2023-2024学年山东省临沂市文峰区高一4月月考数学试题（含答案）

2023-2024学年山东省临沂市文峰区高一4月月考数学试题

一、单选题

1.如图所示，。是厶"。的边AB上的中点，记BC=a,8A=c，则向量CD=

1

A.一。——cB.ci—c

22

c.-aH—cD.ciH—c

22

【正确答案】c

【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得CD=BQ-BC=-BA-BC=H—c选项C.

22

向量减法的几何意义.

2-计算三黑

)

A.—^3B.6D.

33

【正确答案】D

【分析】由两角差的正切公式，结合1仙45。=1,即可求岀答案.

1-tan15°tan45°-tan15°._,A/3

【详解】------------=----------------------=tan((45°N-15°)=—

1+tan1501+tan45°tan150'73

故选：D

3.已知A5c是边长为2的等边三角形，则C4.A8=()

A.-2B.-2GC.2D.

3

【正确答案】A

【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的定义直接计算作答.

【详解】等边的边长为2,所以

7T

CA-AB=-AC-AB=-1AC\\AB|cosA=-2x2xcos—=-2.

故选：A

4.己知同=4,网=3,(2a-3b)-(2a+b)=13,求。与/，的夹角”()

71c兀一兀、2几

A.-B.-C.-D.—

6433

【正确答案】c

【分析】由(2a-3m-(2“+为=13可得〃丿=6,后由向量夹角公式可得答案.

【详解】(2a—3/?)•(2〃+。)=13=4。—3b—4〃g=13=64—27—13=4Q2=Q,/?=6，

a-b6g,又6e[0,7r],则'=

贝Ijcos。=

M%4x3

故选：C

g,则$出(2》+已兀)=(

5.已知sin[]一看)

6

A.随D-4

9

【正确答案】C

sinr=1,再利用诱导公式及二倍角公式计算可得;

【分析】令，=Y，则*Y，

(兀兀

【详解】令"x-三，则x=f+J,sinf=1,所以sin2x+^sin2「+已+—

6666

|_71|•2<27

=sin2f+—=cos2t=1-2sin~t=1——

299,

故选：C.

6.若平面向量a,6c两两的夹角相等，且问=2,忖=2,口=3,则卜+6+2*()

A.2B.10C.5或2D.D或4

【正确答案】D

【分析】两两的夹角相等，可得夹角为0。或120。,再分两种情况讨论，结合数量积的运

算律即可得解.

[详解],+/?+2cj=+/?+2cj=+b+4。~+2々为+4a・c+4b・c.

因为平面向量〃，。，c两两的夹角相等，所以夹角有两种情况,

即a，b，c两两的夹角为0°或120。,

当夹角为0。时，|«+Z>+2c|=2+2+6=10,

当夹角为120。时,

|a+h+2c|=^22+22+4x32+2x2x2x^-l^+4x2x3x^-lj+4x2x3x^-l^=4,

所以卜+人+2c|=10或4.

故选：D.

7.已知J3C的外接圆圆心为。，且2A0=A3+AC,|O*AB],则向量C4在向量8c上的

投影向量为（）

13uim13

A.—BCB.—BCC.—BCD.—BC

4444

【正确答案】D

【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可

【详解】2A0=AB+AC

所以一ABC外接圆圆心。为BC的中点，即8C为外接圆的直径，

又IAB冃A0|,所以.A3O为等边三角形，

ZACB=30°,:1CA|=|BC\cos30。=爭8C|,

向量C4在向量BC上的投影数量为：-|C4|cos300=-—|BC|x^=--|BC|.

224

3

故投影向量为—]5C.

4

故选：D.

8.如图，已知扇形AOB的半径为2,其圆心角为:，四边形PQRS是该扇形的内接矩形,

4

则该矩形面积的最大值为（）

B,

B.20-2

D,也

6

【正确答案】B

【分析】设NPQ4=c,根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于a的三角函数最值问题.

【详解】连接P0,设NPO4=则PS=2sina=QR,OS=2cosa,由己知可得：三角形OQR

是等腰直角三角形，即QR=CW=2sina,

所以RS=OS—OR=2(cosof-sin6z),

故矩形QRSP的面积为：

PSRS=4sina•(cosa-sincr)=2(sin2a+cos2a)-2=2V5sin[2a+一2

显然当a=9时，取得最大值2夜-2，

O

二、多选题

9.下列关于向量的命题正确的是（）

A.对任一非零向量“，百是一个单位向量

B.对任意向量a，b,卜-02卜7卜忖恒成立

C.^a=bS.c=h,贝！1(Z=C

32

D.在OAB中，C为边AB上一点，且AC:C3=3:2,则。C=gOA+gO8

【正确答案】ABC

【分析】根据向量的相关概念与线性运算逐项分析判断.

