吉林省长春市罗坨子中学高二数学文联考试卷含解析

吉林省长春市罗坨子中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2013，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2014(x)＝(

)A．sinx＋ex

B．cosx＋ex

C．－sinx＋ex

D．－cosx＋ex参考答案：C2.已知，若与垂直，则的值（

）

A.

B.

C.

0

D.

1参考答案：B3.设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为（

）=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是(

)A.与具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（，）C.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kgD.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg参考答案：C4.已知函数为奇函数，，则函数的零点所在区间为（

）A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)参考答案：C5.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥β，n∥β，m、nα，则α∥β；

②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，nγ，则m⊥n；

③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；

④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n；

其中所有正确命题的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B6.已知向量,,,则（

）A． B．

C． D．参考答案：C7.给出以下四个数：6，-3，0，15，用冒泡排序法将它们按从大到小的顺序排列需要经过几趟（

）A．1B．2C．3D．4参考答案：C8.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是61，则m的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】归纳推理．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是61时，m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，61是从3开始的第30个奇数当m=7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共=27个当m=8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共=35个所以m=8故选：C．9.两条不平行的直线，它们的平行投影不可能是（）A．一点和一条直线 B．两条平行直线C．两个点 D．两条相交直线参考答案：C【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】两条不平行的直线，要做这两条直线的平行投影，投影可能是两条平行线，可能是一点和一条直线，可能是两条相交线，不能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系．【解答】解：∵有两条不平行的直线，∴这两条直线是异面或相交，其平行投影不可能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系．与已知矛盾．故选C．10.在斜△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，A=，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B． C． D．参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，利用和差公式、倍角公式展开可得sinB=2sinC，利用正弦定理可得b=2c．再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：在斜△ABC中，∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC=2sin2C，∴2sinBcosC=4sinCcosC∵cosC≠0，∴sinB=2sinC，∴b=2c．∵A=，∴由余弦定理可得：a2=（2c）2+c2﹣2×2c2cos=5c2．∵△ABC的面积为1，∴bcsinA=1，∴××sin=1，解得c2=1．则a=．故选：B．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点（x，y）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y的最大值是．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，故由图可得，当过点（3，0）时，有最大值，即z=2x+y的最大值是6+0=6；故答案为：6．12.已知，则的值为

．参考答案：略13.在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【分析】本题考查的知识点是几何概型，由于函数cos是一个偶函数，故可研究出cosπx的值介于0到0.5之间对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：由于函数cos是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率在区间[0，1]上随机取一个数x，即x∈[0，1]时，要使cosπx的值介于0到0.5之间，需使≤πx≤∴≤x≤1，区间长度为，由几何概型知cosπx的值介于0到0.5之间的概率为．故答案为：．14.已知随机变量X～B（5，0.3），Y=2X﹣1，则E（Y）=

．参考答案：2【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据二项分布的期望公式求出Eξ，再利用线性随机变量的期望公式求出E（2X﹣1）的值．【解答】解：因为X～B（5，0.3），所以Eξ=5×0.3=1.5，因为Y=2X﹣1所以E（Y）=2×1.5﹣1=2．故答案为：2．15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=（a+1）n2+a，某三角形三边为a2，a3，a4，则该三角的面积为．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意求得数列的前两项，得到公差，结合等差数列的前n项和是常数项为0的n的一次或二次函数求得a，得到具体的首项和公差，求得a2，a3，a4的值，再由海伦公式求面积．【解答】解：令n=1，得到a1=S1=2a+1，令n=2，得到a1+a2=S2=5a1+4，∴a2=3a+3，故公差d=（3a+3）﹣（2a+1）=a+2，又由等差数列{an}的前n项和为Sn=（a+1）n2+a，得到a=0，∴等差数列的首项a1=1，公差d=2，∴a2=3，a3=5，a3=7，设P=，则三角的面积为S==．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，训练了利用三角形三边求三角形面积的方法，是中档题．16.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=图象下方的点构成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入中E的概率为

。参考答案：17.在平面直角坐标系XOY中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是______．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点在直线l：上．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求的值．参考答案：(1)C：；l：；(2)【分析】（1）直接把曲线C的参数方程中的参数消去，即可得到曲线C的普通方程，把P的极坐标代入直线方程求得m，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）写出直线l的参数方程，把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系求解．【详解】（1）由为参数），消去参数α，可得曲线C的普通方程为；由在直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0上，得，得m．由，，∴直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0的直角坐标方程为x﹣y0；（2）由（1）知直线l的倾斜角为，，直线l的参数方程为（t为参数），代入，得：13t2﹣20t﹣20＝0．∴|PA|?|PB|．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．19.已知数列的各项均为正数，观察下面程序框图，（1）分别写出当；时，的表达式。（2）当输入时，有

，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，若令，求的值。

参考答案：解析：（1）当时，

或

2分

当时，

或

4分

（2）

；

9分

（3）

14分20.（本小题满分12分）一个正三棱锥P—ABC的三视图如图所示，尺寸单位：cm.求⑴正三棱锥P—ABC的表面积；⑵正三棱锥P—ABC的体积。参考答案：⑴正三棱锥P—ABC的表面积==36+36(cm2)；

⑵72(cm3)：⑴如图是正三棱锥P-ABC的直观图,

∵三视图中的高2就是正三棱锥的高h=PO=2.底面边长AB=BC=CA=12BD=6DO=2侧面上的斜高PD=2侧面面积=3××AC×PD=36(cm2)

底面面积=×122=36(cm2)∴正三棱锥P—ABC的表面积==36+36(cm2)；

⑵正三棱锥P—ABC的体积V===72(cm3)21.已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在(0,+∞)只有一个零点，求a的值.参考答案：（1）见解析；（2）分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.详解：（1）当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22.已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若动直线l2：y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点，过F1（﹣1，0），F2（1，0）两点分别作F1P⊥l2，F2Q⊥l2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，试探索（d1+d2）?d3是否存在最值？若存在，请求出最值．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切，求出圆的方程为x2+y2=12，由此利用相关点法能求出曲线C的方程．（2）将直线l2：y=kx+m代入曲线C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、椭圆性质、弦长公式，结合已知条件能求出（d1+d2）?d3存在最大值，并能求出最大值．【解答】解：（1）设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切，得R，即R=2，∴圆的方程为x2+y2=12，设A（x0，y0），N（x，y），∵AM⊥x轴于M，∴M（x0，0），∴（x，y）=（x0，y0）+（）（x0﹣0）=（），∴，即，∵点A（x0，y0）为圆C1上的动点，∴=12，∴（）2+（2y）2=12，∴=1．（2）由（1）中知曲线C是椭圆，将直线l2：y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