2023届云南省昭通市鲁甸县一中学业水平模拟考试数学试题

2023届云南省昭通市鲁甸县一中学业水平模拟考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U=R,集合A={x[(x-l)(x—3)20},8=〉〉.则集合&A)B等于()

A.(1,2)B.(2,3]C.(1,3)D.(2,3)

2.已知产为抛物线C：V=8x的焦点，点A(l,〃z)在C上，若直线A尸与C的另一个交点为8,贝!||筋卜()

A.12B.10C.9D.8

1、

3.已知抛物线C的焦点为尸，准线为/,Q是/上一点，直线「厂与抛物线交于A,B两低，若PA=2AF，

4

则|钻|为()

4016

A.一B.40C.16D.—

93

4.已知焦点为产的抛物线C：V=4x的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上，则当黑^取得最大值时，直

线M4的方程为()

A.y=x+l或y=-x-lB.y=—x+—y=C.y=2x+2或y=-2x-2

■2222

D.y=-2x+2

5,若z=l+(l—a)i(aeR),|z|=&,则。=()

A.0或2B.0C.1或2D.1

6.设平面a与平面相交于直线加，直线。在平面a内，直线。在平面△内，且/?_Lm则“a_L/7”是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分不必要条件

22

7.设点P是椭圆「+匕=l(a>2)上的一点，与K是椭圆的两个焦点，若因居|=46,则归用+归周=()

a4

A.4B.8C.472D.477

8.已知复数z+5z，则Iz|=(

A.V5B.5A/2c.3V2

22Q

9'已知双曲线09一菅=9。力>。)的渐近线方程为广？片'且其右焦点为(5,。)，则双曲线0的方程为()

10.抛物线。：犬=2〃宜〃>0)的焦点为F，点4(6,%)是。上一点，质用=2〃，贝!］P=(

11.将函数/(%)=屈出2"期2%向左平移5个单位，得到g(x)的图象，则g(x)满足()

A.图象关于点(木,。［对称，在区间(0,?］上为增函数

B.函数最大值为2,图象关于点(g,o］对称

TT7171

C.图象关于直线x=£对称，在有，三上的最小值为1

6|_123_

jr

D.最小正周期为7，g(x)=l在0,-有两个根

12.若不相等的非零实数x,y,二成等差数列，且x,y,2成等比数列，则山=()

5

B.-2

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(x—y2)(x—y厂展开式中dy6的系数为.(用数字做答)

14.从集合｛1,2,3｝中随机取一个元素，记为",从集合｛2,3,4｝中随机取一个元素，记为b,则aWb的概率为.

15.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资

方案有一种.

16.已知复数z=l+2i,其中i为虚数单位，则z?的模为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在本题中，我们把具体如下性质的函数f(x)叫做区间。上的闭函数：①/(x)的定义域和值域都是O；

②/(x)在。上是增函数或者减函数.

(1)若/(x)=tan(s)在区间［—1,1］上是闭函数，求常数。的值;

（2）找出所有形如/（x）=alog3X+b6的函数（。力都是常数），使其在区间口⑼上是闭函数.

18.（12分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打

车软件在网上预约出租车出行，出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天

的日平均气温（单位：C）与网上预约出租车订单数（单位：份）；

日平均气温（℃）642-2-5

网上预约订单数100135150185210

（1）经数据分析，一天内平均气温xc与该出租车公司网约订单数y（份）成线性相关关系，试建立y关于》的回归

方程，并预测日平均气温为-7℃时，该出租车公司的网约订单数；

（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于-5。<2,若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则

从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.

附：回归直线》=Ax+4的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：

,£（七一亍）（刃一刃£工身一位♦》「

b=/=1------------=-----------=y-bx

f（%-亍产为%2一位2

/=li=\

19.（12分）已知函数/（x）=[*a+'sin无+（；a—G，cosx,且/（0）=—1，/（^）=1.

（1）求/（x）的解析式；

（2）已知8（%）=兀2-2犬+加一3（1</〃44）,若对任意的玉e[0,兀],总存在々，使得/（内）=8（工2）成立,

求，〃的取值范围.

1,

20.（12分）已知函数/（x）=ln-―-ax'+x（a>0）.

2x

（1）讨论函数/（x）的极值点的个数；

（2）若/U）有两个极值点看,々,证明[->--ln2.