（I1|^|a

【详解】对于A：由于a是非零向量，则靑=円村=1,可得山是一个单位向量，故A正

确;

对于B：根据向量减法的运算法则可得：

当a，6共线时，卜一4="+|4（a>b反向）或卜-。|=问-1|（°，人同向），

故,」2Li；

当a，。不共线时，由三角形法则可得卩-4>|口-阳；

综上所述：口一4』口一卩卜口一1，故B正确；

对于C：根据向量相等的定义可得a=c，故C正确；

对于D：由题意可得0C=QA+AC=Q4+gAB=0A+g（0B_Q4）=MO4+wQB,故D错误;

故选：ABC.

10.已知A（2,3）,B（4,—3）,点尸在直线AB上，且卜4=2。4，求点P的坐标（）

A.（6,-9）B.（与,-1）

C.（8,-15）D.（5,-6）

【正确答案】AB

【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.

【详解】设P（x,y）,因为A（2,3）,8（4,-3）,且点尸在直线AB上，故由网=2网可得

以下两种情况：

AP=2PB»此时有（x-2,y-3）=2（4-x,-3-y）,解得x=],y=-l；

或AP=-2而，此时有(x-2,y-3)=-2(4-x,-3-y),解得x=6,y=-9；

故选：AB

11.如图，在海岸上有两个观测点C,D,C在。的正西方向，距离为2km,在某天10:00

观察到某航船在4处，此时测得乙4次?=30。,5分钟后该船行驶至B处，此时测得NACB=60。,

ZBCD^45°,ZADB=60°,则()

A.当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15。方向

B.当天10:00时，该船距离观测点C&km

C.当船行驶至B处时，该船距观测点C正km

D.该船在由4行驶至8的这5min内行驶了"km

【正确答案】ABD

【分析】利用方位角的概念判断A,利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD.

【详解】A选项中，ZACD=ZACB+ZBCD=600+45°=\05°,因为C在£>的正西方向，所

以A在C的北偏西15。方向，故A正确.

B选项中，在厶厶。。中，ZACD=}05°,ZADC=30°,贝lJ/CAO=45。.

COsin/AOC

由正弦定理，得4C==0,

sin/CA。

故B正确.

C选项中，在△BCD中，ZBCD=45°,ZCDB=ZADC+ZA£>B=30°+60°=90°,即/C8£>=45°,

则8O=CD=2,于是BC=20,故C不正确.

D选项中，在AABC中，由余弦定理，MAB2=AC2+BC2-2ACBCCOSZACB=2+8-

2x>/2x2x-=6>

即AB=Jkm,故D正确.

故选：ABD.

12.已知函数/<x)=—2sin?x+J5sin2x+1,则()

A.f(x)在［0,n］内有2个零点

B./(x)在(0,方)上单调递增

C./(x)的图象可由y=2sin2x的图象向左平移三个单位长度得到

D./（x）在-］（）上的最大值为1

【正确答案】ABD

【分析】对于A,把三角函数化简，求函数/（x）的零点进行验证；对于B,求函数的单

1T

调递增区间进行验证；对于C,通过图像平移公式进行验证；对于D,由--,0得出整

体角的取值范围，再得到f（x）的最大值.

【详解】fW=-2sin2x+73sin2^+1=cos2x+y/isin2x=2sin（2x+己）.

对于A,令2x+^=E«wZ,则X=一~—+—.

6122

当&=1时，X=二Sjr；当厶=2时，乂=1需1Jr满足题意，故A正确；

TTTTJiTT

对于B,令---F2EW2x+—W—+2E,kwZ,则——+kn<x<--3t-kjt.

26236

当％=0时，/（X）在卜：4）上单调递增，所以/（X）在（0?）上单调递增正确，故B正确；

对于C,由y=2sin2x的图象向左平移"单位长度得到y=2sin2卜+弓）=2sin（2x+］）,

故C错误；

TT兀，2sin（2x+^）e[-2,l],

对于D,若RG--,0，则2%+工£

O6

兀

所以/⑶在-5,0上故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.若』=（2,3）与3=（2x,-6）共线,则*=

【正确答案】-2

【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.

