2023-2024学年福建省莆田九中九年级（上）返校考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省莆田九中九年级（上）返校考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一元二次方程d-2x=0的解是（）

A.%=0B.%=2

C.=0,上=一2D.%1—0,%2=2

2.下列线段中，能成比例的是（）

A.3cm、6cm、8cm>9cmB.3cm>5cm>6cm9cm

C.3cm>6cm>7cm>9cmD.3cm>6cm>9cm、18cm

3.如图，两条直线被三条平行线所截，若DE=3,EF=6,BC=8,

则AB=（）

A.4

B.8

C.12

D.9

4.若关于x的一元二次方程/+3乂+卜一1=0的一个根为1,则k的值为（）

A.0B.1C.-3D.-2

5.秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀升,

第三季度销售利润是196万元.设第二季度和第三季度平均增长的百分率为X,那么所列方程

正确的是（）

A.100（1+x）2=196

B.100（1+2x）=196

C.196（1-x）2=100

D.100+100（1+x）+100（1+x）2=196

6.下列说法不正确的是（）

A.所有的正五边形都相似B.所有的正方形都相似

C.所有的正三角形都相似D.所有的等腰三角形都相似

7.若关于x的一元二次方程（k-1）/+2乂-2=0有两个不相等的实数根，贝牀的取值范围

是（）

A.fc>狙k彳1B.k>2C.k2g且kA1D.fc>j

8.定义运算：m^n=n2-mn-1,例如：3122=22-3x2-1=—3.则方程2团x=0的

根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D,只有一个实数根

9.如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（E尸为折痕），得到两个全.E

Ai---------1----------iD

等的小矩形.若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，：

I

则小矩形的长与宽的比是（）：

D—P—LC

A.2：1B.3：2C.1D.1

10.已知在A4BC中，Z/1=60°,4B=4,AC=6,下列阴影部分三角形与原三角形不一定

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.如图，刻度尺的分度值为lnun,玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，4B正对“50”刻

度线，DE//AB,量得ZB=10mm,则内径DE长为mm.

⑵已知/则需

13.设打，血是一元二次方程/+X-2023=0的两个根，则*+2巧+x2=

14.如图，Rt△力BC中，Z.C=90°,AB=10,AC=6,。是

BC上一点，BD=5,DELAB,垂足为E,则线段DE的长为

15.已知等腰厶4BC的底边长为3,两腰长恰好是关于x的一元二次方程/依2-警x+3=0

的两根，则△4BC的周长为.

16.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Max{a,b}表示a,b中的较大值，如：

Max{2,4}=4,按照这个规定，方程Max{x,-%}=/-2的解为.

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8.0分）

解下列方程：

(1)16%2-25=0；

(2)x2—4%+1=0.

18.（本小题8.0分）

如图，已知△4OBsZkooc,OA=2,AD=9,OB=5,DC=12.求4B,OC的长.

19.（本小题8.0分）

如图，己知OE//BC,FE//CD,AF=3,AD=5,AE=4,求4B的长.

20.（本小题8.0分）

如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可

利用的墙长为17m）,另外三边利用学校现有总长347n的铁栏围成.

(1)若围成的面积为144nl2,试求出自行车车棚的长和宽；

(2)能围成面积为160m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理

由.

AD

B--------------------------------C

21.(本小题8.0分)

在解方程产-9=2(x-3)的过程，嘉洪同学的解答如下：

解：将方程左边分解因式，得(x+3)(尤-3)=2(%-3),...第一步

方程两边都除以(x-3).得久+3=2,...第二步

解得x=-l...第三步

(1)已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是;

(2)请给岀正确的解答过程.

22.(本小题10.0分)

已知关于x的一元二次方程/-(m+l)x+3m—6=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根是负数，求ni的取值范围.

23.(本小题10.0分)

如图，在AABC中，乙4cB的平分线交4B于点D.

(1)利用尺规在AC边上求作点E,使得EC=EZ)(不写作法，保留作图痕迹);

(2)在⑴的条件下，若黑=|，BC=10,求DE的长.

