2022年广东省清远市连州保安中学高二数学文联考试卷含解析

2022年广东省清远市连州保安中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4D．参考答案：B略2.下列说法正确的是(

)A．命题“若x＜1，则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若x≥1，则x＜﹣1或x≥1”B．命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex≤0”C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件D．已知命题p：?x∈R，lnx＜lgx；命题q：?x0∈R，x03=1﹣x02，则“（￢p）∨（￢q）为真命题”．参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合命题以及函数的单调性分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．【解答】解：命题“若x＜1，则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若x＜﹣1或x≥1，则x≥1”，故A错误；命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex≤0，故B错误；函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件是：a≥0，故C错误；已知命题p：?x∈R，lnx＜lgx；由lnx﹣lgx=lnx﹣=lnx（1﹣），∵1﹣＞0，∴x＞1时，lnx＞lgx，0＜x＜1时，lnx＜lgx，故命题p是假命题，￢p是真命题；故不论命题￢q真假，则“（￢p）∨（￢q）总为真命题，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数的单调性问题，是一道综合题．3.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军。若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立。则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了3局的概率为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B4.直线的倾斜角为

（

）A、

B、

C、

D、与a取值有关参考答案：B5.已知复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，由纯虚数的定义可得关于a的式子，解之可得．【解答】解：化简可得复数==，由纯虚数的定义可得a﹣6=0，2a+3≠0，解得a=6故选：D【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，涉及纯虚数的定义，属基础题．6.F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（

） A． B． C．2 D．参考答案：A略7.若不等式组可表示为由直线围成的三角形区域（包括边界）,则实数的范围是(

)A.(0,2) B.(2,+∞) C.(－1,2) D.(－∞,－1)参考答案：A【分析】先由题意作出表示的平面区域，再由直线恒过，结合图像，即可得出结果.【详解】先由作出平面区域如下：因为直线恒过，由图像可得，当直线过与的交点时，恰好不能构成三角形，易得与的交点为因此，为满足题意，只需直线的斜率.所以.故选A

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体体积的最大值是()

A.

B.

C.

D.

参考答案：D9.设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若x≥1且y≥1，则x2≥1，y2≥1，所以x2+y2≥2，故充分性成立，若x2+y2≥2，不妨设x=﹣3，y=0．满足x2+y2≥2，但x≥1且y≥1不成立．所以“x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的充分不必要条件．故选B．10.中，

、，则AB边的中线对应方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则=___▲____.参考答案：略12.直线y=k（x+1）+3与以点A（2，﹣5），B（4，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则k的取值范围是___________参考答案：．考点：直线的斜率．专题：计算题；转化思想；综合法；直线与圆．分析：由直线方程求得直线所过定点P，然后求得PA，PB的斜率得答案．解答：解：由y=k（x+1）+3，得直线y=k（x+1）+3过定点P（﹣1，3），∵A（2，﹣5），B（4，﹣2），∴kPA=﹣，kPB=﹣1．∴满足直线y=k（x+1）+3与线段AB有公共点的k的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了直线系方程，考查了数学结合的解题思想方法，是基础题13.函数的值域是________________.参考答案：14.已知点在直线上，则的最小值为

参考答案：

解析：的最小值为原点到直线的距离：15.已知数列的首项，则数列的通项公式

参考答案：16.已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________参考答案：17.已知复数，则|z|＝________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数(为自然对数的底数)，（）．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当时，比较与的大小，并说明理由；（Ⅲ）证明：（）．参考答案：（Ⅰ）证明：设，所以．当时，，当时，，当时，．即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，因为，所以对任意实数均有．即，所以．（Ⅱ）当时，．用数学归纳法证明如下：①当时，由（1）知；②假设当（）时，对任意均有，令，，因为对任意的正实数，，由归纳假设知，，即在上为增函数，亦即，因为，所以．从而对任意，有,即对任意，有，这就是说，当时，对任意，也有．由①,②知，当时，都有．（Ⅲ）证明1：先证对任意正整数，．由（Ⅱ）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．再证对任意正整数，．要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．即要证明对任意正整数，不等式（*）成立．方法1（数学归纳法）：①当时，成立，所以不等式（*）成立．②假设当（）时，不等式（*）成立，即．则．

,这说明当时，不等式（*）也成立．由①，②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．方法2（基本不等式法）：因为，，……，，将以上个不等式相乘，得．所以对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．19.（1）（5分）设f(x)＝x3－3x2－9x＋1，求不等式f′(x)＜0的解集

（2）（5分）求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．参考答案：（1）[答案](－1,3)[解析]f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.

（2）[解析]两曲线方程联立得解得.∴y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，∴两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示．∴S＝×1×＝.20.（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=（I）证明AD平面PAB；（II）求异面直线PC与AD所成的角正切值；（III）求二面角P―BD―A的大小的正切值。参考答案：解：（Ⅰ）证明：在中，由题设可得于是.在矩形中，.又，所以平面.

（Ⅱ）证明：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为.（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以.又，因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，，从而是二面角的平面角。由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为．略21.已知抛物线C：y2=﹣4x．（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离；（Ⅱ）直线l过定点P（1，2），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的方程，即可写出抛物线C的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离；（Ⅱ）分类讨论，直线与抛物线方程联立，利用判别式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C焦点F（﹣1，0），准线方程x=1，焦点到准线距离为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题意设直线l的方程：y=kx﹣k+2由方程组可得：ky2+4y+4k﹣8=0﹣﹣﹣（1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）当k=0时，由（1）得y=2带入y2=﹣4x（4），x=﹣1，此时直线与抛物线只有一个公共点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