【详解】已知嚙=（2,3）与5=（2x,-6）共线,

贝iJ2x（-6）-3x2x=0,解得x=-2.

故答案为.-2

14.已知单位向量”，b，若卜+關=1,则a与人的夹角为

【正确答案】y

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出a/，再利用夹角公式计算作答.

【详解】单位向量a,b，满足卜+4=1,则有2am=1，解得分。=-；,

于是cos〈a/〉=〃〃=_',而04〈”,力4兀，则〈〃,»=§■,

1411。123

所以a与办的夹角为子2IT.

I，2无

故?

15.已知函数/0）=44!1（。》+9）（4>0,0>0,|0|<9）的部分图象如图所示，点（0,-3）,

【正确答案】—

2

IIT7T

【分析】根据图象可得函数周期，据此求出。=再代入点G,0）可得9=-三，再代入点

236

3

（0,-卞求出A,得到函数解析式进而求解即可.

【详解】由函数图像可知A=2.

设函数的最小正周期为T,则T=2（g-1）=4兀，

2兀1

又因为0>0,由7=—=4兀，解得G=7，

CD2

又由图可知函数〃X）经过点（糸0）,则sin6x]+e|=0,

所以丄x'+°=2lai,kEZ,解得（p=2far--ykeZ,

236

又因为时修所以当％二o时,展一和

1rr

所以/（X）=Asin（：x_二），

又函数图象过点（0,-当，所以Asin（-》=-1，解得A=3,

262

所以/（x）=3sin（gx-令，故/（7t）=3sin^x7t-^=3siny=,

故也

2

16.求sinl60（3+6tan50）=

【正确答案】6

【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角

公式及诱导公式化简求得结果.

【详解】sin160（3+6tan50）=6sin2。（石+tan50）=73sin20G+网索

^sin20+s"。320

cos50cos50

_2V3sin20cos20_\/3sin40_

sin40sin40

故答案为

四、解答题

17.已知|〃|=1,|。|=1,且向量4与。不共线.

⑴若a与。的夹角为120°,求（3a-。（。+匕）；

（2）若a与的夹角为60。且向量姑与妬-2匕的夹角为锐角，求实数k的取值范围.

【正确答案】（1）1

（2乂3-亚旨）u（竝,3+初.

【分析】（1）由数量积定义可求得a-b，展开（2a-6）-（a+6）代入a-b即可求得结果；

（2）由向量妬+人与%-匕的夹角的锐角，可得（店+1）.（环-1）＞0且不同向共线，展开解

k即可.

【详解】（1）&与方的夹角为120。,

/.a-b=pz||/?|cosl20°=Ixlx

:.(3a-by(a+b)=3a2+2a-b-b2=3+2x(-^\-]=\,

(2)a与匕的夹角为60。，

:.ab=|a|Wcos60o=lxlxg=g,

向量々-奶与ka-2b的夹角为锐角，

(a-町•(3-2))>0,且不能同向共线，

:.(a-kb)-(ka-2b)=ka2-(k2+2)a-b+2kb2=3k-^^->0,a-妨片4(3一2匕)(4>0),

解得3-币<k<3+6且k/土6,

即3-"<女<竝或拒<%<3+4，

实数k的取值范围是(3-疗,及)U(H3+S).

18.已知函数〃力=$也仁+38)+$拘］；8+斎的最小正周期为3；

⑴求函数“X)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间、对称轴及对称中心.

【正确答案】(l)〃x)=&sin(4x+1)

(2)单调递增区间为----—,keZ,对称轴为工=竺+eZ,对称中心为

248248448

【分析】(1)由诱导公式与辅助角公式可将/(X)化为+后由周期计算公

式可得解析式；

(2)由(I)结合函数丫=,皿*的单调增区间、对称轴以及对称中心，利用整体代换可得答

案.

【详解】⑴/(x)=sinf-^+i(wxj+sinj+^=sinfj+cosfj

=>/2sin)—69X+—+—j=V2sinf—69X+—|

(264丿(212)

2兀兀

因为最小正周期为所以@2・・・刃=8

22

函数/(X)的解析式为“力=&sin(4x+：)

(2)^--+2fat<4x+—<-+2fai,Z：GZ,<x<—+—,Z:eZ,

2122248248

11jrKTTTT

函数”X)的单调递增区间为丁一二「T+S，keZ.

L4o24o

令4为+%=far+巴#eZ,^x=—+—,keZ.

122448

.••函数〃x)的对称轴为x=『計wZ.

