高中数学同步讲义（人教A版必修二）第37讲 8.6.3平面与平面垂直（第1课时 平面与平面垂直的判定定理）（学生版）

第14讲8.6.3平面与平面垂直（第1课时平面与平面垂直的判定定理）课程标准学习目标①理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角。②掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用.知识点1：二面角（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（2）符号语言：①二面角.②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.【即学即练1】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）在正方体中，二面角平面角的正切值为.【答案】【详解】如图取的中点，连接在正方体中，可知所以，所以二面角的平面角为设，所以所以故答案为：知识点2：二面角的平面角（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）说明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.知识点3：二面角的平面角求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.（2）三垂线定理及其逆定理①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到).知识点4：求二面角的平面角步骤(1)找到或作出二面角的平面角；(2)证明(1)中的角就是所求的角；(3)计算出此角的大小以上步骤可概括为“一作、二证、三计算”知识点5：平面与平面垂直（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2）符号语言:（3）图形语言知识点4：平面与平面垂直的判定定理（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)（2）符号（图形）语言:，（3）应用：线面垂直面面垂直.【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有．【答案】平面，平面，平面【详解】连接面对角线，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面，同理可知平面⊥平面，平面⊥平面.故答案为：平面，平面，平面.题型01判断面面垂直【典例1】（2023上·山西运城·高三校考阶段练习）如图，垂直于正方形所在平面，则以下关系错误的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【典例3】（2023·高三课时练习）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是．（写出所有满足要求的说法序号）①平面PAD⊥平面PAB；

②平面PAD⊥平面PCD；③平面PBC⊥平面PAB；

④平面PBC⊥平面PCD．【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，⊥底面，且为正方形，则此四棱锥表面中互相垂直的面有（

）A．6对 B．5对 C．4对 D．3对【变式2】（2023下·云南曲靖·高一校考期中）在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（

）

A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD题型02平面与平面的垂直判定【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.

【典例2】（2024上·广东深圳·高二统考期末）如图，在平面四边形中，为的中点，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接.(1)证明：平面平面；【典例3】（2024上·辽宁·高二校联考期末）在四面体中，分别是和的中点.

(1)证明：平面平面；【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．(1)求证：平面平面．【变式2】（2024上·陕西宝鸡·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.(1)证明：平面平面；【变式3】（2024上·广东东莞·高三统考期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．(1)证明：平面平面；题型03补全面面垂直的条件【典例1】（2023上·高二课时练习）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可）【典例2】（2023·全国·高二假期作业）如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【典例3】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.(1)求四棱锥体积；(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）【变式3】（2023上·北京·高二北理工附中校考阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.

(1)求证：；(2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论.

题型04求二面角的大小【典例1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（

）A． B． C． D．【典例2】（2024上·河南周口·高三周口恒大中学校考期末）正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于．【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体中，平面和平面ABCD所成二面角的大小是.

【变式2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．(1)求证：平面⊥平面；(2)求二面角的大小．【变式3】（2024·全国·高二专题练习）四边形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度数；(2)二面角的平面角的度数；(3)二面角的平面角的度数．题型05求二面角最值（范围）【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【典例2】（2023上·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）如图1，已知平面四边形是矩形，，，将四边形沿翻折，使平面平面，再将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的投影为.

(1)如图2，当时，若点在上，且，，证明：平面，并求的长度.(2)如图3，当时，若点恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.【变式1】（2024上·湖北·高二期末）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.

(1)证明：平面的充要条件是；(2)求二面角的正弦值的取值范围．【变式2】（2023·四川乐山·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点在棱上，平面.

(1)试确定点的位置，并说明理由；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.题型06根据二面角求参数【典例1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为.

【典例3】（2024·上海·高二专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为.【典例4】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【变式1】（2023上·吉林长春·高三校考阶段练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式3】（2023下·天津河西·高一统考期末）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为.【变式4】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面.(1)证明：.(2)若二面角的大小为，求的长.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·北京丰台·高三统考期末）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（

）A．1 B．2C．3 D．42．（2024·全国·高三专题练习）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，，的中点为，的中点为，则下列结论不正确的是（

）A．直线平面 B．直线平面C．平面平面 D．直线与直线所成的角为3．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（

）A． B． C． D．4．（2024上·全国·高二期末）如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为（

）A． B． C． D．5．（2024·四川成都·成都七中校考一模）点、在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，下列说法中正确的个数是（）①平面；②平面平面；③．A． B． C． D．6．（2023上·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（

）

A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面7．（2023上·吉林长春·高二长春市第二中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为（

）

A． B． C． D．8．（2023下·河北邢台·高一统考期末）在平行四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023上·福建福州·高二校考阶段练习）已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，且，则D．若，且，则10．（2023上·四川达州·高二达州市第一中学校校考阶段练习）如图，正方形的边长为2，现将正方形沿其对角线进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是（

）A．两点间的距离满足B．C．对应三棱锥的体积的最大值为D．当二面角为时，三、填空题11．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知矩形，，，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时．异面直线和所成角的余弦值为．12．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为.四、解答题13．（2023