2023-2024学年重庆市高二年级上册1月线上定时检测数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年重庆市高二上册1月线上定时检测数学模拟试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.顶点在原点，且过点（一2,2）的抛物线的标准方程是（）

A.y2--2xB.x2=2yC./=2x或x?=-2yD.

y2-或f=2y

【正确答案】D

【分析】利用待定系数法求出抛物线的标准方程.

【详解】点（一2,2）在第二象限.

当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为/=2py,

把（一2,2）代入解得：p=\,所以抛物线的标准方程为一=2歹.

当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为=-2px,

把（一2,2）代入解得：p=\,所以抛物线的标准方程为_/=—2x.

故选：D

2.过点/（2,3）作圆“：/+/=1的一条切线，切点为-则»同=（）

A.3B.2GC.币D.V10

【正确答案】B

【分析】由题意可知先求出“四从而可求得结果.

【详解】因为圆M:x2+y2=i,所以圆历的圆心为“（0,0）,半径为厂=1,

因为48与圆M相切，切点为8,所以48L6加，则|力6『+r2=»”/，

因为|=yji1+3~=y/13,

所以|/卸=yl\AMf-r2=V13-1=2.

故选：B.

3.在三棱锥尸一43C中，M是平面/8C上一点，且5尸加'=2尸Z+/P8+PC，则，=

()

11

A.1B.2C.-D.T-

72

【正确答案】B

【分析】利用空间向量的基本定理得到关于，的方程，解之即可.

【详解】因为5PM=2R4+/P8+PC，

2F.f

所以尸例=-PA+-PB+-PC，

555

因为〃是平面/BC上一点，即46,C,“四点共面，

所以＞：+/=1,所以"2.

故选：B.

4.已知等差数列｛q｝的公差为2,若q,%,%成等比数列，则的=()

A-10B.-6C.4D.-4

【正确答案】C

【分析1根据已知得出生=。2-2,2=%+4,即可根据等比中项结合已知列出式子，求

解得出答案.

【详解】数列｛%｝是公差为2的等差数列，

・二。］=-2,。4=。2+4，

2M4成等比数列，

al=a1a4,即-2乂%+4),解得。2=4,

故选：C.

Y2

5.双曲线。：j一方=1(。＞0乃＞0)的一条渐近线的倾斜角为40°则C的离心率为

a'

()

A.2sin40°B.------C.------D.

cos40°sin40°

2cos40°

【正确答案】B

【分析】先由已知求得2=tan40。，再利用三角函数的基本关系式与双曲线。的关系式

a

进行转化演算，从而求得双曲线。的离心率.

【详解】因为双曲线C:g—==1(。＞0力〉0)的渐近线方程为卜=±，X,

又双曲线的一条渐近线的倾斜角为40°,

ucIb.sin40°

所以一二tan40°=-------,

acos40°

2222

bc-a21sin40°

aacos~40°

由z21sin240°sin240°+cos240°II

所以/=i+_——=----------------二--——，则？=———.

cos240°cos**40°cos*-40°cos40

故选：B.

6.等比数列｛%｝中，4=2,4=5,则数列｛lga“｝的前6项和等于()

A.6B.5C.4D.3

【正确答案】D

【分析】利用等比数列的性质可得=4%=%%=10，再利用对数的运算性质即可求

解.

【详解】因为数列｛%｝为等比数列，且4=2,%=5,所以=4%=4%=10，

3

所以lgq+1g的+lga3+1g4+lga5+1g%=吆(4|44%45a6)=lg(«3«4)=3,

故选.D

7.己知点尸是抛物线V=4x上的动点，点尸在y轴上的射影是点M,已知点4(3,4),则

的最小值是()

93

A.275-1B.-C.275+1D.

22

【正确答案】A

【分析】先由题意求得抛物线的准线和焦点，再利用抛物线的定义即可求得|尸〃|+|尸陷的

最小值.

【详解】因为抛物线的方程为V=4x,

所以抛物线的准线：x=-l,焦点厂(1,0),

不妨设尸在准线：x=—l上的射影为N,又4(3,4),如图，

所以

\PA\+\PM\^PA\+\PN\-\^PA\+\PF\-\>\AF\-\=在百-1=

故选：A.

