中考数学几何模型专项复习 模型35 圆-圆幂定理模型-（原卷版+解析）

圆模型（三十五）——圆幂定理模型知识点一：相交弦定理◎结论1：如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.①【证明】如上右图∵∠A＝∠D，∠APC＝∠DPB∴△APC∽△DPB∴APDP＝即AP·BP＝CP·DP②OP与⊙O交于M.N两点，r为⊙O的半径，AP·BP＝CP·DP＝MP·NP＝（r＋OP）（r－OP）＝r²－OP²知识点二：切割线定理◎结论2：如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2【证明】①连接AB,AC,连接AO并延长交⊙O于D，连接DB.∵PA为⊙O的切线∴∠DAP＝90°即∠1＋∠2＝90°∵AD是⊙O的直径∴∠ABD＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3∵∠3＝∠4∴∠1＝∠4∴△PAB∽△PCA∴PAPC＝即PA²＝PB.PC ②PA²＝PB·PC＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO²－r²知识点三：割线定理◎结论3：如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD,②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2【证明】∵∠B＝∠D，∠BPC＝∠DPA∴△PBC∽△PDA∴PBPD＝PC∴PA·PB＝PC·PD＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO²－r²eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等1．(2023·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____．2．(2023·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=，且BD=7，则DE=_______3．(2023·四川资阳·九年级阶段练习）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.(1)求证：AHAB=AC2；(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AEAF=AC2；(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断APAQ=AC2是否成立(不必证明).1．(2023·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；【问题解决】（3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，，则CD的长度．1．(2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，弦，相交于点，，，则的大小是()A． B． C． D．2．(2023·四川·恩阳二中一模）圆内一条弦与直径相交成30°的角，且分直径1cm和5cm两段，则这条弦的长为_____．圆模型（三十五）——圆幂定理模型知识点一：相交弦定理◎结论1：如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.①【证明】如上右图∵∠A＝∠D，∠APC＝∠DPB∴△APC∽△DPB∴APDP＝即AP·BP＝CP·DP②OP与⊙O交于M.N两点，r为⊙O的半径，AP·BP＝CP·DP＝MP·NP＝（r＋OP）（r－OP）＝r²－OP²知识点二：切割线定理◎结论2：如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2【证明】①连接AB,AC,连接AO并延长交⊙O于D，连接DB.∵PA为⊙O的切线∴∠DAP＝90°即∠1＋∠2＝90°∵AD是⊙O的直径∴∠ABD＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3∵∠3＝∠4∴∠1＝∠4∴△PAB∽△PCA∴PAPC＝即PA²＝PB.PC ②PA²＝PB·PC＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO²－r²知识点三：割线定理◎结论3：如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD,②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2【证明】∵∠B＝∠D，∠BPC＝∠DPA∴△PBC∽△PDA∴PBPD＝PC∴PA·PB＝PC·PD＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO²－r²eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等1．(2023·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____．答案:1cm分析首先过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，由分直径成1cm和5cm两部分，可求得直径，半径的长，继而求得OE的长，又由圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距．【详解】解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，∵分直径成1cm和5cm两部分，∴AB＝6cm，∴OA＝AB＝3cm，∴OE＝OA﹣AE＝2cm，∵∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝1（cm）．故答案为：1cm．【点睛】此题考查了垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．(2023·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=，且BD=7，则DE=_______答案:3．【详解】试题分析：根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB∽△DEC，根据CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比；设BE=x，则DE=7-x，然后根据相似比表示出AE、EC的长，连接BC，首先在Rt△BEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长．试题解析：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴；设BE=x，则DE=7-x，EC=x，AE=（7-x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=-x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：92=（-x）2+（x）2，整理，得x2-14x+31=0，解得：x1=7+3（不合题意舍去），x2=7-3则DE=7-x=3．考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质．3．(2023·四川资阳·九年级阶段练习）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.(1)求证：AHAB=AC2；(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AEAF=AC2；(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断APAQ=AC2是否成立(不必证明).答案:（1）详见解析；（2）详见解析；（3）成立.分析（1）连接CB，证明△CAH∽△BAC即可；（2）连接CF，证△AEC∽△ACF，根据射影定理即可证得；（3）由（1）（2）的结论可知，AP•AQ=AC2成立．【详解】(1)连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC.∴，即AHAB=AC2.(2)连结FB，易证△AHE∽△AFB，∴AEAF=AHAB，∴AEAF=AC2.(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)(3)结论APAQ=AC2成立.【点睛】本题考查相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．1．(2023·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；【问题解决】（3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，，则CD的长度．答案:（1）10，6；（2）证明见解析；（3）6．分析（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小；（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA，由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，设DH=x，由题意可得其它线段的长，在Rt△OEA中，根据勾股定理列方程得出x的值，从而可求CD的长．【详解】解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10，∴弦AB的“十字弦”CD的最大值为10；当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度，过O点作ON⊥AM，垂足为N，作OG⊥AB，垂足为G，则四边形AGON为矩形，∴AN=OG，∵OG⊥AB，AB=8，∴AG=4，∵OA=5，∴由勾股定理得OG=3，∴AN=3，∵ON⊥AM，∴AM=6，即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6．（2）证明：如图，连接AD，∵AC=12，DH=7，CH=9，∴CD=CH+DH=16∴，∴∵∠C=∠C，∴△ACH∽△DCA，∴∠AHC=∠CAD∵CD是直径，∴∠CAD=90°，∴∠AHC=90°，∴AH⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”．（3）如图，过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD，则四边形OEHF是矩形，∴OE=FH，OF=EH，设DH=x，∵，AB=CD，则CH=5x，CD=AB=6x，∴FD=AE=3x，∴OE=FH=3x-x=2x，∵半径为，在Rt△OEA中，由勾股定理得，，∴，解得，x=1，∴CD=6×1=6【点睛】本题考查圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识，准确做出辅助线是解答此题的关键．1．(2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，弦，相交于点，，，则的大小是()A． B． C． D．答案:B【详解】试题分析：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，故选B．考点：圆周角定理．2．(2023·四川·恩阳二中一模）圆内一条弦与直径相交成30°的角，且分直径1cm和5cm两段，则这条弦的长为_____．答案:4分析根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，构成直角三角形，然后利用30°的角所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理计