2023-2024学年湖北省襄阳市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省襄阳市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.设aeR,则“a=-3”是“直线4：or+2y-l=0与直线6：(a+l)x+ay-2=0垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.重要条件D.既不充分也不必要

条件

【正确答案】A

【分析】先根据直线垂直求出。的值，再根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】直线4：ox+2y-l=0与直线4：(a+l)x+@一2=0垂直

则a(o+l)+2a=0,解得a=0或a=-3,

则％=-3”是“直线《：如+2k1=0与直线4：S+l)x+砂-2=0垂直”的充分不必要条件.

故选：A.

2.若函数y=/G)在x=x。处的导数为1,则1而"与2)："%+2.)=()

A3AX

A.2B.3C.-2D.-3

【正确答案】D

【分析】根据导数的定义可知，1皿/&-，)-9+2以)=],即可得出答案.

——Ax-2Ax

【详解】由已知可得，/'(/)=1.

根据导数的定义可知，lim二/电I2-®=/,(4)=],

A-o-Ax-2Ax

即」lim/C%AX)一/(X(>+2AX)=],

3.->oAr

所以lim..2)一八212")=,g

ATTOAX

故选：D.

3.已知圆。।：x?+/=1与圆a:(x-2>+(y-2>=16,圆/与圆«、。2均相切，则圆/的

圆心/的轨迹中包含了哪条曲线()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【正确答案】B

【分析】根据两圆方程可得出两圆圆心以及半径，求出圆心距.根据圆心距与两圆半径的关

|。/=夫+。

系可得两圆内含，设圆/的半径为R,结合图象可得出,消去R可得

M=r2-R

\021\+\011\>^02\,即可得出答案.

【详解】由圆a：x2+/=i可得，圆心a(o。，半径11；

由圆。2：(x-2)2+(y-2)2=16可得，圆心。2(2,2),半径々=4.

又|。。』=J(2-0『+(2-Of=26，且|o勾=20<3=々-八,

所以两圆内含，又4.

设圆/的半径为R.

由题意结合图象可得，圆/应与圆。|外切，与圆。2内切.

则有，所以+=6+4=5>,

根据椭圆的定义可得，圆/的圆心/的轨迹为椭圆.

故选：B.

()1111

4.已知等比数列｛4｝满足：a2+a4+a6+a^=20,a2-a8=8,则一+—+—+—的值为()

的44。8

5

A.20B.10C.5D.-

2

【正确答案】D

1111

【分析】利用等比数列的性质可得：a4-a6=a2-a8=8,对一+—+—+—进行化简后求值

5%%>6

即可.

【详解】在等比数列｛勺｝中，由等比数列的性质可得.4・。6=3・4=8

4+4_。2+。4+。6+_20

所以一+—+—+—=二-

82•

故选：D

5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不

知数''问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出

的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理''"中国剩余定理讲的是一

个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余1且被7除余4的数按

由小到大的顺序排成一列，构成数列{4},则&=()

A.103B.107C.109D.105

【正确答案】C

【分析】根据正整数。“被3除余1,且被7除余4,推出%-4是21的整数倍，推出

q,-4=2I(〃T)后可计算出心.

【详解】显然4=4,

因为正整数死被3除余1,所以4-4是3的整数倍，因为正整数。“被7除余4,所以。“-4

是7的整数倍，

所以。“-4是21的整数倍,

又。“是正整数，且4=4,所以%-4=21(n-1),即%=21〃-17,

所以％=21x6-17=109.

故选：C

6.直三棱柱力8C-451G中，Z8C/=90。，N分别是4A，8C的中点，8C=C4=CC；,

则与/N所成角的余弦值为()

「俪

10

【正确答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求异面直线所成角的余弦.

【详解】以C为原点，C4C8,CC1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系,

不妨设8C=a=CC=2,则有/(2,0,0),N(0,l,2),5(0,2,0),

标二(-2,1,2),SM=(1,-1,2),

c°s＜募疣=部聚口出

V9xV618-

则BM与AN所成角的余弦值为逅.

18

故选：D.

