2023-2024学年深圳外国语高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年深圳外国语高二数学上学期期中考试卷

（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11

第一部分选择题（共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.）

----=1

1.己知椭圆的标准方程43，其焦距为（）

A.2B.GC.1D.2

2.设向量"，°，。不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（）

A[a+b,b-a.a}g[a+b,b-a.b}Q{a+b,b-a,c}{a+b+c,a+b,c]

3.己知向量a=(122)涉=(-2,1,1),则向量b在向量。上的投影向量为()

_4_4Af244^f211>£」

A.I9'9'9)B.19'9,9%.I3,3句D,U'3,3J

4.如图，在正方体中，M、N分别是8、CG的中点，则异面直线A"与所成角的

大小是（）

A.30。B.45°c.60°D.90°

OE=-EA,BF=-BC

5.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c9且24,则斯=)

13,113,113,113,1

—a——b+—c—a+—b+—c——a——b+—c——a+—b+—c

A.344B.344C.344D.344

6.己知直线/：皿一＞T=°,若直线/与连接A（L-2）、8（2,1）两点的线段总有公共点，则直线/的倾斜角

1

范围为（）

兀71713兀

49445T

A.B.C.D.

7.关于曲线c/+y4=i下列说法：①关于点®°）对称；②关于直线无轴对称；③关于直线＞=彳对称;

④曲线c是封闭图形，面积小于n；⑤曲线c是封闭图形，面积大于兀；⑥曲线c不是封闭图形无法计算

面积.其中正确的序号（）

A.①②⑥B.①②⑤C.①②④D.②③⑥

8.当曲线yn-67/与直线近一，+2左-4=°有两个相异的交点时，实数上的取值范围是（）

A"B刖C加D31

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）

9.下列命题中，正确的有（）

A.%%分别是平面&，£的法向量，若a〃£,则4

B.分别是平面团尸的法向量，若4•巧=。，则2,分

U

C."是平面a的法向量，。是直线1的方向向量，若。力=°,则〃/£

；（a,n}=120°

D.〃是平面。的法向量，“是直线1的方向向量，若'/,贝也与平面。所成角为6。°

10.下列各选项中，不正确的是（）

A.若从B、C、D是空间任意四点，则有A8+BC+CZ）+D4=0

B,对于非零向量。自〈。力〉°〉

C.若A3,°。共线，则AB〃CD

D.对空间任意一点。与不共线的三点A、反C,若°P=xO4+y°B+zOC（其中x,y,zeR）,则

尸、从B、C四点共面

11.已知直线0m+1卜+（10）广%2=0（由2与圆c：/_4x+y2=0,则（）

A.对VmeR,直线恒过一定点

B.3meR,使直线与圆相切

C.对V〃zwR,直线与圆一定相交

D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为加

2

12.瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂

线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC

的顶点A（—4,0）,B（0,4）,其欧拉线方程为x—y+2=0,则下列说法正确的是（）

A.△八8（3的外心为（一1,1）B.△ABC的顶点C的坐标可能为（-2,0）

C.△ABC的垂心坐标可能为（-2,0）D.△ABC的重心坐标可能为

第二部分非选择题（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

2__|___=]

13.椭圆169的焦点为士、P为椭圆上不同于长轴端点的一点，则的周长为

14.如图在平行六面体ABCD-ABrCDf中，AB=3,AD=1,AAr=2

/BAD=90。，4A=/DAA=60。，则AC的长是

15.过点P（1,2）且在X轴，Y轴上截距相等的直线方程是

16.据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风.台风中心位于城市A的东偏南60方向、距离城市1206协7

的海面尸处，并以2。幻〃/〃的速度向西偏北3。方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径

120A%台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.己知直角帅C的顶点坐标"（TO）,直角顶点'（1，一2）,顶点c在x轴上.

（1）求点C的坐标；（2）求•的斜边中线所在直线的方程.

3

18.如图所示，在棱长为2的正方体A'。。一MCA中，瓦F分别为叩3的中点.

⑴求证：Cf7/面AGD；（2）求点G到平面3＜歹的距离.

19.已知圆G经过“（1，3），8（4,2）,0（5,—5）三点.

⑴求圆G的方程；（2）过点。（3,3）向圆G作切线QS,QT,切点分别是S,T,求直线ST的方程.