22

8.已知椭圆。:三+马=1(。>6>0),片,乙为其左、右焦点，尸为椭圆C上除长轴端点

ah

外的任一点，小时的重心为G，内心为/,且有“7=4耳月(其中；I为

实数)，则椭圆。的离心率e=

C-tDT

【正确答案】B

【详解】在“6月中，设尸（%,为），由三角形重心坐标公式可得重心G（才,手），由

故内心/的纵坐标为华，在焦点"g中，

GI'=XF,F2,

附|+|明=2。,忸用=2c,S-=；.2°也卜;（闸|+|*+2。）州，则a=2c,

乙乙D

e=L选B.

2

这种求离心率问题椭圆和双曲线都有，都涉及到焦点三角形的重心和内切圆的圆心，都需要

用到内切圆的半径的使用，使用方法就是借助焦点三角形面积相等解题，通过面积相等得出

关于a,b,c的等式，求出离心率.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.己知空间向量l,2,5）,，0=（2,-4,x）,则下列选项中正确的是（）

A.当加_1_〃时，x=2B.当加7/a时，x=-10

C.当|渝时，x=-4D.当》=9时，

,xxV10-2

cos-------

【正确答案】ABD

【分析】对于A,利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于B,利用空间向量平行的性

质即可判断；对于c,先根据空间向量运算法则计算出〃;再利用模长公式列出方程，

从而得以判断；对于D,利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断.

【详解】对于A,因为菊[上篇=（一1,2,5）,泼=（2,-4,x）,

所以加,〃=（―l）x2+2x（―4）+5x=-10+5x=0,解得x=2,故A正确；

对于B,因为前7/九所以存在;leR,使得帚」力；，

[2A=-1f2__1

则（一1,2,5）=4（2,—4,x）=（24,-4/1,〃），即J-44=2,解得J=2,故B正确；

Ax=5[x=-10

对于C,因为加+〃=（-l+2,2-4,5+x）=（1,-2,5+x）,

所以|后4=J『+（_2）2+（5+X）2=*+（5+X）2=6,解得》=一5,故C错误；

对于D,因为x=Jid，则加=（一1,2,5）,〃=仅，一4,

所以cos戊4二感=42+2x（一?+5XM=^2,故D正确.

\/\m\-\n\71+4+25x74+16+106

故选：ABD.

10.设｛4｝是等差数列，S”是其前”项的和，且£<S7，S7=S8>S9,则下列结论正确的

是（）

A.%=0B.d>0

C.S7与§8均为S“的最大值D.\为S"的最大值

【正确答案】ACD

【分析】由题意结合数列勺与S“的关系可得%>0,6=0,。9<0,由等差数列及其前

〃项和的性质即可得解.

【详解】｛4｝是等差数列，且s6Vs7,s7=s8>s9,

a7—S-j—S6>0,a$=Sg-S?=Q,a9-Sg—Ss<0,

：.d<0,S7与Sg是s,的最大值，

故A、C、D正确，B错误.

故选.ACD

/y2

11.若方程/二+2_=1所表示的曲线为c,则下面四个选项中错误的是（）

5—/t—2.

7

A.若C是圆，则”;B.若C为椭圆，则2<f<5

C.若C为双曲线，则f〉5或/<2D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则

2<f<5

【正确答案】BD

【分析】利用圆、椭圆与双曲线的标准方程的特征，逐一分析选项得到关于/的方程或不等

式，解之即可判断.

22

【详解】对于A,因为方程/_+*_=1表示圆，

5—tt—2

7

所以5—/=/一2,解得f=],故A正确；

r2V2

对于B,因为方程「—+」一=1表示椭圆，

5—tt—2.

'5-t>Q

7

所以1一2>0,解得2<f<5且fj,故B错误；

5—t丰t—2

X2V2

对于c,因为方程=i表示双曲线，

5—/Z—2

所以（5-/）（/一2）<0,解得f>5或f<2,故C正确；

22

对于D,因为方程工+」-=1表示长轴在y轴上的椭圆，

5-tt—2

5-/>07

所以<c=，解得’</<5,故D错误.

故选：BD

22

V-Vx2v2

12.己知《，月是椭圆二+3=1（4>4〉0）和双曲线二一七=1（%>4>0）的公共

%a?b?