7.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，准线为/,直线，':缶-y+2=0,动点用在C上运

动，记点M到直线/与厂的距离分别为4,4，。为坐标原点，则当4+”2最小时，SinZ.MFO=

()

A.正B.—C.—D.—

2346

【正确答案】C

【分析】由抛物线的定义可知4=|防|,设于点N,则4+%=恢阳+恢叫，当

三点共线时，4+4取得最小值，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形的

余弦，即可求得结果.

【详解】由抛物线的定义可知4=|防1,设例NJJ'于点N,则4+4=|四/|+|四时，

当户三点共线时，4+4取得最小值，

由抛物线C：/=4x得尸(1,0),

所以点F(l,0)到直线-:缶-y+2=0的距离为

公更专，

V7+1V8

设直线r:缶-y+2=0与x交于点。,

2

令尸0,得x=_/,

所以X=|FZ)|=1=-^=—»

7

在RtADNF中，COSZ-MFO=cosZNFD="尸,

\FD\78xV7+24

所以sinAMFO=Vl-cos2AMFO=

8.已知点力《,0）,3（3,0）,P为直线/:x+y—5=0上一动点，当/4PB最大时，点尸的坐

标是（）

A.（2,3）B.(3,2)D.(1,4)

【正确答案】B

【分析】过48作圆与直线/相切于P,在直线/上任取一点不，连接/兄交圆于。，由

NAP°B<NAQB=NAPB得产点即为所求点，利用几何关系求P点坐标即可.

【详解】如图所示过48作圆与直线/相切于P,在直线/上任取一点《，连接力兄交圆于。,

因为N4P°B<N4QB=NAPB,所以切点P即为所求点,

因为c点坐标为（5,0）,所以由切割线定理|af=|c/i||C5|得|CP|=2V2,

又由直线/的倾斜角为135。可得ZPCB=45°,且|CB|=2

由余弦定理可得|尸4=2.

所以PBLx轴，

所以P点横坐标为3,代入直线方程得P点坐标为（3,2）,

故选：B

二、多选题

2o

9.已知方程上——Z_=l/eR）,则下列说法中正确的有（）

16+A9-k

A.方程一E——乙=1可表示圆

16+攵9-k

B.当攵>9时，方程工——乙=1表示焦点在工轴上的椭圆

16+k9-k

C.当-16<攵<9时，方程工——亡=1表示焦点在1轴上的双曲线

16+Ar9-k

22

D.当方程-r----匚v=1表示椭圆或双曲线时，焦距均为10

16+49-k

【正确答案】BCD

【分析】分别将人的值代入各个命题，根据圆锥曲线方程的特点即可作出判断.

V2V2

【详解】对于4当方程-----0=1可表示圆时，16+%=〃-9>0,无解，故4错误.

16+A9-k

2222

对于8,当人>9时，-----J=-^+E=i,16+%>&-9,表示焦点在x轴上的椭

16+左9—k16+%k—9

圆，故3正确.

f2

对于C,当一16<%<9时-----匚v=1,16+*>0,9一左>0,表示焦点在％轴上的双曲

16+左9-k

线，故。正确.

v-22

对于。，当方程「-----匚=1表示双曲线时，。2=16+%+9-上=25;当方程

16+A9-k

户V2

—.....匚=1表示椭圆时，，2=16+%-（笈-9）=25,所以焦距均为10,故。正确.

16+A-9-k

故选：BCD

10.如图，在平行六面体NBC。-44GA中，以顶点/为端点的三条棱长都1,且

NO48=ZD//=NA44=6e，则下列说法中正确的有（）

A.AC1BD,

B.BD、=娓

C.8。/平面/CG

D.直线8。与/C所成角的余弦值为手

【正确答案】CD

【分析】根据空间向量的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】以｛加：/6：/彳1为空间一组基底，

AC=AB+AD,BDi=AD^-AB=AD+AA,-AB,

••,、••♦，、,•―、••-v、••，、

AC,BD1=（N8+4O）（4O+N4-皿

=AB♦AD+AB,Al、一AB•4B+AD•AD+AD•AA、一AD,AB

=lxlx—+lxlx--1+1+lxlx--IxlxLlwO,

2222

所以4。与5。不垂直，A选项错误；

▼▼▼八--TX▼▼▼▼八）

BD「=（AD+A^-AB^

▼▼畛▼▼vx▼▼八▼▼八

=AD++AB'+2ADAA,-244tAB-2ADAL

111

=l2+l2+l2+2xlxlx——2xlxlx——2xlxlx-=2,

222

所以忸A|=&,B选项错误.