20.已知圆E：（x+iy+V=16,点是圆£上任意一点，线段G厂的垂直平分线和半径GE相交于2

⑴求动点H的轨迹L的方程；

⑵若A（—2，°），8（2,0）,过F作直线/与轨迹L交于M，N两点（不与A8重合），记直线4〃与2N的斜率

♦

分别为如片,证明：网为定值.

21.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为2的正方形，△尸4。是正三角形，平面F4D，

平面ABC。

（1）求平面总与平面尸CD所成锐二面角的大小；

（2）设E为必上的动点，直线CE与平面上钻所成的角为6，求sin©的最大值.

22.已知A（3,0）,B（-3,0）,C是动点，满足=&（几为常数），过C作x轴的垂线，垂足为H,记

CH中点M的轨迹为「，

（1）若「是椭圆，求此椭圆的离心率；

⑵若“（2，1）在：T上，过点G（0,m）作直线1与「交于P、Q两点，如果m值变化时，直线MP、MQ的倾斜

角总保持互补，求AMPQ面积的最大值.

4

1.A

【分析】结合标准方程及椭圆,关系可求得结果.

【详解】由椭圆标准方程知：椭圆焦距为2g=2.

故选：A.

2.C

【分析】依次判断四个选项中三个向量是否共面即可

【详解】选项A：由于3+⑸-(〃-“)=%,三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；

选项B：由于(。+»+缶-")=2,三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；

选项C：若a+b涉一。，工三个向量共面，则存在使得c=»3一a)=(*-y)a+(x+y»,

则向量a，"c共面，矛盾，故〃+6*,三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；

选项D：由于"+6+'=(a+6)+c,三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；

故选：C

3.B

【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接求解即可.

【详解】因为向量”(1，2,2)8=(-2,1,1),

所以向量方在向量。上的投影向量为

a-baa-b-2+2+244^

=---a•(122)=

a1+4+4

故选：B

4.D

【分析】若E为CN中点，连接ME,A,E有ME//DN,异面直线所成角即为幺板，进而求其大小.

【详解】若E为CN中点，连接又M是C。的中点，皿MEHDN,

所以A"与DN所成角，即为4"与ME所成角幺

5

44£=—ME=^-

令正方体棱长为2,则AM=3,2,2

22

在AAtME中AtM+ME=4炉，则ZA.ME=90°

故选：D

5.D

31131

OF=—b+—cEF=OF—OE=——d+—b+—c

【分析】利用空间向量基本定理求解出44,从而求出344.

BF=-BCOF=OB+BF=OB+-BC=OB+-（OC-OB）=-b+-c

【详解】因为4,所以4444,

OE=—EA=—aEF=OF-OE=-—a+—b+—c

又23,所以344.

故选：D

6.D

【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.

卜=0

【详解】直线/的方程可得L=T,所以，直线/过定点〃（°‘一1）,

设直线/的斜率为左，直线/的倾斜角为a,则°<夕<兀,

T一（-2）-1-1

—1-------=1

因为直线丛的斜率为0-1,直线总的斜率为2

因为直线/经过点尸（°'一1）,且与线段AB总有公共点,

3兀

Q<zy<A—«a<兀

所以一IV左41,gp-l<tan（z<l,因为。<夕<兀，所以一-4或4

3兀

0,-u,7t

故直线’的倾斜角的取值范围是L4」T

故选：D.

7.B

【分析】将（f'-y）、（"7）和（丁㈤代入曲线c方程可确定①②③的正误；根据羽y的范围，结合当

6

T<%<1时，y：<$可确定曲线c围成封闭图形的面积大于圆x2+y2=l的面积，知④⑤⑥正误.

【详解】对于①，将（一员一丁）代入曲线C方程得：（一域+（7）4=*+力=1,

二曲线C关于点（°，°）对称，①正确；

对于②，将（x,r）代入曲线c方程得：d+（-y）4=*+V=i,

，曲线c关于直线》轴对称，②正确；

对于③，将（、㈤代入曲线c方程得：/+/=1,与曲线c方程不同，

，曲线c不关于直线y=x对称，③错误；

对于④⑤⑥，由Y+y4=i知：TWxWl,-l<y<l,则曲线C为封闭图形；

在曲线C上取-点”（不几），

当一1<%<1时，二君+$>考+乂=1,即点/在圆/+9=1外，

二曲线c围成封闭图形的面积大于圆/+9=1的面积无，⑤正确，④⑥错误.

