北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项04矩形中典型模型综合应用(4大类型)(原卷版+解析)

专项04矩形中典型模型综合应用（4大类型）类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形类型二：面积问题类型三：最小值问题类型四：矩形对角线的垂直平分线问题【类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形】【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【变式1-1】】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝10，则AB的长为（）A．5 B．5 C．4 D．3【变式1-2】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则CD的长为．【类型二：面积问题】【典例2】如图，EF过长方形ABCD对角线的交点O．且分别交AB、CD于点E、F．那么阴影部分的面积是长方形ABCD面积的（）A． B． C． D．【变式2-1】如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形DECF的面积为（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【变式2-2】如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．12 C．16 D．20【类型三：最小值问题】【典例3】如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．3 B．3.6 C．3.75 D．4【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（）A． B．3 C． D．【类型四：矩形对角线的垂直平分线问题】【典例4】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，连接BE，若AB＝4cm，AD＝8cm，则△BED的面积是（）cm2．A．10 B．16 C．20 D．32【变式4-1】如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（）A．2 B．2 C．2 D．4【变式4-2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是．1．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A． B． C． D．82．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（）A． B． C．4 D．3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（）A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.44．如图，过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN∥AD，分别交AB和CD于点M和N，连接BE，DE，已知CN＝2，ME＝6，则△END和△BEM的面积和等于（）A．10 B．12 C．14 D．165．如图A、B分别是长方形长和宽的中点，阴影部分面积是长方形的（）A． B． C． D．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.88．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.59．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6．则AB＝．10．如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点P在AD边上，是不与A，D重合的点，过点P分别做AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值是．12．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A． B． C． D．不确定13．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，EF与AC交于点O．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求EF的长．14．如图，矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：AB＝DF．（2）若CE＝1，AF＝3，求DF的长．15．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的长．16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形．（2）当AB＝4，BC＝8时，求线段EF的长．专项04矩形中典型模型综合应用（4大类型）类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形类型二：面积问题类型三：最小值问题类型四：矩形对角线的垂直平分线问题【类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形】【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OB，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴AC＝2OA＝4，故选：B．【变式1-1】】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝10，则AB的长为（）A．5 B．5 C．4 D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝BD＝5．故选：B．【变式1-2】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则CD的长为．【答案】2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝AD＝2，∴BD＝2OD＝4，∴DC＝＝＝2，故答案为：2．【类型二：面积问题】【典例2】如图，EF过长方形ABCD对角线的交点O．且分别交AB、CD于点E、F．那么阴影部分的面积是长方形ABCD面积的（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四边形为矩形，∴OB＝OD＝OA＝OC，AB∥CD，∴∠EBO＝∠FDO，在△EBO与△FDO中，，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB＝S矩形ABCD，故选：C．【变式2-1】如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形DECF的面积为（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【解答】解：连接CD，如图所示，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∵DE⊥AC，∴AE＝CE，∴△ADE的面积＝△CDE的面积，同理可得：△BDF的面积＝△CDF的面积，∴四边形DECF的面积＝×三角形ABC的面积＝×4＝2，故选：B．【变式2-2】如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD；∵S△BCD＝BC•CD＝12，故S阴影＝12．故选：B．【类型三：最小值问题】【典例3】如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．3 B．3.6 C．3.75 D．4【答案】B【解答】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝15，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝7.2，∴MN＝7.2，∴BO＝MN＝3.6，故选：B．【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4【答案】D【解答】解：连接AP，如图：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最短，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：D．【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（）A． B．3 C． D．【答案】A【解答】解：如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝5，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，∴CM＝＝＝，∴PQ的最小值为，故选：A．