依题意可知，四边形力BCD是菱形，所以

AC]=AB+AD+AA1,BD=AD—AB,

■-一，、••，、•■，、-•・，、••/、，、--▼、

AC.BD=(AB^AD+AA,)-(AD-AB)

=ABAD+ADAD+AACAD-ABAB-ADAB-AA}AB

1.1.11c

=1x1x-F14-1x1x1-1x1x1x1x—=0

2222

所以4G_LB。，

由于4G^C=A,Zq,ZCu平面ZCG,

所以平面4CG，C选项正确.

设直线8。与/C所成角为。,0494鼻，

AC=[AB+AD^=AB'+2AB-AD+AD=l+2xlxlX]+l=3,/C=5

\AC-BD\IJZ

所以cose=F可=厂厂=三,D选项正确.

明.陷|V3xV26

故选：CD

11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角

垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第〃层有4个球,

从上往下〃层球的总数为S.,则（）

蠹（Rwo

A.S$=35

B.%一%=n,n>2

/?（Z74-1）

C.

2

1111200

D.—i---1----1---1----=---

为a2a3400101

【正确答案】ABD

【分析】根据已知可得递推公式f'T、,，根据累加法可得为=吗红).通过计算

[a„^a„_,+n,n>22

可判断A项；根据递推公式可得B项正确；由Sw-S“=”的即可判断C项；化简

—=2|二],相加即可判断D项.

a„I"«+1>

【详解】由题意可得q=1,

当“22时，a2-at=2,a}-a2=3,L,an-n,

以上式子累加可得：a,-a,=2+3++〃=也罗-1,所以当〃=1时，该式

也成“，所以a\•

对于A项，S5=%+4+%+4+%=1+3+6+10+15=35,故A正确;

对于B项，由前面分析可知：当〃22时，an-an_}=n,故B正确;

对于C项，S,+LS.=a“M=（〃+、〃+2）,故c错误;

对于D项，因为'=（2八=2a一一二］,

所以L+'++-=2fI-^+2f^-1V+2

可生”io。v2）\23J

故选：ABD.

12.已知P为双曲线3-/=1上一点，/(-2,0),8(2,0),令ZPAB=a,ZPBA=/3,下

列为定值的是()

B.tan4tan且

A.tanatanP

22

C.5PAIItan（a+^）D.SPABcos（a+^）

【正确答案】AC

【分析】设第二象限点「(〃?,〃)，由题设得加2-4=41且tana='二，tan^=d-,进

加+22—777

而可判断各选项是否为定值.

【详解】

不妨设尸(见〃)在第二象限，可得仁-/=1,即,"2一4=4",而tana=二，tan夕=--

4〃2+22-m

**.tanatan(3=r——=--'=—为定值，A正确；

/_44/4

由倍角正切公式及0<彳,4<3,可得tan0=_@+tan2a+l,tan《无土

2222tana2tan/

tan5t一,=4(Jl+tarra+1)(J1+tan~/?—1)不为定值,B排除；

tdn+tdn

tan(a+/?)=--^-=-^-,而S尸检=?〃x4=2〃，故S18tan(a+Q)=_g为定值,

1-tanatan/75n2''5

C正确；

Q

由C知：S4BCOs(a+£)=-msin(a+P)不为定值，D排除；

故选：AC.

三、填空题

13.圆C:(X-1)2+Q+1)2=4上到直线/:x+y-应=0的距离为1的点的个数为

【正确答案】3

【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径『，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线

的距离d,由半径r-d=l,从而得到该圆上到直线x+y-万=0的距离为1的点的个数即

可.

【详解】解：由圆的方程C:(x-l)2+(y+l)2=4,得到圆心坐标为半径,・=2,

二圆心到直线x+y—0=O的距离d=凡s

Vi+i

则圆上到直线/:x+_y-0=O的距离为1的点的个数为是3.

