广东省东莞虎门汇英学校2023年数学九年级上册期末预测试题含解析

广东省东莞虎门汇英学校2023年数学九上期末预测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.反比例函数y='的图象经过点（2,5）,若点（1,n）在此反比例函数的图象上，则n等于（）

X

A.10B.5C.2D.—

10

2.若反比例函数y=&的图象分布在二、四象限，则关于x的方程"2-3x+2=0的根的情况是（）

x

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.只有一个实数根

AP2

3.如图，li/7h/7b,直线a,b与h,L,b分别相交于点A、B、C和点D、E、F,若一=一，DE=4,则DF的长

BC3

是（）

33

4.如图，在.-石「中，点D在BC上一点,下列条件中，能使.任「与一一相似的是（）

A.ZBAD=ZCB.ZBAC=ZBDAC.AB2=BDBCD.AECD-CB

5.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）

A.8B.9C.10D.11

6.如图，。。的半径OC垂直于弦AB,P是优弧上的一点（不与点A、B重合），若/8。。=55°,则NAPC

等于（）

A.27.5B.25C.22.5D.20

7.方程好=4的解是（）

A.XI=X2=2B.XI=X2=-2C.xi=2,X2=—2D.xi=4,X2=—4

8.如图，在正方形ABC。中，G为CZ＞边中点，连接AG并延长，分别交对角线80于点F,交8c边延长线于点E.若

FG=2,则AE的长度为（）

A.6B.8

C.10D.12

9.菱形的两条对角线长分别为6,8,则它的周长是（）

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.（2011•南充）如图，PA,PB是。O是切线,A,B为切点，AC是。O的直径，若NBAC=25。，则NP=

度.

12.小刚要测量一旗杆的高度，他发现旗杆的影子恰好落在一栋楼上，如图，此时测得地面上的影长为8米，楼面上

的影长为2米.同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则旗杆的高度为

米.

k

13.如图，过原点的直线与反比例函数y=±（攵＞0）的图象交于A,B两点,点A在第一象限.点C在x轴正半

x

轴上，连结AC交反比例函数图象于点O.AE为N84C的平分线，过点8作AE的垂线，垂足为E,连结OE.若

O是线段AC中点，A4D上的面积为4,则左的值为.

14.四边形ABCD为。的内接四边形，AO为。的直径，E为4。延长线上一点，CE为。的切线，若

ZE=20°,则=.若。E=8,CE=12,则.

15.抛物线y=2/的开口方向是.

16.如图，NMON=90°，直角三角形ABC斜边的端点A,B别在射线OM,ON上滑动,BC=1,NBAC=30°,连接OC.

当AB平分OC时,OC的长为.

17.已知扇形的半径为8cm,圆心角为120,则扇形的弧长为cm.

18.已知MBCsgEF,若周长比为4：9,则.

三、解答题(共66分)

19.(10分)小淇准备利用38m长的篱笆，在屋外的空地上围成三个相连且面积相等的矩形花园.围成的花园的形状

是如图所示的矩形CDEF,矩形AEHG和矩形BFHG.若整个花园ABCD(AB>BC)的面积是30m2,求HG的长.

DC

//

AGB

20.(6分)如图，Rt^ABC中，NACB=90。，AC=BC,D是线段AB上一点(OVADV'AB).过点B作BE_LCD,

2

垂足为E.将线段CE绕点C逆时针旋转90。，得到线段CF,连接AF,EF.设NBCE的度数为a.

(1)①依题意补全图形.

EF

②若a=60。，贝！］NCAF=____°；—=______；

AB

(2)用含a的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明.

21.(6分)解一元二次方程：2/一3%+1=0.

22.(8分)用配方法解方程：-3X2+2X+1=1.

23.(8分)如图所示，在AA6C中，ZACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由点3出发沿84方向向点A匀

速运动，同时点。由点A出发沿AC方向向点。匀速运动，它们的速度均为lcm/s.连接PQ,设运动时间为

z(5)(0<r<4).

(1)当/为何值时，PQ1AC?