人45兀[[)/p>klZ5兀.)

令4x+—=kit、ksZ,得工=------,keZ.

12448

.••函数的对称中心为右桜，O，eZ.

19.已知a=(2cosx,cosx)/=(gsinx,2cosx)函数/(x)=a・6+"?-l在区间0,1上的最大

值为5,

⑴求常数〃?的值;

(2)当xeR时，求使/(x)24成立的x的取值集合.

【正确答案】(1)〃?=3

⑵x\kn<x<—+kn,k

【分析】(1)利用向量的数量积及三角恒等变换化简/(x),再根据三角函数的图象与性质

即可求加；

(2)由(1)求得/(x),根据三角函数的图象与性质即可解不等式.

【详解1(1)/(x)=a»b+m-\

f(x)=2x/3sinxcosx+2cos2x+m-1=\/3sin2x+cos2x+m

=2sin2x+—\+m,

I6丿

xe0,j,

c兀兀7兀

2xH---£<sin（2x+^J<1,

6~2

；・函数/（X）的最大值为2+m，/.2+m=5,/n=3,

（2）由⑴得/（工）=2$由（2%+e1+3,

由/（%）24得sin（2x+二）之丄，A2fat+-?2x-?2hi—（k?Z）

62666v

TT

解得.kn<x<lcK+—（k^Z）

3

〃司24成立的X的取值集合是卜的"苦+也,丘21.

20.如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心。距离水面的高度

为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则“为负数），若

以盛水筒产刚浮出水面时开始计算时间.

（1）求”与时间f（单位：s）之间函数关系”=Asin（0f+*）+K[A>0,<W>0,-]<8<5

⑵在（1）的条件下令/（x）=Asin（（yx-9）,的横坐标缩小为原来的卷，纵坐标变缩小

为原来的;得到函数g（x）,画出g（x）在[0,句上的图象

0

1

-

2

-1

【正确答案】⑴d=4si%匸）+2；

（2）图象见解析

【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出AK,。的值，再利用特殊点求出9,即可得函数

的关系式；

(2)先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、

连线即可得大致图象.

【详解】⑴由题意厶=4+2,d1nhi=2-4=-2,

所以A=dnax-"min=6-<-2)=4,长=4g+"min=生匚=2,

2222

因为逆时针方向每分转2圈，所以。=弓|曙白

6()15

因为f=0时，。=0,所以0=4sine+2,即sin°=-g,

又•n兀一所兀以LLi、i

(p——,所以。=4sin(—t—)+2；

6156

⑵由(1)知/(x)=4sin但x-爭，所以/(x)的横坐标缩小为原来的白，纵坐标变缩小

1156丿30

为原来的;得到函数g(x)=sin(2x+^),

列表如下

-兀It71兀兀

兀32兀13

2元+一

662~2-6~

X0n5兀2元117T兀

6T~V2

fix)\_10-10

2~2

(1)当xe时，分别求函数/(x)取得最大值和最小值时x的值；

(2)设A3C的内角4B,C的对应边分别是c且〃=2G，b=6,f[^^-i,求c的值.

【正确答案】(l)x=g时最大值0；犬=-合时最小值-乎-1；

(2)c=4G或2G.

【分析】(1)应用向量数量积的坐标运算，二倍角、辅助角公式化简得fM=sinhx-^j-l,

由正弦型函数的性质求f(x)的最值；

(2)由已知及三角形内角性质得A=:,法一：应用余弦定理列关于。的方程求解即可；法

6

应用正弦定理求得8=1或8=g，分别求出对应的c值即可.

【详解】(1)由题知：

/(x)=>/3sinxcosx-cos2=与sin2x-；cos2x-l=sin^2x-^-l,

Xe_77,77，则-142X-‘4日,故一W4sin(2x-2]«l,

_121ZJ3o32IoJ

.•.当sinRx-m)=l，即2x-^=W，得了=弓时/(x)取得最大值0,

I6丿623

当sin(2x—二]=—,即2x—=—,得冗=---时/(%)取得最小值—^^一1.

(6丿263122

(2)由=5吊(4一e)一1=一1，即sin(A-*=0,又Ae(0,7t),则厶=己.

法,：由余弦定理a?=/+Z?2—2xcxbcosA得：c2—6A/3C4-24=0,解得：c=46或2G.

法二：由正弦定理三=一々有飞皿8=且，则3=9或8=§,

sinAsin3233

当3=方时，C=p由勾股定理