故3.

14.已知y=lnjx+l,

则y'=

Vx-1

【正确答案】-七

【分析】化简可得y=g[ln(x+l)-ln(x-l)],然后根据复合函数的求导公式即可得出答案.

所以y=_Lx(x+l)’_Lx(x-l)'=]11

2x+12x—12(川)2(x7)

故答案为目

15.已知数列｛《,｝满足4=3,%=9,且a“+2=4,+1-4“("€N*),则为)8=

【正确答案】9

【分析】根据递推公式求出数列｛”“｝的前几项，观察可得，数列｛”“｝的周期7=6.根据周期

性即可得出答案.

【详解】由已知当m=1时,有。3=。2-4=9-3=6,

依次可求出能=-3,a5=-9,a6=-6,%=3,a8=9.

经过观察可得，数列具有周期性，其周期7=6.

又308=51x6+2,所以%)8=&=9.

故9.

一+/_

16.已知点P是椭圆C:l(a>b>0)上任意一点,C的离心率为e,若圆

0:/+『=/上存在点/,8,使得4P8=150。，则e?的最大值为

【正确答案】三巨

4

【分析】连接。尸，当尸不为。的上、下顶点时，设直线PM,7W分别与圆。切于点

N,设ZOPM=。，连接OM,得l°PW胡运，又|OP舄=a,得忘再访即可解决.

【详解】连接OP,当尸不为C的上、下顶点时，

设直线PM,PN分别与圆。切于点M,N,

设NOPM=0,

由题意知NA/PNZ150。，即75工。<90。，

所以sinO'sin75°,

连接OA/,

所以sin8==工2#+二,

\OP\\OP\4

4b

所以1"尽而达’

又因为|OPJ=a,

所以有aW^、，即^士姐史，

76+72a4

结合/=/>2+c2得@2=]_14三巨.

a24

故三旦

四、解答题

17.已知圆C：x2+y2-2x-4y-20=0

(1)求圆C关于直线x-2y-2=0对称的圆。的标准方程；

(2)当Z取何值时，直线船-夕+34+1=0与圆C相交的弦长最短，并求出最短弦长.

【正确答案】(l)(*-3)2+(y+2『=25；

⑵k=-4,4^2.

【分析】(1)根据斜率公式和中点公式，结合圆的标准方程进行求解即可；

(2)先判断直线过定点，利用圆的性质进行求解即可.

【详解】（1）圆心C（l,2）,『=5,设。（叽〃），因为圆心C与。关于直线对称，所以

1±^_2X^-2=0

22

'_=>0（3,-2）,r=5

二-2

tn-\

所以圆。标准方程为：（x-3）2+（y+2>=25；

（2）直线/过定点”（-3,1）,当CN，/时，弦长最短，

k°M=~k=-4

止匕时最短弦长为2^r2-|CA/|2=2725-（7（^3-1）2+（I-2）2=4五.

18.己知数列｛4“｝满足。।=2,log2%+|=bg2a“+l.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

⑵求｛（3〃-1）。,,｝的前"项和S”.

【正确答案】（1）勺=2"（〃€叶）；

⑵S“=8+（3〃_4）・2"”

【分析】（1）根据给定条件，变形等式，利用等比数列定义判断作答.

（2）由（1）的结论，利用错位相减法求解作答.

【详解】（1）在数列｛见｝中，Ea,=2,log2a,lt）=log2a„+l,则log?誓=log?”,向-log?勺=1,

于是得竽=2,因此数列｛应｝是首项为％=2,公比为2的等比数列，

所以4=2x2"T=2"（〃eN）

（2）由（1）知，（3n—=（3n—1）x2",

贝!=2x2+5x22+8x23++（3M-4）X2,,_|+（3n-l）x2",

于是得2S,=2x22+5x23+8x24++（3n-4）x2"+（3n-l）x2"+,,

两式相减得：-S,,=4+3X(22+2，++2")-(3M-1)X2"+,

=-2+3x斗?-（3"-l）x2-i=-8+（4-3«）-2,,+|>

所以S“=8+（3〃-4）-2"+1

19.如图，线段是圆柱。。的母线，/8C是圆柱下底面厂。的内接正三角形,

(1)劣弧8c上是否存在点。，使得。。〃平面Z/8?若存在，求出劣弧8。的长度；若不存

在，请说明理由.