(2)设AAPQ的面积为S,求S与f的函数关系式，并求出当「为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？

24.（8分）抛物线、=0?+以+。与x轴交于A8两点（点A在点8的左侧），且A（—1,0）,8（4,0）,与3轴交于

点C,C点的坐标为（0,-2）,连接BC,以BC为边，点。为对称中心作菱形3DEC.点尸是x轴上的一个动点，

设点P的坐标为（加,0）,过点P作x轴的垂线交抛物线与点Q,交BD于息M.

（1）求抛物线的解析式；

（2）x轴上是否存在一点P,使三角形P8C为等腰三角形，若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理

由；

（3）当点P在线段上运动时，试探究加为何值时，四边形CQMQ是平行四边形？请说明理由.

25.（10分）如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即CO的长），某同学在山脚A处用测角仪测得塔顶。的仰角为45。,

再沿坡度为1:G的小山坡前进400米到达点B,在B处测得塔顶D的仰角为60。.

（1）求坡面的铅垂高度（即8H的长）；

（2）求CO的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）.

26.（10分）阅读理解:

如图，在纸面上画出了直线1与。O,直线1与。O相离，P为直线1上一动点，过点P作。O的切线PM,切点为M,

连接OM、OP,当AOPM的面积最小时，称AOPM为直线I与0O的“最美三角形”.

M

O

解决问题：

(1)如图1,0A的半径为1,A(0,2),分别过x轴上B、O、C三点作(DA的切线BM、OP、CQ,切点分别是M、

P、Q,下列三角形中，是x轴与OA的“最美三角形”的是.(填序号)

①ABM；②AOP；③ACQ

(2)如图2,OA的半径为1,A(0,2),直线y=kx(k#0)与。A的“最美三角形”的面积为求k的值.

(3)点B在x轴上，以B为圆心，厉为半径画。B,若直线y=6x+3与。B的“最美三角形”的面积小于Y3,

2

请直接写出圆心B的横坐标巧,的取值范围.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

【解析】解：因为反比例函数y=&的图象经过点(2,5),

所以k=2x5=10

所以反比例函数的解析式为y=—,

x

将点（1,n）代入可得：n=10.

故选：A

2、A

【分析】反比例函数y=K的图象分布在二、四象限，则k小于0,再根据根的判别式判断根的情况.

X

【详解】•.•反比例函数y=K的图象分布在二、四象限

X

/.k<0

则二=/一4。。=(-3)2—4h2=9-8%>0

则方程有两个不相等的实数根

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程方程根的情况，务必清楚_=4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；二=廿—4ac=0

时，方程有两个相等的实数根；_=〃-4ac<0时，方程没有实数根.

3、C

【解析】试题解析：•.F|/2!|^

DEAB2P

—=—=一，又OE=4,

EFBC3

：.EF=6,

：.DF=DE+EF=10,

故选C.

4、D

【解析】

根据相似三角形的判定即可.

【详解】

_c5C与一DACW一个公共角，即4CB=^D,CA,

要使-.一与-i相似，则还需一组角对应相等，或这组相等角的两边对应成比例即可,

观察四个选项可知，选项D中的=CD-C5,

即在二三,正好是.-Ji与乙DCT的两边对应成比例，符合相似三角形的判定，

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键.

5、A

【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.

详解：多边形的外角和是360。，根据题意得：

110°*(n-2)=3x360°

解得n=l.

故选A.

点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征.求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决.

6、A

【分析】根据题意，。。的半径OC垂直于弦A8,可应用垂径定理解题，。。平分弦，平分弦所对的弧、平分弦所

对的圆心角，故240。=/30。=55。,又根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半，可解得

ZAPC=27.5°

【详解】。。的半径OC垂直于弦48,

,.AC=BC

ZBOC=55°

ZAPC=-ZBOC=27.5°

2

故选A

【点睛】

本题考查垂径定理、圆周角与圆心角的关系，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题关键.

7、C

【解析】两边开方得到x=±l.

【详解】解：•)=4,

:.x=±L

Axi=l,xi=-l.

故选：c.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax】+c=O(a#))的方程可变形为f=一色，当a、c异号时，可利用

a

直接开平方法求解.

8、D

【解析】根据正方形的性质可得出进而可得出AAB尸saGOF,根据相似三角形的性质可得出

j\p48

——二——=2,结合尸G=2可求出A尸、AG的长度，由AO〃3C,DG=CG,可得出AG=G£,即可求出A£=2AG=1.