DU3

24.(本小题12.0分)

【观察思考】

第1个图案第2个图案第3个图窠第4个图案

【规律发现】

请用含71的式子填空：

(1)第n个图案中“回”的个数为；

(2)第1个图案中“国”的个数可表示为(，第2个图案中“团”的个数可表示为竽，第3个图

案中“团”的个数可表示为竽，第4个图案中“团”的个数可表示为竽，……，第n个图案中

“团”的个数可表示为.

【规律应用】

(3)结合图案中“团”的排列方式及上述规律，求正整数期使得连续的正整数之和1+2+3+

……+n等于第n个图案中“团”的个数的2倍.

25.(本小题14.0分)

如图，四边形4BC0为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点8作BF丄。E于尸点，交AC于H

点，交CD于G点.

(1)求证：GD-AB=DF-BG-.

(2)若点G是DC中点，求常的值.

(3)连接CF,求NCFB的度数.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：丫x2—2x=0,

:.x(x—2)=0,

则x=0或x—2=0,

解得：%!=0,x2=2.

故选：D.

利用因式分解法求解可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

2.【答案】D

【解析］【解析】

理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，

看它们的积是否相等进行判断.如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段

叫成比例线段.

【答案】

解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.

所给选项中，只有。符合，3x18=6x9,

故选。.

3.【答案】A

【解析】解：•：kHGIIk，

.AB_DE

BCEF

,AB_3

—=一,

86

・・・AB=4.

故选：A.

利用平行线分线段成比例定理求解.

本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用平行线分线段成比例定理解决问题.

4.【答案】C

【解析】解：把X=1代入方程/+3x+k-l=0得1+3+fc-l=0,

解得k=-3.

故选：C.

把x=1代入方程产+3x+/c-1=。得到1+3+k-1=0,然后解关于々的方程即可.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

5.【答案】A

【解析】解：设平均每个季度销售利润的增长率为X,

依题意得：100(1+x)2=196,

故选：A.

设平均每个季度销售利润的增长率为x,根据该公司第一季度及第三季度得销售利润，即可得出关

于x的一元二次方程即可.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：4所有的正五边形都相似，正确，故此选项不符合题意：

B.所有的正方形都相似，正确，故此选项不符合题意；

C所有的正三角形都相似，正确，故此选项不符合题意；

。.所有的等腰三角形对应边的比不一定相等,对应角不一定相等，所有的等腰三角形不一定相似，

故此选项符合题意.

故选：D.

相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进

行判断.

本题考查相似多边形的识别.解题的关键是掌握判定两个图形相似的依据：对应边的比相等，对

应角相等，两个条件必须同时具备.

7.【答案】A

【解析】解：••・关于x的一元二次方程(k-l)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，

(k-1^0

(4=22-4x(k-1)x(-2)>0'

解得：卜>抑彳1,

k的取值范围是k>3且k*1.

故选:A.

由二次项系数非零及根的判别式厶>0,可得出关于上的一元一次不等式组，解之即可得岀k的取

值范围.

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式4>0,找出

关于k的一元一次不等式组是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：根据题意得/-2x-1=0,

•••Z1=(-2)2-4X(-1)=8>0,

••.方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

根据新运算得到/-2x-1=0,再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况.

2

此题考查了根的判别式，一元二次方程aM+bx+c=0(a^0)的根与厶=b-4ac有如下关系：

(1)4>0=方程有两个不相等的实数根；(2)4=00方程有两个相等的实数根；(3)/<0Q方程

没有实数根.

9.【答案】D

【解析】解：由折叠得：AE=\AD,

由题意得：矩形4BFE与矩形4DCB相似，

tAD_AB

'AB=AEf

2

AD-AE=ABf

二次2=AB2f

AD2_

：•—7=QL，

**•AD：AB=A/-2：1,

故选：D.

根据折叠的性质可得：AE=\AD,再根据题意可得：矩形力BFE与矩形ADCB相似，然后利用相

似多边形的性质，进行计算即可解答.