(2)求平面CBO、和平面B4Al夹角的余弦值.

【正确答案】(1)存在，劣弧80的长度为我

6

⑵普

【分析】(1)利用面面平行得到线面平行即可求得点。位置，再根据/8C是厂。的内接正

三角形及/B=3,即可求得N8OD以及厂。的半径，从而可得劣弧8〃的长度；

(2)分别求得平面C2Q和平面加4的法向量，即可求得二面角的余弦值.

【详解】(1)如图过点。作43的平行线0。交劣弧BC于点。，连接。。，0Q,

因为oq〃/14，44匚平面448,001二平面/48,则oq〃平面”//

同理可证。。〃平面445,。。10D=0,且。Qu平面0aD,0。匚平面。《。

所以平面44田〃平面OQQ,又因为QDu平面。QQ,所以OQ〃平面

故存在点。满足题意.

因为j8C为底面厂。的内接正三角形，

■JT77"

所以N8ZC=—，即ZABO=NBOD=一，

36

又因为"=3,

3.R

所以「。的半径为。.万一7，

2sin—

3

71

所以劣弧8。的长度为工*2分石=叵.

2乃6

（2）如图取BC的中点为"，连接版1,以MB为x轴，为J轴，过河作OQ平行线为z

轴，建立空间直角坐标系，又因为力4="8=3,设N8中点为N.

1/il/

41/11//

勺

故”（0,0,0）,4*0，。]，A0,乎,0）,（o（o,*,o],。/（）淮,3

I2J12J，2,

C3A、T

N=，乎，°，易知平面448的法向量。N=

[44J（44J

设平面C8。的法向量为；：（x,y,z）,

又因为〃a=[o,号,3,A/B=[5,O,OJ

优茯=0[争+3z=。

故（xT即｛2,令夕=2百德U=（0,273,-1）

|〃加0，=0

12

易知平面CBO、和平面夹角为锐角,

3

2_二回

所以平面C8。和平面A44夹角的余弦值为

/TT13

20.已知函数/(x)=e'T+Q,函数g(x)=ox+lnx,QER.

⑴若曲线夕=/(x)与直线y=x相切，求。的值;

(2)若a=0,证明：/(x)>g(x)+l；

【正确答案】(l)a=0；

(2)证明见解析

【分析】(1)设曲线y=/(x)在。(X”M)点处切线y=x代入解方程即可求

则H

出答案；

(2)令尸(x)=/(x)—g(x)=e、T-lnx,F'(x)=e、T-L(x>0),求出尸(x)的单调性，即可证

X

明.

%=再

【详解】(1)设曲线y=/(x)在。(西,必)点处切线y=x则

小)=1'

由于ra)=e*T,所以/=1,弘=1,

由题意知：y{=e'-'+a,于是。=0；

(2)令尸(x)=/(x)-g(x)=e*T-Inx,F'(x)=er-'--(x>0),

X

当xe(0,l)时，0<ei<i,所以0<e、T<i<L即9(x)=尸-4<0,

XX

当xe(l,+a>)时，1<L，所以e->l>L

X

即尸'a)=ei-L>0,

X

于是F(x)=/(x)-g(x)=-Inx在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增,

其最小值是尸⑴=1,所以F(x)=/(x)-g(x)21,于是原不等式成立；

21.已知椭圆C:1+g=l(a>6>0)的左、右焦点分别为6(-c,0)和心(c,0),离心率是也,

直线X=C被椭圆截得的弦长等于2.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)若直线/：x+2y-2=0与椭圆相交于48两点，。为坐标原点，求048的面积.

【正确答案】⑴巨&I

(2)77

【分析】(1)根据已知条件求得6,从而求得椭圆C的标准方程.

(2)联立直线/的方程和椭圆C的方程，求得48两点的坐标，进而求得|/却，结合。到

直线的距离求得0/8的面积.

【详解】⑴由令x=c得捺+/=1,解得'=±[,所以/=2,

结