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

,.x——2+s/^2,t

夕=2sin9+2acose（a>0）；直线/的参数方程为「（f为参数）.直线/与曲线C分别交于M,N两点.

y=\J2t

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程；

（2）若点P的极坐标为（2,4），|PM|+|PN|=5jL求。的值.

22.(10分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA，平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC

中点，G为线段EC中点.

(I)求证：FG//平面PBD；

(II)求证：BD1FG.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,A

【解析】

先算出集合A,再与集合8求交集即可.

【详解】

因为A={x|xN3或xWl}.所以屯A={x|l<x<3},又因为8={x|2'<4}={x|x<2}.

所以@A)cB={x[l<x<2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.

2、C

【解析】

求得A点坐标，由此求得直线AE的方程，联立直线AE的方程和抛物线的方程，求得8点坐标，进而求得|A6|

【详解】

抛物线焦点为尸（2,0）,令x=l,y2=8,解得>=±2&，不妨设A（l,2夜），则直线AE的方程为

>=普（％一2）=一20（％-2）,由仁二心（”一2）,解得A（1,20）,B（4,T闾,所以

|AB\=J（4—1）2+（T及—2夜）2=9.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.

3、D

【解析】

如图所示，过分别作AC_L/于C,BDLI于D,利用AAPCABPD和AFPMABPD,联立方程组计算得

到答案.

【详解】

如图所示：过A8分别作ACL/于C,BD工仔D.

PA=2AE，则|AC|=g|FM|=g,

4

ADAfAP3

根据AAPC得到：——=——,

BPBDAP+小丁加

AP+-

FM,即——广――9,

根据MPMNBPD得到：一=

BPBDAP+-+BDBD

3

解得AP=|,BD=4,故|阴=网+阳=|AC|+|B£>|=|.

故选：D.

y

【点睛】

本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

4、A

【解析】

MAMA_1_1要使黑

过M作与准线垂直，垂足为P,利用抛物线的定义可得

~MFMPcosZAMPcosZMAF|MF|

最大，则应最大，此时AM与抛物线C相切，再用判别式或导数计算即可.

【详解】

IM/41_I1

过M作与准线垂直，垂足为P,

|而一|丽cosZAMPcosZMAF

\MA\

则当所取得最大值时'/加4尸最大'此时,与抛物线°相切，

易知此时直线AM的斜率存在，设切线方程为y=k(x+l),

y=k(x+l),、

则2•则A=16—16k~=0,K=LZ=±1,

y=4Ax

则直线AM的方程为y=?。1).

故选：A.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

5、A

【解析】

利用复数的模的运算列方程，解方程求得”的值.

【详解】

由于z=l+(l-a)i(aeR),|z|=&,所以肝正面^=0,解得a=0或。=2.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.

6、A

【解析】

试题分析：aJLp,b_Lm=5—a又直线a在平面a内，所以aJLb,但直线-,不一定相交，所以"a_Lfr是"aJLb”

的充分不必要条件，故选A.

考点：充分条件、必要条件.

7、B

【解析】

,•,忻用=46

'：\FtF2\=2c=4y/3

:.c=2百

VC2=a2-h29b2=4

工a=4

.•.|P制+%=2a=8

故选B

点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不

画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖

掘出它们之间的内在联系.

8、B

【解析】

利用复数除法、加法运算，化简求得二，再求得忖

【详解】

z=2+5i=*t/)+5i=-l+7i,故|z|=J(-1>+72=5".

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.

9、B

【解析】

1o22

试题分析：由题意得一=：,c2=a2+b2=25,所以。=4,b=3,所求双曲线方程为土一二=1.

a4169

考点：双曲线方程.

10,B

【解析】

根据抛物线定义得|4刊=6+5，即可解得结果.

【详解】

因为|A耳=2〃=6+勺所以p=4.

故选B

【点睛】

本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

11、C

【解析】

由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得g(x)的解析式，结合正弦函数的图象与性质即

可判断各选项.