本题考查了相似多边形的性质，翻折变换(折叠问题)，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：4、不能证明阴影部分的三角形与原△力BC相似，故选项A符合题意；

8、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项B不符合题意；

C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△力BC相似，故选项C

不符合题意；

。、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原AABC相似，故选项。

不符合题意；

故选：A.

利用相似三角形的判定方法依次判断可求解.

本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键.

11.【答案】6

【解析】解：■■■DE//AB,

・••△CAB9

•••丝=吗

ABAC

.DE_30

1050

:*DE=6,

故答案为：6.

通过证明△CDESACW,可得萼=整，即可求解.

ABAC

本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求线段的长是解题的关键.

12.【答案】2

【解析】解：设三=^=|=则Q=3k、b=4k、c=5k,

a-b+c_3k-4k+5k_4k_,

a+b-c3k+4k-5k2k'

故答案为：2.

令3=然后利用比例的性质求得以k表示的a、b、c的值，再将其值代入所求的代数式

并求值.

本题考查了比例的性质.设比例式的比值为k的（比例系数），这是解比例式常用的有效方法.

13.【答案】2022

【解析】解：・・・/，乃是一元二次方程/+%-2023=0的两个根，

・,・/+上=—1，+%i=2023,

・•・Xj+2%1+%2=好++5+%2=2023—1=2022.

故答案为：2022.

由X1，必是一元二次方程/+X-2023=0的两个根，得出%+犯=-1，婢+与=2023,再把

xf+2%1+*2变形为后+X1+%1+%2,即可求出答案.

此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的

解题方法.

14.【答案】3

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的

关键.由垂直的定义得到4CEB=90。，根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】

解：DE1AB,

乙DEB=90°,

:.Z.C=乙DEB,

•・•Z.B=Z.B,

BED〜XBCA,

...—DE=BD,

ACAB

即丝=A,

1610

・•.DE=3.

故答案为：3.

15.【答案】7

【解析】解：由题意知方程;人尤2一年x+3=0有两个相等的实数根，

42

A=(-92-4x"x3=0,

解得：k=3,

3

2

X

原方程为:4-—3%4-3=0>

解得：/=%2=2,

则三角形的三边长度为2、2、3,

则△ABC的周长为7,

故答案为：7.

由题意知方程:k/一年x+3=0有两个相等的实数根，据此得出/£的值，再利用三角形的周长

42

公式可得答案.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+汝+c=0（a力0）的根与/=/一4ac有如下关系：

当4>。时，方程有两个不相等的实数根：当4=0时，方程有两个相等的实数根；当厶<。时，方

程无实数根.

16.【答案】2或-2

【解析】【分析】

本题考查了解一元二次方程，能求岀符合的所有情况是解此题的关键.

分为两种情况：①当x>-x时，得出方程/一2=%,②当一x>x时，得出方程=

求出方程的解即可.

【解答】

解：分为两种情况：

①当x>—x,即x>0时，x2—2=x,

解得：xx-2.x2——1>

x=一1舍去；

②当一x>无，即x<0时，x2—2=—X,

解得：=-2,x2=1,

%=1舍去；

所以方程Max{x,-x}=x2-2的解为2或一2,

故答案为：2或一2.

17.【答案】解：（1）161-25=0,

移项得16/=25,

r2_25

X=±|,

55

"X1=4'x2——4；

（2）x2-4x+1=0.

移项，得“2-4X=-1,

在方程两边加上一次项系数一半的平方得，

%2—4%+4=—1+4,

(%-2)2=3.

-%—2=±y/~~3^

:.%=2+V-3»冷=2-.

【解析】(1)方程变形后，利用直接开平方法求出解即可；

(2)方程移项后，利用配方法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程-配方法，直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.

18.【答案】解：・・・。4=2,4。=9,

，。/)=9-2=7,

•・•△AOBs〉DOC,

.OA_OB_AB

't0D='0C=CD9

vOA=2,OB=5,DC=12,

25AB布"4日八八35.24

解得OC-—,AnB=—.