TT

焦点，尸是它们的一个公共点，且/耳pg=§,则以下结论正确的是（）

A.a；-b；=说+b；B.b；=3b：

C.!+W=4D.e；+e；的最小值为l+@

e\e22

【正确答案】ABC

【分析】利用圆锥曲线的定义和几何性质对四个选项一一验证：对于A：利用定义直接求解;

对于B、C：可设P第一象限的点，则|P用=加,|尸用=〃.在△耳尸鸟中，由余弦定理求出

42+3%2=4。2,进而判断aC;对于D：利用基本不等式求出e；+e；的最小值.

x2222

【详解】6,工是椭圆二+3=1（%>4>。）和双曲线一一・=1（42>4>0）的公共

qb[Q]b2

焦点，可设|£月|=2c.

对于A：由定义可得：a,2-bf=c2,a；+b；=c?,所以a：-6；=a；+b；.故A正确；

对于B：可设P第一象限的点,则忸耳|=印尸用=〃.

由椭圆的定义可得：m+n=2al,m-n=2a2,解得.加=q+4,〃=%

在△月尸鸟中，/耳尸与=],归闻=6+々,归用=%—%，%©=2c,

22

由余弦定理由用2=|p^|+|-2|-fPF2\COSZF}PF2得：

(2c)*=(q+a,)*+(q-a2)--2(a,+a2)•(q-a2)cos:,

化简得.靖+3生2=4/

222222

所以b；—3b；=a：-C-3(C-a,)=(a,+3a2)-4c=0,

所以b；=3b；.故B正确；

2213“

对于C：由a；+342=4c?得:%a+3与a=4,即？+?=4.故c正确;

22

cc4e2

对于D：因为

<+e2=~(e?+e2)f4'+^=1+号+马+31NL4+2S-x^-=1+—

（当且

4^12%；el)41e：e；J4而居2

仅当e；=JJe；时“=”成立）.

所以e；+e；的最小值为1+等

故D错误.

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

zsa10Sc

13.设S“是等差数列｛%｝的前〃项和，若n」=G，则谓=.

【正确答案】2

13%

【分析】利用等差数列的性质与前〃项和公式得到涓从而得解.

S$5%

【详解】因为S“是等差数列｛4｝的前"项和，

13（%+%3）

几__2__13（%+%）_13x为7.I利_1310_

nrrp/----------------------------------------------------------------------------------------------------__---------------x乙

S55（。］+。5）5（。］+%）5x2a35a3513

2

故2.

14.已知圆C:（x-2）~+（y-2）~=8-m.若圆C与圆。：（x+l）~+（y+2丫=1外切，则

m的值为.

【正确答案】—8

【分析】利用两圆相外切列方程即可求解.

【详解】圆C:（x-2）~+（y-2y=8-加的圆心为（2,2）,半径外=J8-加，圆

。：（X+1）2+（歹+2）2=1的圆心为（一1,—2）,半径弓=1.

因为圆。与圆。外切，所以|C0|=4+4，

所以^/（2+1）2+（2+2）2=J8-加+1，解得.m=一8

故一8

15.已知圆锥的顶点为P,母线P4PB的夹角为60°,尸/与圆锥底面所成角为45。，若

PZ6的面积为百，则该圆锥的侧面积为.

【正确答案】4也n

【分析】利用已知条件求出圆锥的母线的长，利用PZ与圆锥底面所成角为45°求出底面半

径，即可求出侧面积.

【详解】圆锥的顶点为P,母线尸4尸8的夹角为60°,得sinN/P8=sin60°=上.

2

由△PAB的面积为0,得;•PT•sinNAPB=g.PT•日=石，解得.P/1=2

因为PN与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为:2-cos45°=Q,

则该圆锥的侧面积为：nx2V2x2=47271.

故40兀・

16.己知椭圆二+匕=1的左焦点为尸，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段尸尸的中点

167

在以原点O为圆心，|。川为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

【正确答案】735

【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程,

与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】方法1：由题意可知I。用=|OM|=c=3,

由中位线定理可得|尸用=21ON|=6,设P(x,y)可得*—3)2+/=36,

联立方程组J167,整理可得：9x2—96x—320=0，

(x-3)2+/=36

解得x=-§,》=竺(舍)，点尸在椭圆上且在x轴的上方，

33

而

求得P(—*半)，所以%以=十=后，

3

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知I。口|=|。朋'|=c=3,

Q

由中位线定理可得|尸耳|二2|OA/|=6,即a-eXp=6=>x/?=--

/L、V35

o----_

求得尸—或口一，所以％依=—卜=J方.