【详解】

函数/(x)=Gsin2x-cos2x,

贝Ji/(x)=2sin(2x-J

将/(无)=2sin(2x-总向左平移弓个单位，

712sin(2x+、

可得g(x)=2sin一

6I6J

由正弦函数的性质可知，g(x)的对称中心满足2》+巴=左肛左eZ,解得x=-2+红/eZ,所以A、B选项中

6122

的对称中心错误;

对于C,g(x)的对称轴满足2万+兰=&+2版■，丘Z,解得x=X+br,keZ,所以图象关于直线》=工对称；当

6266

7171,_冗71冗713571乃2x+二]1,2],所以在—上的最小值为1,

X€--,一时，2xH--E-,---,由正弦函数性质可知2sin

123633'66o6)123

所以C正确;

对于D,最小正周期为2昔万5当xe。，卜217+13高看，由正弦函数的图象与性质可知,2s1n2》+n讣1

2466

时仅有一个解为x=0,所以D错误;

综上可知，正确的为C,

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.

12、A

【解析】

x+zY7

由题意，可得y=z2=盯，消去y得Y+xz—2z2=0,可得一二—2,继而得到了二-7,代入即得解

2z2

【详解】

由x,y,z成等差数列,

Y-I-7

所以y=亍，又X，z,y成等比数列,

所以z2=孙，消去)'得V+XZ-2Z2=0,

所以+±一2=0,解得土=1或2=-2,

\z)zzZ

因为％,y,z是不相等的非零实数，

X7

所以一二一2,此时y=—

z2

,x+y.l5

所以=­2——=――.

z22

故选：A

【点睛】

本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、210

【解析】

转化(x—力(尤—y严=Mx—y)'°—»°,只有x(x—»°中含有/力即得解.

【详解】

(x-y2)(x-y)10=%(x-^)'0-y2(x-y)10

只有(x-H°中含有x?6,

其中犬寸的系数为C；)=210

故答案为：210

【点睛】

本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

14、§

9

【解析】

先求出随机抽取a力的所有事件数，再求出满足aS。的事件数，根据古典概型公式求出结果.

【详解】

解：从集合｛1,2,3｝中随机取一个元素，记为。，从集合｛2,3,4｝中随机取一个元素，记为〃，

则(。㈤的事件数为9个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),

其中满足aKb的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),共有8个，

Q

故aWb的概率为

【点睛】

本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.

15、60

【解析】

试题分析：每个城市投资1个项目有C：国种，有一个城市投资2个有种，投资方案共

=24+36=60种.

考点：排列组合.

16、5

【解析】

利用复数模的计算公式求解即可.

【详解】

解：由z=l+2i,得z?=(1+27)2=-3+4"

所以H=J(—3)2+4?=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查复数模的求法，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)±5；(2)/(%)=3log,x+\［x.

【解析】

(1)依据新定义,Ax)的定义域和值域都是［-1,1］,且.f(x)在［-1,1］上单调，建立方程求解；(2)依据新定义，讨

论/(x)的单调性,列出方程求解即可。

【详解】

[-④正局5、

7

(1)当啰＞()时,由复合函数单调性知，/(x)=tan(5)在区间-1,1］上是增函数，即有〈tan(一⑼=-1,解

tan69=1

得"；

[包一.卜方9

■JIJI

同理，当。＜0时，有《tan(—69)=1,解得。=,综上，co—±—o

44

tan^y=-l

(2)若/(幻在工在上是闭函数,则/(x)在［1,在上是单调函数,

①当/⑺在"⑼上是单调增函数,则｛/⑼f(1=)2=“b+=3〃\=9'解得\ci检=3验符合;

/⑴…96?=—13

②当/(x)在［1,9］上是单调减函数，贝叫解得

f(9)=2a+3b=1b=9

/(x)=-131og3X+9五在［1,9］上不是单调函数，不符合题意。

故满足在区间U,9］上是闭函数只有/(x)=31og/+6.

【点睛】

本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题。

3

18、(1)亍=-9.5%+165.5,232；(2)|

【解析】

(1)根据公式代入求解；

(2)先列出基本事件空间Q,再列出要求的事件，最后求概率即可.

【详解】

〃=5-=5

解：(1)由表格可求出亍=1,9=156,=20,5/9=780,=85代入公式求出方=一9.5，

/=1/=1

所以4=7—57=165.5，所以夕=—9.5X+165.5

当x=-7时，y=(-9.5)x(—7)+165.5-232.

所以可预测日平均气温为-7℃时该出租车公司的网约订单数约为232份.