GFGD

【详解】解：・・,四边形A3CD为正方形，

：.AB=CD9AB//CD,

:・/ABF=ZGDF,NBAF=NDGF,

：.△ABFSAGDF,

AFAB

••---=-----=29

GFGD

：.AF=2GF=4,

：.AG=2.

•:AD〃BC,DG=CGf

.AGDG

••---=------=1，

GECG

：.AG=GE

：.AE=2AG=1.

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键.

9、C

【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.

【详解】解：•••菱形的对角线互相垂直且平分，

勾股定理求出菱形的边长=5,

，菱形的周长=20,

故选C.

【点睛】

本题考查了菱形对角线的性质，属于简单题，熟悉概念是解题关键.

10、B

【解析】根据三视图概念即可解题.

【详解】解：因为物体的左侧高,所以会将右侧图形完全遮挡，看不见的直线要用虚线代替，

故选B.

【点睛】

本题考查了三视图的识别，属于简单题，熟悉三视图的概念是解题关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、50

【解析】VPA,PB是。O是切线，A,B为切点，

，PA=PB,NOBP=90。，

VOA=OB,

.•.ZOBA=ZBAC=25°,

.•.ZABP=90O-25o=65°,

VPA=PB,

ZBAP=ZABP=65°,

.*.ZP=180o-65o-65o=50°,

故答案为：50°.

12、1

【分析】直接利用已知构造三角形，利用同一时刻，实际物体与影长成比例进而得出答案.

【详解】如图所示：由题意可得，DE=2米，

BE=CD=8米，

••・同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，

AB1

•*•__一_9

82

解得：AB=4,

故旗杆的高度AC为1米.

故答案为：L

A

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的应用，正确构造三角形是解题关键.

„16

13、—

3

【分析】连接OE,CE,过点A作AFLx轴，过点D作DH_Lx轴，过点D作DGLAF；由AB经过原点，则A与B

关于原点对称，再由BE_LAE,AE为NBAC的平分线，

k

可得AD〃OE,进而可得SAACE=SAAOC;设点A(m,—),由己知条件D是线段AC中点，DH〃AF,可得2DH二AF,

m

k131

则点D(2m,■—)>证明ADHCgAAGD,得至(ISAHDC=SAADG,所以SAAOC=SAAOF+S梯形AFHD+SAHDC=^k+:=8；

2m244

即可求解；

【详解】解：连接OE,CE,过点A作AFJLx轴，过点D作DHJLx轴，过点D作DGLAF,

•.•过原点的直线与反比例函数y=±(k>0)的图象交于A,B两点,

X

，A与B关于原点对称，

・・・O是AB的中点，

VBE1AE,

AOE=OA,

AZOAE=ZAEO,

TAE为NBAC的平分线，

AZDAE=ZAEO,

AAD/7OE,

••SAACE=SAAOC9

YD是线段AC中点，AAD石的面积为4,

:.AD=DC,SAACE=SAAOC=8,

k

设点A(m,—),

m

YD是线段AC中点，DH/7AF,

A2DH=AF,

.,.点D(2m,上)，

2m

VCH/7GD,AG〃DH,

fI/•

.♦.NADG=NDCH,NDAG=NCDH,

在AAGD和ADHC中，

ZADG=ZDCH

<AD=DC

ZDAG=ZCDH

•'•SAHDC=SAADG>

.11z、

/SAAOC=SAAOI-+S»»AFHI)+SAHI)C=—k+—x(DH+AF)XFH+SAHIJC

22

131,

=—k+—k+—K=8；

244

故答案为丁.

【点睛】

本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将AACE的面积转化为AAOC的面积是解题的关键.

540

、

141251T

【分析】连接OC,AC、过点A作AF_LCE于点F,根据相似三角形的性质与判定，以及勾股定理即可求出答案.

【详解】解：连接OC,

•••CE是。。的切线,

/.ZOCE=90°,

VZE=20°,

ZCOD=70",

VOC=OD,

180°-70°

ZODC==55°

2

ZABC=180°-55°=125°,

连接AC,过点A做AF_LCE交CE于点F,

设OC=OD=r,

:.OE=8+r,

在RtZ\OEC中，

由勾股定理可知：（8+r）2=r2+122,

r=5,

VOC/7AF

.,.△OCE^AAEF,

OEPC

"~AE~~AF

135

*_____________

18AF

•c_14弓E_54°

-S\ACK_24/，CE-

故答案为：125,与g

13

【点睛】

本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的性质与判定，切线的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识.