\7_

3

故答案为.735

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.如图四棱锥P-/BCD的底面Z8CD是菱形，NBCD=60°,以_L面4?CD,E是AB

的中点，尸是PC的中点.

(1)求证：OEJ_平面PAB

(2)求证：BF〃平面PDE.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)通过证明DE1AB,DE1AP来证得DE1平面PAB.

（2）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理证得〃平面PDE.

【小问1详解】

由于四边形Z8C。是菱形，ZBCD=60°,

所以三角形48。是等边三角形，而E是的中点，所以DEJ.AB.

由于尸/_L平面ABCD,DEu平面ABCD,所以产力_L,

由于平面P48,48c/M=N,

所以0E人平面

【小问2详解】

取尸。的中点G,连接FG,GE,

由于尸是PC的中点，G是尸。的中点，所以FG〃CD,FG=LCD,

2

由于E是43的中点，所以BE〃CD,BE=LCD,

2

M\^FG〃BE,FG=BE,所以四边形8EG尸是平行四边形，所以BF//GE,

由于5夕々平面PZ）E，GE1平面尸。E，

所以3/7/平面DDE.

18.己知数列｛服｝前〃项和S.=〃2+〃.

（1）求数列｛4,｝的通项公式；

1

（2）令b“=------,求数列｛b｝的前〃项和7”.

%“+1

【正确答案】（1）a“=2〃，“GN*

n

(2)T“=

4(〃+1)

S],〃=1

【分析】（1）根据已知条件并结合公式%=《ccC即可计算出数列｛外｝的通项公

[S.-S,I，〃N2

式；

（2）先根据第（1）题结果计算出数列｛d｝的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前〃

项和Tn.

【小问1详解】

由题意，当〃=1时，G=S=12+1=2,

当n>2时，an—Sn-S“_]—n2+n-（«-1）2-（n-1）—2n,

.当N=1时，q=2也满足上式,

'.an=2n,“GN*.

【小问2详解】

1

由(1),可得儿=-----

44+1

1

2/7-2(77+1)

1

4〃(〃+1)

111

=­x

4n〃+l

则%=bi+历+•••+/>”

11111

=­x+-x+-x

444n〃+1

lx1-1+1-1+L4-

4223nn+1

1

〃+l

n

4(〃+1)

19.双曲线。：+—方=1（。＞0乃＞0）的渐近线方程为歹=2x,一个焦点到该渐近线的

距离为2.

（1）求C的方程；

（2）是否存在直线/,经过点/（1,4）且与双曲线C于48两点，M为线段的中点,

若存在，求/的方程：若不存在，说明理由.

【正确答案】（1）x2-^=\

4

（2）存在；y=x+3.

【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到2=2,再由点到线的距离公式求

a

出c,最后根据o2=/+62计算可得；

（2）设/（X”凹），8（吃,外）,直线/的斜率为左，利用点差法计算可得；

【小问1详解】

双曲线。:《一耳=1（4＞0力＞0）的渐近线为卜=±2》，

aba

因为双曲线的一条渐近线方程为歹=2x,所以2=2,

a

|2c|

又焦点（c,0）到直线y=2x的距离d=6+（\）2=2,所以c=指，

又。2=/+/，所以/=],d=4,所以双曲线方程为彳2_片=1

4

【小问2详解】

假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设么（王,弘），6（%,必），直线/的斜率为左，则

玉+=2,弘+^2=8，

22

2

所以X：-牛=1，X2-^-=1,

两式相减得X；一马2—千+4=o,即（也+母Ze」.）=（芭+/）（西—x2）

即,也+)［二0=4,所以4左=4,解得太=1,

(x1+x2)(x,-x2)

所以直线/的方程为y—4=x—1,即y=x+3,

经检验直线/：N=x+3与双曲线C有两个交点，满足条件，

所以直线/的方程为_y=x+3.

20.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,且24—SS=3,2s6—3%=9.

