辽宁省丹东市东港菩萨庙中学高二数学文联考试题含解析

辽宁省丹东市东港菩萨庙中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．2.下列命题中正确的是（

）

A．的最小值是2

B．的最小值是2

C．的最小值是

D．的最大值是

参考答案：C3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）温馨提示：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%A．7614 B．6587 C．6359 D．3413参考答案：B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000﹣10000×0.3413=10000﹣3413=6587，故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．4.直线与函数的图像有三个相异的交点，则a的取值范围是A、

B、

C、

D、参考答案：A略5.设曲线y=x2﹣2x﹣4lnx的一条切线的斜率小于0，则切点的横坐标的取值范围是（） A．（﹣1，2） B． （﹣1，0）∪（2，+∞） C．（0，2） D．（0，+∞）参考答案：C略6.已知函数是R上的单调减函数且为奇函数，则的值（

）

A．恒为正数

B．恒为负数

C．恒为0

D．可正可负参考答案：A略7.平面区域如图所示，若使目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是(

)A． B．1 C． D．4参考答案：A【考点】正切函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】对目标函数z=x+ay（a＞0）变形为y=﹣x+，依题意可得﹣=kAB=﹣，于是可求得a的值．【解答】解：∵z=x+ay（a＞0），∴y=﹣x+，∵目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，∴﹣=kAB==﹣，∴a=，故选：A．【点评】本题考查线性规划问题，依题意得到得﹣=kAB=﹣是关键，考查转化思想．8.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是x45678910Y15171921232527

A

一次函数模型

B

二次函数模型

C

指数函数模型

D

对数函数模型参考答案：A略9.直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（）种．A．36 B．72 C．90 D．144参考答案：A【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得结果．【解答】解：由于ab已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有=6种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有6×6=36种，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________．参考答案：x2+y2=9；12.在（x－a）10的展开式中，x7的系数是15，则实数a=_____参考答案：1/213.已知实数，且函数有最小值，则=__________。参考答案：14.向量在向量方向上的投影为

．参考答案：3【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】计算题．【分析】先求向量，的夹角，再求向量在向量方向上的投影；【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）=5×=3，故答案为3；【点评】此题主要考查平面向量数量积的定义及其性质，注意向量积公式，是一道基础题；15.不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是．参考答案：（1，2）【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【分析】分析二次函数y=（x﹣1）（2﹣x）的图象和性质，可得不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）（2﹣x）的图象是开口朝上，且与x轴交于点（1，0），（2，0），故当1＜x＜2时，y=（x﹣1）（2﹣x）＞0，故不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是（1，2），故答案为：（1，2）16.过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为_________.参考答案：设右焦点为F′，则

∵，

∴，

∴E是PF的中点，

∴PF′=2OE=a，

∴PF=3a，

∵OE⊥PF，

∴PF′⊥PF，

∴（3a）2+a2=4c2，

∴.

17.已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）．现对这些点进行往返标数（从A→B→A→B→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）．如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2013都被标记到点上．则点2013上的所有标数中，最小的是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知A（﹣2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足．（1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．参考答案：【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），欲求点D的轨迹方程，即寻找x，y之间的关系式，利用向量间的关系求出P点的坐标后代入距离公式即可得；（2）设椭圆方程为，根据圆的切线性质及中点条件，利用待定系数法求出待定系数a，b即可．【解答】解：（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），则），，则，故．又代入中，整理得x2+y2=1，即为所求点D的轨迹方程．（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），①又设椭圆方程为，②a2﹣b2=4，因为直线l：kx﹣y+2k=0与圆x2+y2=1相切．故，解得．将①代入②整理得，（a2k2+a2﹣4）x2+4a2k2x+4a2k2﹣a4+4a2=0，③将代入上式，整理得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由线段MN的中点到y轴的距离为，||=，解得a2=8，或a2=，经检验，a2=8，此时③的判别式大于0．故所求的椭圆方程为．19.设函数定义在上，，导函数（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）求在上的最大值。参考答案：由条件

3分

4分

6分令

得到增区间为（

8分令

得到减区间为（

10分=-

12分当时，的最大值为

当时，的最大值为=a-1当时，的最大值为=

16分略20.已知函数.（1）当时，求函数f(x)在点处的切线方程；（2）若函数f(x)有两个不同极值点，求实数a的取值范围；（3）当时，求证：对任意，恒成立.参考答案：（1）（2）（3）见解析【分析】（1）当时,求导数，将切点横坐标带入导数得到斜率，再计算切线方程.（2）求导，取导数0，参数分离得到，设右边为新函数，求出其单调性，求得取值范围得到答案.（3）将导函数代入不等式，化简得到，设左边为新函数，根据单调性得到函数最值，得到证明.【详解】（1）当时，．∴

∴，又∵

∴，即

∴函数在点处的切线方程为．

（2）由题意知，函数的定义域为，，令，可得，当时，方程仅有一解，∴，∴令则由题可知直线与函数的图像有两个不同的交点．∵∴当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数．又∵，，且当时，∴，∴∴实数的取值范围为．

（3）∵∴要证对任意，恒成立即证成立即证成立设∴∵时，易知在上为减函数∴∴在上为减函数∴∴成立即对任意，恒成立．【点睛】本题考查了函数的导数，切线方程，极值点，参数分离法，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.21.已知函数f（x）=x﹣alnx﹣1（a∈R）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥2时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）正确求得函数的导函数是关键，再求得导函数后，利用f'（x）＞0，解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论，由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0来讨论得解．（2）由f（x）≥0对x∈[2，+∞）上恒成立可分a≤2和a＞2来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣=（x＞0），当a≤0时，f'（x）＞0，在（0，+∞）上为增函数，当a＞0时，令f′（x）==0，解得：x=a，f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；（2）f′（x）=1﹣=，当a≤2时，f'（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，则f（x）是单调递增的，则f（x）＞f（2）＞f（1）=0恒成立，则a≤2，当a＞2时，在（2，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以x∈（2，a）时，f（x）＜f（2）＜f（1）=0这与f（x）≥0恒成立矛盾，故不成立综上：a≤2．22.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（I）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理易得，四边形ABMN为平行四边形，即BM∥AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM∥平面ADEF；（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．【解答】证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点∴MN∥CD，且MN=CD，由已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，∴MN∥AB，且MN=AB