15、向上

【分析】根据二次项系数的符号即可确定答案.

【详解】其二次项系数为2,且二次项系数：2>0,

所以开口方向向上,

故答案为：向上.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a#））图象的开口方向与a的值有关是解题的关键.

16、2百.

【分析】取AB中点F,连接FC、FO,根据斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形三线合一的性质得到AB垂直

平分OC,利用特殊角的三角函数即可求得答案.

【详解】如图，设AB交OC于E,取AB中点F,连接FC、FO,

,:ZMON=ZACB=90°

.•.FC=FO（斜边上的中线等于斜边的一半），

又AB平分OC,

.\CE=EO,AB_LOC（三线合一）

在&.CBE中，BC=1,ZABC=90°-^BAC=90°-30°=60°,

CECE

Asin60°=—,

BC1

:.CE=+

OC=2百

故答案为：26

N

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，综合性较强，但难度不大，构造

合适的辅助线是解题的关键.

【分析】直接根据弧长公式即可求解.

【详解】I•扇形的半径为8cm,圆心角的度数为120。，

riTTr120^x816

扇形的弧长为：/=F----71.

Io（）1803

故答案为：—-

3

【点睛】

rinr

本题考查了弧长的计算.解答该题需熟记弧长的公式/

180

18、4：1

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.

【详解】•.,△ABCsaDEF,

AC_AABC_4

而一二一铲

故答案为：4:1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键.

三、解答题（共66分）

19、HG的长是2机

【分析】设HG的长为工机，将BC,AB表示出来，再利用整个花园面积为30m2列出方程，解之即可.

338-4元

【详解】解：设HG的长为》机，则BC=-M,4B=--------m,

23

,338—4x“

由题意得，一x------------=30

23

解得，X,=2,X2=-y

VAB>BC,

.•.,/1=巴5不合题意，舍去.

2

答："G的长是2m.

【点睛】

此题考查一元二次方程的实际运用，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键.

20、(1)①补图见解析；②30,-；(2)EF=ABcosa；证明见解析.

2

【分析】(1)①利用旋转直接画出图形，

②先求出NCBE=30。，再判断出AACFg/kBCE,得出NCAF=30。，再利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结

论；

(2)先判断出4ACFgaBCE,得出NCAF=a,再同(1)②的方法即可得出结论.

【详解】(1)①将线段CE绕点C逆时针旋转90。，得到线段CF,连接AF,EF,如图1；

Va=60°,

AZCBE=30°,

在RtAABC中，AC=BC,

2

VZFCA=90°-ZACE,ZECB=90°-NACE,

/•ZFCA=ZECB=a.

在AACF和ABCE中，

AC=BC,ZFCA=ZECB,FC=EC,

.,.△ACF^ABCE(SAS),

.,.ZAFC=ZBEC=90°,ZCAF=ZCBE=30°,

.*.CF=-AC,

2

由旋转知，CF=CE,ZECF=90°,

/.EF=V2CF=—AC=—XA!AB=-AB,

2222

EF1

•••___-_-9

AB2

故答案为30,—；

2

(2)EF=ABcosa.

证明：VZFCA=90°-ZACE,ZECB=90°-ZACE,

AZFCA=ZECB=a.

同(1)②的方法知，△ACFg^BCE,

:.ZAFC=ZBEC=90°,

FC

，在RtAAFC中,cosZFCA=—.

AC

VZACB=90°,AC=BC,

.\ZCAB=ZCBA=45°.

VZECF=90°,CE=CF,

AZCFE=ZCEF=45°.

在AFCE和AACB中，

ZFCE=ZACB=90°,

ZCFE=ZCAB=45°,

AAFCE^AACB,

.EFFC/

・・==cosZFCA=cosa,

ABAC

即EF=ABcosa.

【点睛】

此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出

△ACF^ABCE是解本题的关键.

।1

21、X1=1,x2=—.

【分析】根据因式分解法即可求解.

【详解】解：（*一1）（2%-1）=0

.*.x-l=O或2x-l=0

解得玉=1,%

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的应用.