故选：B.

8.C

【分析】确定曲线为圆的下半部分，确定直线的定点，根据直线与半圆相切时得到斜率，再计算Kc=l,

结合图像得到答案.

【详解】丫=一^^,即，+产=4,（y<0）,是圆的下半部分，

直线依-"21=。过定点A（-2T）,且C（2,0）,。（-2,0）,

画出图像，如图所示：

当直线与半圆相切且斜率存在时，圆心到直线的距离,解得

k==1

A，2+2,根据图像知:

7

故选：c

9.AB

【分析】根据平面向量的法向量的位置关系，直接判断面面，线面位置关系和线线角即可得到答案.

【详解】选项A.%，%分别是平面火尸的法向量，若?，则％〃%,正确.

选项B.心内分别是平面d6的法向量，若％•%=°,则正确

选项C.”是平面a的法向量，a是直线1的方向向量，若心"=°,则〃/&或/ua,故不正确.

:•日力=120。

选项D.”是平面。的法向量，a是直线1的方向向量，若'/,贝也与平面。所成角为30°,故不

正确

故选：AB

10.ACD

【分析】由空间向量的概念和运算对选项逐一判断.

UUUUUUUUU1ULUL1

【详解】解：A选项：若A、B、C、。是空间任意四点，则有AB+BC+CO+D4=°,故A错误；

COS=j^|==cos(-a,一苗

B选项：因为MN卜“产,且向量夹角范围为【°"］，所以〈。，6〉=〈-"，-%

故B正确；

C选项：若AB，。共线，则至〃8或A,民CO四点共线，故c错误；

D选项：对空间任意一点。与不共线的三点4B、C,若。尸=MM+y°B+z°C(其中x,y,zwR),

jjlijOP=(x+y+z)OA+y(^OB—OA)+z(OC—OA)即OP—(x+y+z)OA=yA.B+zA.C

当x+y+z=l时，AP=yAB+zACt止匕时只4&C四点共面，

当x+V+zNl时，此时P、A、B、C四点不共面，故D错误.

故选：ACD

11.AC

【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过定点；根据定点与圆的位置关系，即可判断圆与直线的位

置关系；当圆心与定点的连线与直线垂直时，即可求得直线被圆所截得的最短弦长.

［详角率］/：(2:〃+l)x+(l—7〃)y-7〃-2=O(〃zeR),即Qx—y—l)优+(x+y—2)=0,

f2x-y-l=0(x=l

令［x+y-2=0,解得［y=l,所以直线恒过点P(U),故A正确；

圆C：(x-2尸+产=4,圆心C(2,0),半径厂=2.

因为|PC1=W-2)2+(1-0)2=8<r,所以点尸(1,1)在圆c内,

8

所以直线与圆一定相交，故B错误，C正确；

当尸CU时，直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短,

最短弦长为2J/TPC，=26,故口错误.

故选：AC

12.ACD

【分析】求出直线AB的垂直分线方程，联立欧拉方程可求得外心坐标，判断A;求出外接圆方程，表示出

重心，坐标，代入到外接圆方程中，可求得C的坐标，进而判断B,D的对错；写出过C和直线AB垂直的

可能的方程，和欧拉方程联立求得垂心坐标，可判断C.

【详解】由顶点A（—4,0）,B（0,4）,可知直线AB的垂直分线方程为,二一》,

ABC的外心在直线x—y+2=0上，

jLy+2=0

联立1丁=-尤，可得外心坐标为（一1,1），故A正确；

设外心为G,则G（—1,1）,故仁川=加，

所以外接圆方程为（x+iy+（yT）2=i°,

（1―4y+4）

设c（尤,y）,则ABC的重心为（丁'丁），代入欧拉线方程为X—y+2=0中，

fx=2JLO

得：x-y-2=0,和（x+l）2+（y-l）』0联立，解得卜=0或^=-2,

即C点坐标可以为（2，°），（（），-2）,故B错误；

（--2---4）（--4---2）

由C点坐标为（2，°），（°，-2）,可知重心可能为3'3'3'3,故D正确；

当C点坐标为（2，°）时，过C和AB垂直的直线方程为了=一犬+2,

联立欧拉线方程为x-y+2=0可解得垂心坐标为（°，2）；

当C点坐标为（°，-2）时，过c和AB垂直的直线方程为F=-x-2,

联立欧拉线方程为x-y+2=0可解得垂心坐标为（一2,°）,故C正确，

故选：ACD.