【类型四：矩形对角线的垂直平分线问题】【典例4】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，连接BE，若AB＝4cm，AD＝8cm，则△BED的面积是（）cm2．A．10 B．16 C．20 D．32【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，BO＝DO，∴AB⊥AD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，设BE＝DE＝xcm，则AE＝（8﹣x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE＝5cm，∴S△BED＝DE•AB＝×5×4＝10（cm2），故选：A．【变式4-1】如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（）A．2 B．2 C．2 D．4【答案】C【解答】解：如图，连接CE，∵点E是AD中点，∴DE＝AE＝2，AD＝2AE＝2×2＝4，∴BC＝AD＝4，∵BE的垂直平分线MN恰好过点C，∴CE＝BC＝4，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CD＝＝＝2，∴AB＝CD＝2．故选：C．【变式4-2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是．【答案】15°【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，AO＝OC，BO＝OD，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AO＝OC，OG⊥AC，∴GA＝GC，∠GOC＝90°，∵∠BOG＝15°，∴∠COB＝90°﹣15°＝75°，∴∠OCB＝∠OBC＝×（180°﹣∠COB）＝52.5°，∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝180°﹣90°﹣52.5°＝37.5°，∴∠ACG＝37.5°，∴∠BCG＝∠OCB﹣∠ACG＝52.5°﹣37.5°＝15°，故答案为：15°．1．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A． B． C． D．8【答案】B【解答】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，∴四边形AGCH是平行四边形，在△ABG和△CEG中，，∴△ABG≌△CEG（AAS），∴AG＝CG，∴四边形AGCH是菱形，设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝6﹣x，在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CG＝，∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2＝，即图中重叠（阴影）部分的面积为，故选：B．2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（）A． B． C．4 D．【答案】D【解答】解：如图，连接OP，∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，∴∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝2，∴EF的最小值为2，故选：D．3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（）A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.4【答案】A【解答】解：连接PO，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD，由勾股定理得：BD＝＝＝10，∴BO＝DO＝5，∴S△DAB＝×AD×AB＝×8×6＝24，∴S△AOB＝S△DAB＝12，∴×AO×PM+×BO×PN＝12，∴PM+PN＝4.8．故选：A．4．如图，过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN∥AD，分别交AB和CD于点M和N，连接BE，DE，已知CN＝2，ME＝6，则△END和△BEM的面积和等于（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解答】解：作EG⊥BC于G，交AD于F．则有四边形BGEM，四边形CNEG，四边形AMEF，四边形DFEN都是矩形，∴S△BME＝S△BGE，S△CGE＝S△CEN，S△AME＝S△AEF，S△DNE＝S△DEF，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC﹣S△AEM﹣S△CNE﹣S△CGE＝S△ADC﹣S△AEF﹣S△CNE，∴S四边形BGEM＝S四边形DNEF，∵BM＝CN＝2，∴S△BEM＝S△DEN＝×2×6＝6，∴△END和△BEM的面积和＝6+6＝12，故选：B．5．如图A、B分别是长方形长和宽的中点，阴影部分面积是长方形的（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：设矩形的长为a，宽为b，阴影部分面积＝ab﹣，矩形的面积＝ab，∴阴影部分面积是长方形的，故选：A．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2【答案】D【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM＝AP，由勾股定理知BC＝＝5，∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AP，∴AP＝，∴AM＝AP＝＝1.2，故选：D．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8【答案】D【解答】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：D．8．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5【答案】A【解答】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6．则AB＝．【答案】3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∠ABC＝90°，又∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴AB＝AC＝×6＝3．故答案为：3．10．如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．【答案】4【解答】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，∴阴影部分的面积＝×矩形的面积，∵AB＝2，BC＝4，∴阴影部分的面积＝，故答案为：4．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点P在AD边上，是不与A，D重合的点，过点P分别做AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值是．【答案】【解答】解：如图所示，连接OP，∵AB＝2，AD＝4，由勾股定理可得BD＝＝2，S△ABD＝AB•AD＝×2×4＝4，在矩形ABCD中，OA＝OD＝OB＝BD＝，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝S△ABD，∴•OA•PE+•OD•PF＝×4＝2，∴PE+PF＝，故答案为：12．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A． B． C． D．不确定【答案】A【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，∴OA＝OD＝2.5，∴S△ACD＝S矩形ABCD＝6，∴S△AOD＝S△ACD＝3，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×2.5×PE+×2.5×PF＝（PE+PF）＝3，解得：PE+PF＝．故选：A．13．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，EF与AC交于点O．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求EF的长．【解答】（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，∴AO＝CO，AC⊥EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝4，AD＝BC＝8，∴AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝FC，E