2022-2023学年广西来宾市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西来宾市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知α,bER,(a+3i)+(2-i)=5+ði,贝Ilab=()

A.—4B.7C.—8D.6

2.在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,则|而+而+而|等于（）

A.2√^5B.2y∏>C.3D.4

3.下列命题正确的是（）

A.棱柱的底面一定是平行四边形B.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

C.棱锥的底面一定是三角形D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

4.若平面al平面S，且平面a内的一条直线a垂直于平面0内的一条直线b,则（）

A.直线a必垂直于平面∕?B.直线b必垂直于平面a

C.直线Q不一定垂直于平面SD.过a的平面与过b的平面垂直

5.已知正方形CMBC的边长为2,它的水平放置的一个平面图形的直观图为O‘AB'C'（。’力'在

0'x'轴上），则图形0‘4B'C'的面积是（）

A.4B.2C.yΓ2D.1

6.若高校从五位优秀大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中挑选三人执行“援藏”工作，这五

人被选中的机会均等，则甲或乙被选中的概率为（）

7.某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民

每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都

在区间［5,40］（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的

70百分位数是（）

8.已知三棱锥4-BCD是球的内接三棱惟，其中△力BC是等腰直角三角形，AD_L平面力BC,

AD=4,AB=½C=√^6,则该球的表面积为（）

A.28τrB.24πC.16πD.32√-3τr

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列命题正确的是（）

A.三点确定一个平面B.一条直线和直线外一点确定一个平面

C.圆心和圆上两点可确定一个平面D.梯形可确定一个平面

10.正方形ABCD中，AB=2,E为BC中点.则下列说法正确的是（）

A-AB-DE=4B.AB+BC=4

C.^DE=AB-^BCD.前在前方向上的投影为1

11.下列说法正确的是（）

A.抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”

B.若甲组数据的方差是0.03,乙组数据的方差是0.1.则甲组数提比乙组数据稳定

C.一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数是3,众数是5

D.为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式

12.己知数据甲：x1,X2∙∙∙，巧I的均值为焉，标准差为S物中位数为T物极差为R砂数据

乙：3/一1,3X2-1,3%I-I的均值为反，标准差为S,,中位数为7*z，极差为Rz，

则下列关系中正确的是()

A.X甲=3%乙B.S甲=3S/C.T甲=37/D.R甲=3R乙

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.计算复数含=.

14.甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是乙通

过面试的概率是|,且甲、乙是否通过面试是相互独立的.那么这两名大学生至少有一名通过

面试的概率为.

15.ΔλBCψ,。为BC中点，荏=2前，AD=λAB+μCE,则4+〃=.

16.己知。为AABC外接圆的圆心，。为BC边的中点，且BC=4,AOAD=6,则△4BC面

积的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量往,方满足五=(C,l),(α-2∂)∙(α+2b)=-12.a-b=2.

(1)求向量方与B的夹角的大小：

(2)求|2五+1|的值.

18.(本小题12.0分)

某高中学校为了了解生源学校对本校的评价，从招生片区的所有生源学校中随机抽取了100

个老师对学校进行评价，包括学校领导满意度、环境满意度、服务志度、教学水平等方面进

行调查，并把调查结果转化为老师的评价指数，得到了如表的频率分布表：

评价指数先[0,20)[20,40)[40l60)[60,80)[80l100)

频数1010204020

(1)画出这100个老师评价指数的频率分布直方图；

(2)考评价指数在［8(UOO)则表示对学校“非常满意”，现从评价指数在［6(UOo)的老师中按

照分层抽样的方式抽取6名教师，从这6人中任选2人，求恰有1人“非常满意”的概率.

频率

0.045■-J--1-T-Γ-∣

0.040_」_11_」

IIIII

0.035--∣-I-T一「一1

0.030-———一a.j-

IIIII

0.025Ii-T-II

0.020"-I-T-)・『

Illll

0.015一Ii-i-II

0.010--I一T一+一A-I

Illll

0.005一|i-7一II

204060801∞评价指数工

19.（本小题12.0分）

在△4BC中，A,B,C所对的边分别为α,b,c,且沅=（CoSA,-sinA）,n=（cosC,sinC'）,

且沅∙n=—

Q）求CoSB的值；

（2）若c=2,AABC的面积为2，2，求边从

20.（本小题12.0分）

如图，正四棱锥P-ABCZ）的高P。=4,AB=6,AC交Bn于。，E为侧棱PC的中点.

（1）求证：PA〃平面08E；

（2）求。到平面EBC的距离.

21.（本小题12.0分）

2023年全国第一届学生（青年）运动会（简称学青会）将在广西南宁举办，某中学欲在两名优秀

学生中挑选一名参加志愿者服务活动（翻译），他们的5次口语测试成绩如表：

序号12345

甲7285869092

乙7683858794

请运用所学统计知识挑选一名合适的学生参加运动会的志愿者活动（说明理由）∙

22.（本小题12.0分）

如图，已知正方体ABCD-&BIClDl中，E,F分别是BDI和力。的中点.

⑴求证：CD11EF；

（2）求直线CDl与平面BEF所成角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为(α+3i)+(2-i)=5+b2即(α+2)+2i=5+bi,

所以d=5,解得《二号所以就=6.

故选：D.

根据复数相等列出方程组，解出α,b再计算即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】4

【解析】解：在矩形48CO中，由AB=2,BC=I可得AC=H,

又因为而+而=近，

故而+而+正=2正，

故I而+而+码=2y∏>.

故选：A.

根据向量的加法运算法化简而+而+就=2而，根据矩形的特征可求对角线AC的长度，进而

可求模长.

本题考查了向量的线性运算、向量的模，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了棱柱、棱锥的结构特征与应用问题，是基础题.

根据题意，对选项中的命题分析判断真假性即可.

【解答】

解：对于4,棱柱的底面不一定是平行四边形，也可以是三角形或六边形等，所以A错误；

对于8,棱锥被平面分成的两部分也可能都是棱锥，如过棱锥顶点的平面与底面相交把棱锥分成

的两部分，所以B错误；

对于C,棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形或其他平面图形，所以C错误；

对于0,棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，如用平行于底面的平面截棱柱分成的两部分,

所以。正确.

故选：D.

4.【答案】C

【解析】解：在正方体ABCz）-&8母山1中，平面4BCD上面441DD1，

①，AA1U平面力BCD,ABU面441DjD1，AA11AB,441_L平面/BCD；

②DAIU平面/BCD,DC⊂ffiΛΛ1DD1,D∕l11DC,D&不垂直平面4BCD.

故选：C.

借助正方体判定.

本题考查了空间线线，线面、面面位置关系，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意，平行四边形。‘48'C'的底边长为2,另一边长为1,夹角为45。,

所以图形O'A'B'C'的面积为S=0'A'X0'C'Xsin45o=2XlXy=y∣-2.

故选：C.

根据题意，由斜二测画法分析直观图为平行四边形，求出其相邻边长，计算可得答案.

本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：所有的基本事件可列举为：

（甲乙丙），（甲乙丁），（甲乙戊），（甲丙丁）,

（甲丙戊），（甲丁戊），（乙丙丁），（乙丙戊）,

（丙丁戊），（乙丁戊）共10个，

甲乙都未被录用的事件为1个，

故甲或乙被录用的概率为1-2=芥

故选：D.

列举出所有的基本事件，再根据对立事件求出满足条件的概率即可.

本题考查了古典概型问题，考查对立事件，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：健身运动时间在30分钟以下的比例为(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)×5=0.85

85%,

在25分钟以下的比例为85%-0.05X5=60%,因此70百分位数一定位于［25,30)内，

由25+5X黑黑=27,可以估计健身运动时间的样本数据的70百分位数是27分钟.

U.o□-U.o

故选：B.

首先分析可得70百分位数一定位于［25,30)内，再根据百分位数计算规则计算可得.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：因为ADJ■平面ABC,ABu平面ABC,4BU平面力BC,

所以4Dl4B,ADLAC,

又因为AABC是等腰直角三角形，AB=AC=y∕~6,所以4B1AC,

所以可将三棱锥4-BCD补成长方体，

如图：

则三棱锥A-BCD的外接球就是长方体的外接球,

长方体外接球的直径等于长方体的对角线,

即2R=√AD2+AB2+AC2=√16+6+6=√^^8=4/?2=28,

所以外接球的表面积为4产兀=28TΓ,

故选:A.

先证明Ia8,ADLAC,ABLAC,再将三棱锥A-BCD补成长方体，利用三棱锥4—BCD的

外接球就是长方体的外接球求解即可.

本题考查三棱锥的外接球表面积的计算，关键是构造长方体模型进行计算，属于基础题.

9.【答案】BD

【解析】解：对于4不共线的三点确定一个平面，所以选项4错误；

对于B,一条直线和直线外一点确定一个平面，所以选项B正确；

对于C,如果圆上两点和圆心共线，则不能确定一个平面，所以选项C错误；

对于D,梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，所以选项。正确.

故选：BD.

根据题意，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可.

本题考查了确定平面的条件应用问题，是基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：由题意E为BC中点，以4为原点，AB,AD分别为X轴，

y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：D--------\C

则A(0,0),B(2,0),4(2,2),0(0,2),F(2,1),〃

所以而=(2,0)，市=(2,—1)，近=(0,2)AB-V

对于选项A,AB-~DE=2×2+0×(-1)=4，

所以选项A正确；

对于选项B,AB+^BC=(2,1)≠4.

所以选项B错误；

对于选项c,因为反=反+而=而一;而，

所以选项C正确；

对于选项。，而在前方向上的投影为TBC=1,

所以选项。正确.

故选：ACD.

以A为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标再逐项求解判断.

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量投影的运算，属中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：对于4因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A

错误；

对于8,因为方差越小越稳定，故B正确；

对于C,数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5,则其中位数为3,

众数为5,故C正确；

对于。，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故。错误.

故选：BC.

对于4根据随机事件的定义即可求解；对于B根据方差的性质及作用即可求解；对于C根据中位数

和众数的定义即可求解；对于。抽样调查和全面调查的定义即可求解；

本题考查了随机事件的概率性质、方差的性质、抽样调查、中位数的定义，考查了推理能力与计

算能力，属于基础题.

12.【答案】BD

【解析】解：的均值为装甲一故错误，

3xι-l,3X2-1.......3xn-l1,A

—,■的标准差为甲,故正确；

ɜɪi—1,3X21»∙∙∙3xn—1J9S,=3S3

的中位数为故错误；

3x1-l,3X2-1,...,3xn-l37>—1,C

-的极差为故。正确.

3x1—1,3%21>3X7J—13R(Z,

故选：BD.

根据已知条件，结合平均数、方差的线性公式，以及中位数、极差的定义，即可求解.

本题主要考查平均数、方差的线性公式，以及中位数、极差的定义，属于基础题.

13.【答案】l+2i

【解析】解：复数含=容盖答=竽=1+2,

1—1(1—Z

故答案为：l+2i.

复数的分子、分母同乘分母的共轨复数，化简为。+万缶/6/?)的形式.

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.

14.【答案】⅛

【解析】解：•••甲乙两射手的射击相互独立，

甲乙两射手同时瞄准一个目标射击且目标被射中的对立事件是：

甲乙二人都没有射中目标，

目标被射中的概率为P=ι-(i-∣)(i-∣)=γj.

故答案为：g.

根据相互独立事件的概率和对立事件的概率之和等于1即可求解.

本题考查了相互独立事件的概率和对立事件的概率，是基础题.

15.【答案W

【解析】解：•.♦。为BC中点，AE=2lB,

・•.AO=+AC)="3+-CE)

=⅛+∣(⅛-CF)=⅛-⅛,

VAD=λAB+〃CE,

故答案为：ɜ

由向量的线性运算结合已知条件即可得出结果.

本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题.

16.[答案】4∖∏,

【解析】解：。为AABC外接圆的圆心，D为BC边的中点，

ΛAO-AD=AO(AB+AC)=^AOAB^AO-AC=^AB+；力C=6,

2'y2244

.∙MB2÷ΛC2=24,

・.・BC=4,由余弦定理得16=482+AC2-2ab.4。・cosy4,

:∙AB∙4C∙cosA=4,:・cosA=/“，ʌsinA=/1------户

4BA。7∕lβ2√lC2

.∙.S=ɪ/lfi∙AC-sinA=∖AB-AC-∣1一一=±7W・心一低,

△ΔΛAB以C22qABzACz2

V24=AB2+AC2≥2AB-AC,AB-AC≤12,当且仅当AB=4C=2，^时取等号，

∙∙∙∆ABC面积的最大值为144-16=4<2,

故答案为：45∕-2.

利用向量的数量积运算得到AB2+AC2=24,再利用余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式

求最值即可.

本题考查了向量的数量积运算，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题.

17.【答案】解：(1)1=(√3,1)得同=2,

由0+21).0_2豆=∣α∣2-4∣h∣2=-12.得|石I=2，

设向量五与方的夹角为仇

由方小=I五I∙I石∖cosθ=2>得COSe=

因为0e[0,7r],所以

即向量日与方的夹角的大小为半

(2)∖2a+b∖=J(2a+b)2=J4∣α∣2+4α∙K+∣K∣2=2<7∙

【解析】(1)由0—2B)∙0+2B)=-12,利用数量积的运算律，结合平面向量的夹角公式求解;

(2)利用模公式求解.

本题考查平面向量的夹角与数量积，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由题中数据可得,

评价指数X[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80400)

频数1010204020

频率0.10.10.20.40.2

频率/组距0.0050.0050.010.020.01

所以频率分布直方图如下,

频率

卜丽

0.045■一∣—1-π-r-∣

0.040--I.-I_1-L.I

IIIII

0.035I!-T-JI

0.030-.∣.U.X-U.∣

Illll

0.025Ii一T一iI

0.02()-Y_.I

III,⅛I

0.015--m，

0.010——I-----1一+-1-----1

Illll

0.005~ιi--iI

20406080I∞评价指数工

(2)由分层抽样知，［60,80)抽取4人，［80,100)抽取2人，

标记这6人为：［60,80)的4人为4,B,C,D,［80,100)的2人为E,F,

基本事件有(4B),(AC),(AD),(4E)，(AF)，(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),

(C,F),(D,E),(D1F),(E,F),共15个，

记：“恰有1人”非常满意为事件4包含的基本事件有：(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),

(D1E),(D,F),(E,F),共8个，

则P")=ɪ.

【解析】(1)先列出频率分布表，再画出频率分布直方图；

(2)先由分层抽样抽出6人，再由古典概型求概率.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

19.【答案】解：(1)由题意知，m∙n=cosAcosC—SinAsinC=cos(½+C)=—cosB=

所以CoSB=ɪ.

(2)由(I)知COSB=J

因为8∈(0,π),

所以SinB=√1-cos2B=々一，

又AABC的面积为2-，

所以TaCSinB=2，2，即;αx2x乎=2λΓΣ,解得α=3,

由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB=32+22-2×3×2×∣=9>

解得b=3.

【解析】(1)结合平面向量数量积的坐标运算法则与两角和的余弦公式，对记•元=-5进行运算,

即可；

(2)先由三角形面积公式，求得α的值，再利用余弦定理，即可得解.

本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形面积公式，平面向量数量积的坐标运算，两角和

的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形,4CnBD=0,

则。为AC的中点，因为E为PC的中点，贝IJoE〃PA,

又因为PAC平面OBE,OEU平面OBE,

所以，Pa〃平面OBE.

(2)在正四棱锥P-ABCD中，。为底面力BCD的中心，

则P。J∙底面ABCZ),

因为E为PC的中点，则点E到平面ABCD的距离为∕ι=TPO=2,

1

X6X69

4--

因此%-OBC=WSAOBC=^x9x2=6,

因为AB=BC=6,

依题意PB=PC=√-34,

所以△PBC中BC边上的高为5.

11

X6X5

2-4-

设。到面BCE的距离为d,

,,3×612

由％-OBC=%-BEC得：—15—5•

2

【解析】(1)根据线面平行的判定定理证明即可；

(2)根据等体积法转化求。到平面EBC的距离即可；

本题考查线面平行以及点到平面的距离相关知识，属于中档题.

-72+85+86+90+92-76+83+85+87+94Cr

21.【答案】解:X甲=--------ξ-----------=8o5r,X乙=---------ʒ-----------=85,