湖南省新高考教学教研联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题含答案

2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考数学试卷由长郡中学；衡阳市八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门县一中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；郴州市一中；岳阳市一中；娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中；九江市一中；南昌市二中.联合命题命题学校：石门县一中，审题学校：九江市一中；邵阳市二中注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（）成绩（单位：环）678910人数12241A.2 B.8 C.8.2 D.8.52.若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（）A. B. C.或 D.或3.张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（）A.28码 B.29.5码 C.32.5码 D.34码4.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）A.四点共面 B.C.三线共点 D.5.设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（）A.B.C. D.6.已知双曲线左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（）A2 B.3 C.4 D.7.2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（）A.792种 B.1440种 C.1728种 D.1800种8.在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（）A.1 B.2 C.4 D.2或4二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若，则C若，则D.复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆10.已知，下列结论正确的是（）A.若的最小正周期为，则B.若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则C.若在上恰有4个极值点，则的取值范围为D.存，使得在上单调递减11.已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（）A.和均为奇函数 B.C. D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________.13.已知表面积为的球面上有四点是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为______，14.已知，若，则实数的取值范围是______，四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的都有，求实数的取值范围.16.在直角梯形中，，点为中点，沿将折起，使，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值，17.现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.18.已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点．（1）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（2）若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2．19.罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．（1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．（2）已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．（3）证明：当时，有．2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考数学试卷由长郡中学；衡阳市八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门县一中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；郴州市一中；岳阳市一中；娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中；九江市一中；南昌市二中.联合命题命题学校：石门县一中，审题学校：九江市一中；邵阳市二中注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.某10人射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（）成绩（单位：环）678910人数12241A.2 B.8 C.8.2 D.8.5【答案】D【解析】【分析】利用中位数的定义即可得解.【详解】将射击成绩由小到大排列：，第个数分别为，因而中位数为.故选：D.2.若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分与两种情况，结合焦距得到方程，求出，得到离心率.【详解】当时，，解得，则离心率为，当时，，解得，则离心率为.故选：C3.张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（）A.28码 B.29.5码 C.32.5码 D.34码【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可.【详解】设第一个尺码为，公差为，则，则，当时，，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为码，所有缺货尺码的和为码，又因为缺货的一个尺寸为码，则另外一个缺货尺寸码，故选：C.4.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）A.四点共面 B.C.三线共点 D.【答案】D【解析】【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断.【详解】对于AB，如图，连接，，因为是的中位线，所以，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以四点共面，故AB正确；对于C，如图，延长，相交于点，因为，平面，所以平面，因为，平面，所以平面，因为平面平面，所以，所以三线共点，故C正确；对于D，因为，当时，，又，则，故D错误.故选：D.5.设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据平面向量的坐标表示得出C点轨迹，结合直线与圆的位置关系计算即可.【详解】易知，所以，即C点轨迹为为圆心，为半径的圆，易知到直线的距离为，即该圆与直线相切，若的值与无关，则该圆在两平行直线之间，所以到直线的距离为，由图可知.故选：B6.已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到点坐标关于的表示，再将其代入双曲线方程得到关于的齐次方程，从而得解.【详解】不妨设点在第二象限，如图，因为在上的投影向量为，则，又，所以，又在双曲线上，，则，即，整理得，所以，解得或（舍去），.