(1)求｛为｝的通项公式；

⑵若以=4•2小，求数列也｝的前〃项和T1t.

【正确答案】(1)a„=2n-3

(2)7；=5+(2〃—5)x2"

【分析】(1)设｛4｝的公差为d,则由已知条件列方程组可求出％,d,从而可求出通项公

式；

(2)由(1)得6“=(2〃-3)X2"T,然后利用错位相减法可求出力

【小问1详解】

设｛/｝的公差为d.

小J2a6-&=3

由＜,

2s6—3-9

5x4

2(%+5d)-(5Q1+-^-d)=3

得《

6x5

2(6q+；-d)-3®+7d)=9

-3q=3

化简得

9a}+9d=9

%=T

解得《

d=2

所以数列｛%｝的通项公式为a„=-l+(n-l)x2=2/7-3.

【小问2详解】

由⑴知6“=(2〃—3)X2"T,

所以7；=(—l)x2°+lx2i+3x22++(2〃-3)X2"T①

则27；=(-1)x21+1x22+3x23++(2n-3)x2"②

由①一②得：

2

-Tn=(-1)+2X2'+2X2++2X2"T-(2〃-3)X2"

,2x2l-2x2n_1x2小c.

=-l+---------------(2M-3)X2"

1-2、)

=-5+2,,+'-(2n-3)x2n

=-5-(2n-5)x2n,

所以数列｛〃｝的前“项和7；=5+(2〃-5)x2".

21.已知抛物线C：/=2PMp>0)的焦点为F,过点P(-l,2)的直线垂直x轴于Q,XPQF

为等腰直角三角形.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/交抛物线C于4,8两点，且F恰为PZ8的重心，求直线/的方程.

【正确答案】(1)/=4%；

(2)2x+y-3=0.

【分析1(1)由题可得2+1=2,进而即得；

2

(2)设/：x=W+〃z,联立抛物线方程，利用韦达定理结合条件即得.

【小问1详解】

因为过点P(-L2)的直线垂直x轴于Q,丛PQF为等腰直角三角形，

所以^+1=2,即夕=2,

所以抛物线C的方程为/=4x；

【小问2详解】

由题可设直线/：x=W+“z,

\x=ty-\-m

由〈2彳，可得y-4ty-4m=0,

y=4x

则A=（-4/『+4x4加＞0,即r+加＞o,

设伞,必），8（工2,夕2）,

凹+%=4/,必必=-4加，

又尸（1,0）,尸（—1,2）,尸恰为的重心，

,X]+W-1=3,必+夕2+2=0，即斗+%=4,必+%=-2,

所以玉+工2=%（必+%）+2加=4,必+y2=4t=-2,

13

解得，=—，加=—,满足/+加＞0，

22

13

所以直线/的方程为x=——歹+―,即2x+y-3=0.

22

22.已知点尸（0,2）为椭圆&：W+《=l（a＞b＞0）的上顶点，椭圆/以椭圆片的短轴

a~h~

为长轴，点尸为椭圆刍的一个焦点，且椭圆片的离心率是椭圆的离心率的倍.

E2J5

（1）求椭圆片,4的标准方程；

（2）过点F作直线/与椭圆耳交于点4B,直线以，尸5分别与椭圆外交于C，。两点，

S.

设P4?和尸8的面积分别为5,$2,求芳的最小值.

A

2222

【正确答案】（1）二+二=1;—+^-=1

8434

289

（2）——

144

【分析】（1）利用椭圆的几何性质及椭圆”,"c的关系式，即可依次求得椭圆与与用的标

准方程;

(2)假设尸4为y=4x-2(KHO),联立椭圆月的方程求得％,同理求得巧利用三点

5xxS

共线求得占内的值；同理求得、c，X。,再由三角形面积公式推得《二送,从而得到?

关于6+后的关系式，进而利用换元法与函数的单调性即可得解.

【小问1详解】

因为点尸(0,2)为椭圆g:==l(a>6>0)的上顶点,

所以6=2,

因为点尸(0,-1)为椭圆马的一个焦点，所以。2=1，且椭圆当的焦点在歹轴上，设椭圆片2

22

,xy

为---F-1,

年出

因为椭圆七2以椭圆G的短轴为长轴，所