/Cz丄厶/

【解析】先根据。4=2,4。=9求出0D的长，再根据△AOBs^DOC即可得出黑=豐=噜，再

把已知数据代入进行计算即可.

本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.

19.【答案】解："FE//CD,

-,-AC=AD'即而=寸

解得，XC=y,

•••DE]IBC,

.•.丝=殁，即2=3,

ABACAB5

解得,AB=?

【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可.

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

20.【答案】解：(1)设4B=x?n,则BC=(34-2x)m,

依题意得:x(34-2x)=144,

整理得：X2-17X+72=0,

解得：x1=8,x2=9.

当x=8时，34-2x=34-2x8=18>17,不合题意，舍去；

当x=9时，34-2%=34-2x9=16<17,符合题意.

答：自行车车棚的长为16m,宽为97n.

(2)不能，理由如下：

设=则BC=(34—2y)m,

依题意得:y(34-2y)=160,

整理得：y2-17y+80=0.

•••2=(-17)2-4x1x80=-31<0,

;该方程没有实数根，

即不能围成面积为1607n2的自行车车棚.

【解析】(1)设AB=xm,则BC=(34—2X)TH,根据矩形车棚的面积为144nl2,即可得出关于x的

一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合可利用的墙长为17nl即可确定车棚的宽，再将其代入

(34—2x)中可求出车棚的长；

(2)设4B=ym,则BC=(34-2y)m,根据矩形车棚的面积为1607n2,即可得出关于y的一元二

次方程，由根的判别式』=-31<0,即可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为1607n2的自

行车车棚.

本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一

元二次方程；(2)牢记“当4<0,方程没有实数根”.

21.【答案】第二步

【解析】解：(1)已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是第二步，

故答案为：第二步；

(2)正确的解答过程如下：

移项，得：(x+3)(x-3)-2(x-3)=0,

将左边因式分解，得：(x-3)(x+l)=0,

则x-3=0或x+1=0,

解得X1=3,x2=-I-

(1)根据等式的基本性质可判断第一题；

(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

22.【答案】(1)证明：・•・关于x的一元二次方程*2一(漢+1汝+3zn-6=0,

•••△=[―(m+I)]2—4(3771-6)=m2—10m+25=(m-5)z>0,

•••方程总有两个实数根；

(2)解：由求根公式可求得x=3或x=m—2,

若方程有一个根为负数，则小一2<0,解得m<2.

综上可知，若方程有一个根是负数，漢的取值范围为m<2.

故答案为：m<2

【解析】(1)计算方程根的判别式，判断其符号即可；

(2)求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围.

本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键.

23.【答案】解：(1)

A

Z.EDC-Z.DCE,

vCD平分NBCE,

乙BCD=Z.DCE,

乙BCD=Z.EDC,

:.DE//BC,

••/.ADE=Z.B,

又Z-A=Z-A,

*'•△ADE^/^,ABC,

AF

=

彳-

C

AD2

--=-

8O3

A。2

---

4B=5

0F2

---

1O=5

OE=

4:

【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质，使点E在CO的垂直平分线上；

(2)先利用垂直平分线的性质得出EC=E0,从而推出NEOC=NDCE,再根据角平分线的性质推

出ZBCD=NOCE,进而推出OE〃BC、RADESAABC,根据相似三角形的性质求解即可；

本题考查相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和作图一复杂作图，解题的关键是根

据角平分线的性质、平行线的性质推出角之间的关系，从而推出利用相似三角形

的性质求解.

24.［答案】

【解析】解：(I)：・第1个图案中“团”的个数为：3=1+2,

第2个图案中“团”的个数为：6=1+2+24-1,

第3个图案中“国”的个数为：9=1+24-2+3+1,

…，

・•・第九个图案中“团”的个数：l+2(n-l)+n+l=3n,

故答案为：3n；

(2)由题意得：第71个图案中‘用”的个数可表示为：吗9；

故答案为：吟由；

(3)由题意得：吗9=2x3n,

解得：n=11或n=