故选：D.7.2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（）A.792种 B.1440种 C.1728种 D.1800种【答案】B【解析】【分析】分类讨论甲是否安排在初一或初二两种情况，结合平均分组分配法分别考虑两种情况的安排种数，从而利用分类加法计数原理即可得解.【详解】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有种排法，再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有种排法，所以一共有种排法；当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有种排法，不考虑甲两天不能连排的情况，有种排法，其中甲两天连排的排法有种，故初三到初八的值班安排有种排法，所以一共有种排法；综上可知共有种不同排法.故选：B.8.在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（）A.1 B.2 C.4 D.2或4【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理先得B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.【详解】由余弦定理得，即，，所以或，又，所以.故选：C【点睛】思路点睛：由余弦定理先求，根据条件及余弦的和差角公式、弦化切构造齐次式方程解方程即可.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若，则C.若，则D.复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆【答案】AC【解析】【分析】利用复数的四则运算与的乘方性质判断A，举反例排除B，利用复数的四则运算与模的运算判断C，利用复数的几何意义，结合两点距离公式判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，令，满足，但，故B错误；对于C，设且不同时为，则，故C正确；对于D，设复数，则点，由，得，则点到点与点的距离和为，故点的轨迹是线段，故D错误.故选：AC.10.已知，下列结论正确的是（）A.若的最小正周期为，则B.若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则C.若在上恰有4个极值点，则的取值范围为D.存在，使得在上单调递减【答案】ABC【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式先化简函数式，再利用三角函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】由，对于A，若的最小正周期为，则，故A正确；对于B，若的图象向左平移个单位长度后得，其图象关于纵轴对称，则有，显然，故B正确；对于C，，根据题意有，故C正确；对于D，，显然，，即该区间为包含的连续区间，根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D错误.故选：ABC11.已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（）A.和均为奇函数 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】对于B，由，得，又，，的图象关于直线对称，，，，则是周期函数，且周期为，所以，故B正确；对于A，的图象关于直线对称，偶函数，若为奇函数，则恒成立，不满足，故A错误；对于C，由，得，，因为，则，所以是周期函数，且周期为，则，故C正确；对于D，由，得，又，由，得，故D正确.故选：BCD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】解二次不等式化简集合，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.【详解】因为，，又集合恰有两个元素，所以恰有两个元素1和2，所以.故答案为：.13.已知表面积为的球面上有四点是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为______，【答案】【解析】【分析】根据题意作出相应的图形，利用外接球的性质依次求得与过平面的截面圆的半径，从而得到点到平面的最大距离，再利用三棱锥的体积公式即可得解.【详解】如图，为的外接球的球心，为正的中心，则平面，因为球的表面积为，设球的半径为，则，故，因为是边长为的等边三角形，则，所以，因为平面平面，所以过平面的截面圆的半径，点在截面圆的圆周上，所以点到平面的最大距离为，所以的体积的最大值为.故答案为：.14.已知，若，则实数的取值范围是______，【答案】【解析】【分析】构造函数，先分析其值域，从而得到的最大值，进而利用解绝对值不等式得到或，结合集合的并集运算即可得解.【详解】设，因为在上单调递增，可知在上单调递增，即在上单调递增，则，且，由绝对值的性质可知的最大值为或，因为等价于，又，即关于的不等式或在上恒成立，由，得；由，得；所以，则，整理得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，将等价于关于的不等式或在上恒成立，从而得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用题设条件求得，再利用等比数列的通项公式求得，进而求得；（2）将问题转化为恒成立，再利用作差法求得的最大值，从而得解.【小问1详解】因为，，，所以，则，，则，因为是各项都为正数的等比数列，所以，即，所以，则.【小问2详解】因为恒成立，所以恒成立，设，则，当时，，则；当时，，则；所以，则.16.在直角梯形中，，点为中点，沿将折起，使，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值，【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用平面几何的知识证得，再利用线面垂直的判定与性质定理即可得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在梯形中，，所以，又，所以，，又平面，故平面，平面，又平面，平面.【小问2详解】取中点，连接，由于，则，，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，以分别为轴、轴建立如图空间直角坐标坐标系，则，设平面的法向量为，又，，令，则，易知平面的一个法向量为，设二面角为，所以，故二面角的余弦值为.17.现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）根据题意，利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解；（2）利用全概率公式求得从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率，再利用二项分布的概率公式与数学期望公式即可得解.【小问1详解】设“抽的产品是优秀等级”，“产品是从甲工厂生产”，“产品是从乙工厂生产”，“产品是从丙工厂生产”，则，，则，则.所以该件产品是从乙工厂抽取的概率为.小问2详解】依题意，设从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率为，则，由题意可知，则，则的分布列为：012345678910故.18.已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点．（1）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（2）若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2．【答案】（1）是定值，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理代入，整理计算可得答案；（2）利用坐标计算，设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理可得点坐标，代入抛物线方程结合判断式可得其横坐标的范围，同理可得两点