13.8+2近

【分析】根据椭圆方程可得°，°,计算出。，然后根据椭圆的定义和焦距的定义可得三角形的周长.

9

-----1=19

【详解】由169可得/=16,厅=9,

所以c2=a2-b2=16-9=7,所以。=近，

所以146r2c=2币,

根据椭圆的定义可得口币+1刊■=2a=8,

所以△幽玛的周长为：口耳|+|「6|+|£居|=8+2近

故答案为：8+2近.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义、几何性质，属于基础题.

14.厄

【分析】根据题意，由条件可得AC'=A8+AO+44,再由空间向量的模长公式，即可得到结果.

【详解】因为AC=48+AO+A4，，所以Ml=(AB+AD+AA,)=|AB|+|AD|+|/L4,|

+2|AB|.|AD|COS90°+2|AB|.|AA,|COS600+2|A£)|-|A4,|COS60°=9+1+4+0

4-2X3X2X—+2xlx2x—=2214d-A./??I—

22，则-乜一«22,所以AC，的长是也.

故答案为：底.

15.2x-y=0或x+y-3=0

【详解】试题分析：当直线过原点时，可设直线的方程为，=丘，

代入点P(1,2)可得k=2,故方程为尸法，化为一般式可得2*-'=。；

"=1

当直线不过原点时，可设直线的方程为。。，

二+2=1。

代入点P(1,2)可得“=3,故方程为33，化为一般式可得3=0；

综上可得所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0

故答案为2x-y=°或》y-3=o.

考点：直线的截距式方程.

16.6小时

【分析】当城市距离台风中心小于等于120km时，城市开始受到台风侵袭，所以只要城市距离台风移动方

向大于等于120km即可；由题意，画出图形解三角形.

10

【详解】解：由题意如图，设台风中心到达Q,开始侵袭城市，到达0则结束侵袭.

在AAQP中，AQ=120km,AP=120&km,ZAPQ=30°,ZPAQ=180°-30°-ZQ=150°-ZQ,

12073120

由正弦定理得到sMAQPs6?30。，

所以/AQP=i20。，/AOP=60。，所以△AQO为等边三角形.所以0Q=12。

120/

------O

所以该城市会受到台风的侵袭时长为20小时.

【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用；关键是由题意将问题转化为解三角形的问题

17.(1)C(2，。)；⑵4x+3y+2=0.

【分析】(1)由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，求得点C的坐标.

(2)先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程.

【详解】⑴直角的顶点坐标"(TO),直角顶点3。，-2),

顶点C在x轴上，设

r,左BA.kcB=F―7*1,求得加=2,故C（2,。）.

则-3-1

0+24

3

M(——,0)——1

(2)斜边AC的中点为2,BM的斜率为2

故BM的方程为.312),即4x+3y+2=0.

【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于

基础题.

18.(1)证明见解析(2)3

【分析】(1)由平行四边形性质可知,/AG,由线面平行判定定理可证得结论;

(2)利用等体积法/叫“构造方程求得结果.

11

【详解】⑴连接AG,ADGDAJ

AV/CG,M=CQ；四边形ACGA为平行四边形，

AC〃AG,即c/〃AG,又AGu平面AG。，。方.平面AC。

.•c〃平面AG。

(2)连接''GJ

=J4-2=V2

B—BC〜BB；=2五,BQ.+BF;K加”,

112AS

.-.B.F+CF=BXC即8/_LCP=-JBlFCF=-x^xA/6=73

—(JD=]

尸为8。中点，，点r到平面8CG4的距离为2

VS£„>|rC|cC=-2B.C],]-CC.i=-2x2x2=2.'.K-D„|rC]rC=-3SDR]rC|cC-2CD=-3

2

j_VFB©C__3__26

-%/GC=%TCJ.•.点G到平面与。尸的距离3B，CF3.

12

[9（1）*+V—2兀+4y_20=0Q）2x+5y—17=0

分析】（1）假设圆的一般方程，代入A8,C三点坐标即可构造方程组求得结果;

（2）弦ST是以QG为直径的圆与圆G的公共弦，求得以°G为直径的圆的方程后，与圆G方程作差即可求

得结果.

