某教师根据这首词设计一题：如图，已知AB⊥l，CD⊥l，AE＝AC，CF⊥AE，CD＝5，BE＝2，FC＝3eq\r(3)，则弧eq\o(EC,\s\up8(︵))的长为()A．π B．eq\r(3)πC．2π D．eq\f(\r(3),2)π解析：选C由题意eq\r(AF2＋（3\r(3)）2)＝AF＋(5－2)，解得AF＝3，所以∠ACF＝eq\f(π,6)，∠FAC＝eq\f(π,3)，所以弧eq\o(EC,\s\up8(︵))的长为eq\f(π,3)×6＝2π.6．－105°化为弧度为________，eq\f(11π,3)化为角度为________．解析：－105°＝－105×eq\f(π,180)＝－eq\f(7,12)π，eq\f(11,3)π＝eq\f(11,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝660°.答案：－eq\f(7,12)π660°7．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．解析：因为135°＝eq\f(135π,180)＝eq\f(3π,4)，所以扇形的半径为eq\f(3π,Ｋ\f(3π,4)Ｋ)＝4，面积为eq\f(1,2)×3π×4＝6π.答案：46π8．若角α的终边与角eq\f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________．解析：如图所示，设角eq\f(π,6)的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，则以OB为终边且在0到2π之间的角为eq\f(π,3)，故以OB为终边的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|a＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)).∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(π,3)<4π，∴－eq\f(13,6)<k<eq\f(11,6).∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1.∴α＝－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3).答案：－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)9．集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(nπ,2)))，n∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2nπ±\f(2π,3)))，n∈Z))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2,3)))nπ，n∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝nπ＋\f(π,2)))，n∈Z))，求A与B的关系．解：法一：集合A，B中角的终边，如图所示．所以BA.法二：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(nπ,2)))，n∈Z))＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,2)，))k∈Z))；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2nπ,3)))，n∈Z))＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝2kπ±\f(2π,3)))，k∈Z)).比较集合A，B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B中的元素，所以BA.10．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α.则2r＋l＝4.根据扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr，得1＝eq\f(1,2)lr.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝4，,\f(1,2)lr＝1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2，))所以α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2.故所求圆心角的弧度数为2.[B级综合运用]11．(多选)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如图所示)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径等于4米的弧田．下列说法正确的是()A．“弦”AB＝4eq\r(3)米，“矢”CD＝2米B．按照经验公式计算弧田面积为(4eq\r(3)＋2)平方米C．按照弓形的面积计算弧田的实际面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16π,3)－2\r(3)))平方米D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米(参考数据：eq\r(3)≈1.73，π≈3.14)解析：选ABD由题意可得∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝4米，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2(米)，可得“矢”CD＝4－2＝2(米)，由AD＝AOsineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(米)，可得“弦”AB＝2AD＝4eq\r(3)(米)，所以弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2(平方米)．实际面积＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×42－eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2＝eq\f(16π,3)－4eq\r(3)(平方米)，eq\f(16π,3)－4eq\r(3)－4eq\r(3)－2≈0.9(平方米)．综上可知A、B、D正确，C错误．12.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150mm，从动轮N的直径为300mm，若主动轮M顺时针旋转eq\f(π,2)，则从动轮N逆时针旋转()A.eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．π解析：选B设从动轮N逆时针旋转θrad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以eq\f(150,2)×eq\f(π,2)＝eq\f(300,2)×θ，解得θ＝eq\f(π,4)，故选B.13．已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为________；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为________．解析：设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为2eq\r(3)r，∴|θ|＝eq\f(2\r(3)r,r)＝2eq\r(3)；又圆内接正方形的边长为eq\r(2)r，圆弧长为4eq\r(2)r，∴|θ|＝eq\f(4\r(2)r,r)＝4eq\r(2).答案：2eq\r(3)4eq\r(2)14.某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和线段AD，BC围成的．设圆弧eq\o(AB,\s\up8(︵))，eq\o(CD,\s\up8(︵))所在圆的半径分别为r1，r2(单位：米)，圆心角为θ(单位：弧度)．(1)若θ＝eq\f(π,3)，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？解：(1)花坛的面积S＝eq\f(1,2)×62×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×32×eq\f(π,3)＝eq\f(9,2)π(平方米)．(2)弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为r1θ米，弧eq\o(CD,\s\up8(︵))的长为r2θ米，线段AD的长为(r2－r1)米．由题意知60·2(r2－r1)＋90(r1θ＋r2θ)＝1200，即4(r2－r1)＋3(r2θ＋r1θ)＝40(*)．则花坛的面积S＝eq\f(1,2)req\o\al(2,2)θ－eq\f(1,2)req\o\al(2,1)θ＝eq\f(1,2)(r2θ＋r1θ)(r2－r1)．由(*)式知，r2θ＋r1θ＝eq\f(40,3)－eq\f(4,3)(r2－r1)，记r2－r1＝x，则0<x<10，所以S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,3)－\f(4,3)x))x＝－eq\f(2,3)(x－5)2＋eq\f(50,3)，x∈(0，10)，当x＝5时，S取得最大值，即AD＝5米时，花坛的面积最大．[C级拓展探究]15．如图，一长为eq\r(3)dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为eq\f(π,6)，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)解：在扇形ABA1中，圆心角恰为eq\f(π,2)，弧长l1＝eq\f(π,2)·AB＝eq\f(π,2)·eq\r(3＋1)＝π，面积S1＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·AB2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·4＝π.在扇形A1CA2中，圆心角也为eq\f(π,2)，弧长l2＝eq\f(π,2)·A1C＝eq\f(π,2)·1＝eq\f(π,2)，面积S2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·A1C2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·12＝eq\f(π,4).在扇形A2DA3中，圆心角为π－eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\