(2)记这5天中气温不高于-5。€：的三天分别为A,8,C,另外两天分别记为D,E,则在这5天中任意选取2天有

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共1()个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有

AD,AE,BD,BE,CD,CE,共6个基本事件，

所以所求概率尸=搐=g，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为1.

【点睛】

考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题.

19、(1)/(x)=2sinfx--^\(2)(1,3］

【解析】

(1)由/(0)=-1,/(=1,可求出。的值，进而可求得f(x)的解析式；

(2)分别求得/(X)和g(x)的值域，再结合两个函数的值域间的关系可求出m的取值范围.

【详解】

(1)因为=

解得a=l,b=——

29

‘也+、

故/(x)=3sinx+V3sinx-cosx=

717T5冗】(兀\I

(2)因为xc[O,兀I,所以无一乙£—，所以sinl一乙£-7』，贝!I/(X)E[T,2],

666」I6八2」

g(x)=/一21+加一3图象的对称轴是x=l.

因为1<根W4,-2<X<加,所以g(x)mm=g⑴="-4,g(x)max=g(-2)=根+5,

1<<4

则(机一44一1,解得1<根43,故〃？的取值范围是(1,3].

"2+522

【点睛】

本题考查了三角函数的恒等变换，考查了二次函数及三角函数值域的求法，考查了学生的计算求解能力,属于中档题.

20、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)求得函数/(x)的定义域和导函数/'(x),对。分成a=O,aN：,O<a<：三种情况进行分类讨论，判断出/(x)

XO

的极值点个数.

(2)由(1)知aw(O,R,结合韦达定理求得知乙的关系式，由此化简人"'"的表达式为24111彳+彳+2/,

8%+/22

a13f(x.)+/(x)3__

通过构造函数法，结合导数证得2。1口一+—+2。>二一1112,由此证得J―成?立.

224%+/4

【详解】

(1)函数/(x)=In———ax2+x=-In2x-ax2+x的定义域为x£(0,+oo)

2x

得f(x)=----2cix+1=------------,xw(0,+8)9

xx

x-\

Q)当a=0时；f\x)

X

因为xe(O,l)时，/,(x)<0,xe(l,+oo)时，f'(x)>0,

所以X=1是函数f(x)的一个极小值点；

(«)若a>()时，

若A=1-8a«0,即时，/(x)<0,

8

/(幻在(0,+8)是减函数，/(X)无极值点.

若A=l—8a>0,即0<a<l时，

8

f(X)-2ax2—X+1=0有两根X],々，X]+工2='>°，X\X2->0,

2a2a

x,>0,JC2>0不妨设0<X)<x2

当Xe(0,X1)和%€(%2，+°°)时，f\x)<0,

当xe(无I，/)时，/'(x)>0,

孙々是函数f(x)的两个极值点，

综上所述。=0时，f(x)仅有一个极值点；

a2：时，/(x)无极值点；0<。<:时，/(x)有两个极值点.

(2)由(1)知，当且仅当ae(0,J)时，/(x)有极小值点玉和极大值点X2,且王，x?是方程2a?一%+1=。的两

8

根，

11e

•,•%+/=丁，％*2=丁，贝!]

2a2a

/(X)4-/(X)..12i12\/c、

所以J-----------2=(In-----cix^+玉+In-----UX2+%)，(2a)

x}+x22%j2X9

=[-(In2%+ln2x2)-a(xf+x；)+(x[+x2)]-2a

=[~ln{4x]x2)一+x；)+(x(+x2)1,2a

=[-In2—a(-1T__L)+L•2a

a4。a2a

八a1<1、八ci。1c

=(In------bld---)•2Q=2QIn—H---\-2a

24a2a22

设g(a)=2aIn—H---F2。，则g(a)=2In—k4,又aw(0,—),即0<—<—,

2228216

所以g'(a)=21nq+4<21n-!-+4=-41n4+4<0

113

所以g3)是(0,-)上的单调减函数，g(a)>g(-)=--]n2

884

/(x.)+/(x9)3..

・•・/(x)有两个极值点玉，x2,则J:J〉「n2

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与

转化的数学思想方法，属于中档题.

21、(1)(x-a1+(y-l『=/+1,x-y+2=0t(2)2