【详解】⑴设圆G方程为：/+户以+助+F=0（RE,小R4+E—尸>。）,

圆G过点A。，]，现4,2）,C（5,—5）,

10+£>+3£+F=0伊=-2

:.<20+4D+2E+F=0J,E=4

5O+5D-5E+F^O；解得：|尸=一20(满足加+工一^^尸>0)

二圆G方程为：x2+y2-2x+4y-20=0

半径「=gj(-2)2+42-4x(-20)=5

圆G的圆心G（l，-2）,

（2）由（1）知:

0,QT与圆G相切，，S,T在以QG为直径的圆上,

22

.|2G|=A/(3-1)+(3+2)=V29>QG中点为口；］

(X-2)2+G」［="22

二以2G为直径的圆的方程为：I2)4,即厂+»-4尤一丁一3=0,

X2+y2-4x-y-3=0

<-

由J?+y~—2尤+4了-20=。得.2x+5y—17=0

即直线ST的方程为：2x+5y_17=0.

20.（1）43；⑵证明见解析.

【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可;

（2）联立直线与椭圆的方程，并根据韦达定理得到必+必，必必，表示出斜率后化简即可得证.

【详解】⑴圆氏（》+1）2+9=16,圆心E（-l,0）,半径厂=4

因为线段GF的垂直平分线和半径GE相交于a,

所以|HG|=|"「|,所以|"E|+田尸H"©+l〃G|=|EG|=r=4>|EF|

13

所以点H的轨迹是以E(T，0),“1⑼为焦点，且长轴长为4的椭圆.

故a=2,c=1,=Q2—H=3,

22

工+匕=1

所以点H的轨迹L的方程是43.

(2)证明：因为直线1不与重合，所以直线1斜率不为0,

故设ltx=my+l,M(x1,%),N(x2,%)

(x2y2.

---1---=199

<43=>(3m+6my-9=0

x=my+l

9

所以13z?,+4

%9m9m

%=+2=%(〃叽+1-2)="沙通一乂=_3/??+4一'=一3疗+4f=1

--9n

K~y2(myi+1+2)myiy2+3y2___^+3(____/___3

222

X2-23m+4'3m+4/3m+4一

kl1

所以七为定值5.

£742

21.(1)3.(2)7.

【分析】取AD的中点°,取BC的中点/，连接°P,°尸，以｛°尸。DOB为正交基底建立如图所示空间

直角坐标系。一孙z.

(1)求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角得二面角；

UU1UUUU1

(2)设=Xe[°，l],求出CE与平面皿法向量夹角的余弦的绝对值，利用函数的知识求得最大

值.

【详解】解：取的中点°,取BC的中点产，连接8,°厂，

因为底面ABC。是正方形，六。尸，也，

•.♦△乃是正三角形，。为AD的中点，.•.OPLAD,

又因为平面R4D，平面ABC。，平面平面ABCD=AT>,0Pu平面上4D,

14

：,OP±^ABCD,

以｛OR°£>,°P｝为正交基底建立如图所示空间直角坐标系。一孙z.

⑴尸(0,0,指),A(O,T,O),8(2,-1,0),则罚=(2,0,0),AP=(0,l,g),

设根=(x,y,z)为平面皿的一个法向量，

m•AB=2x=0

则[m-AP=y+J^z=0,则彳=。，令z=l,得y=_百，机=(。,一石,1)

尸(0,0,百)，C(2,l,0),。(0,1,0),则£^=(2,0,0),D尸=(0,-1,百)，

设”=5,6,c)为平面尸8的一个法向量，

n-DC=2。=0

<

贝I]〔",■°尸=_6+其=0,贝！|a=0,令c=l,得b=6,«=(0,73,1)；

m-n-2_12万

cos<m,n>=

\m\\n\2x22又〈九孔>£[0,4].3

n

：.面由与平面尸CD所成锐二面角的大小为了.

UUIUULIUI-I-

(2)i^BE=ABP,"e[0』],则BE='(-2』,")=(-22,2,6A)

则CE=CB+BE=(0,-2,0)+(-2A,2,后)=(-22,2-2,后)，

因为直线CE与平面上钻所成的角为.，

.、1\CE-m\|-5/3(A-2)+V32|

sin0n=|cos<CE,m>|=-----------=/——

.