22、x=l或x=-1

3

【分析】本题首先将常数项移项，将二次项系数化为1.继而方程两边同时加一次项系数一半的平方，最后配方求解.

【详解】V-3x2+2x+l=0,

••x—1x=.

3

【点睛】

本题考查一元二次方程的配方法，核心步骤在于方程两边同时加一次项系数一半的平方，解答完毕可用公式法、直接

开方法、因式分解法验证结果.

23、（1）—（2）S=—■—（t—）---,t=—,S有最大值，最大值为—.

9102828

【分析】（1）利用分线段成比例定理构建方程即可解决问题.

（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.

【详解】（1）VPQ1AC,

...NAQP=NC=90。，

.,.PQ/7BC,

.APAQ

••---=---9

ABAC

在RtAACB中，AB=VAC2+5C2=V42+32=5

5—tt

/•-----=-9

54

解得t=?20，

20

，t为豆时，PQJLAC.

(2)如图，作PHLAC于H.

VPH/7BC,

.PA_PH

••一9

ABBC

.5-tPH

•.----------9

53

3

/.PH=-(5-t),

5

1I315

S=--AQ-PH=-xtx-(t—)2+

25102102y

s有最大值，最大值为匕.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

[33

24、(1)y=-x--x-2;(2)P的坐标为(二，0)或(4+2。？，0)或(4-2百，0)或(-4,0);(3)m=l时.

222

【分析】(1)根据题意，可设抛物线表达式为y=a(x+l)(x-4),再将点C坐标代入即可；

(2)设点P的坐标为(m,0),表达出PB2、PC\BC2,再进行分类讨论即可；

(3)根据“当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形”，用m的代数式表达出MQ=DC求解即可.

【详解】解：(1)I•抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，

故可设抛物线的表达式为：y=a(x+l)(x—4),

将C(0,-2)代入得：-4a=-2,解得：a=y

13

・•・抛物线的解析式为：y=5x2・：x・2

(2)设点P的坐标为(m,0),

则PB2=(m-4)2,PC2=m2+4,BC2=20,

3

①当PB=PC时，(m-4)2=m2+4,解得：m=-

2

②当PB=BC时，同理可得：m=4±2逐

③当PC=BC时，同理可得：m=±4(舍去4),

3

故点P的坐标为(彳，0)或(4+275»0)或(4-275.0)或(-4,0)；

(3)VC(0,-2)

...由菱形的对称性可知，点D的坐标为(0,2),

设直线BD的解析式为y=kx+2,又B(4,0)

解得k=-l,

,直线BD的解析式为y=-x+2；

一..13

则点M的坐标为(m,-m+2),点Q的坐标为(m,—m2--m-2)

22

当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形

13

-m+2-(—m2-—m-2)=2-(-2)

22

解得m=0(舍去)m=l

故当m=l时，四边形CQMD为平行四边形.

【点睛】

本题考查了二次函数与几何的综合应用，难度适中，解题的关键是灵活应用二次函数的性质与三角形、四边形的判定

及性质.

25、(1)200；(2)200+20073.

【分析】(1)根据AB的坡度得NBA”=30。，再根据NBAH的正弦和斜边长度即可解答；(2)过点8作BEJ.OC于

点E,得到矩形再设8E=C”=x米，再由NDBE=60。的正切值，用含x的代数式表示DE的长，而矩形

BHCE中,CE=BH=200米，可得DC的长，AC=A77+C77=(2006+x)米，最后根据AADC是等腰三角形即可

解答.

【详解】解：(1)在中，tanZSA/7=z=l：V3=—>：.ZBAH^30°

3

ABH=AB-sinNBAH=400-sin30°=400xL200米

2

（2）过点3作8E_LOC于点E,如图：

...四边形是矩形，，CE=8”=200米

设8£=。”=》米

在RtkDBE中，DE=BEtanNDBE=x•tan60。=底米

:.0c=OE+CE=（200+后）米

在Rt^ABH中A"=AB•cosNBAH=400-cos30°=200G

:.ACAH+CH=（200G+x）米

在MAAZ）C中，ZZMC=45°,：,DC^AC

即200+氐=200g+x

解得x=200

ADC=200+&=(200+200@米

(本题也可通过证明矩形BHCE是正方形求解.)

【点睛】

本题考查解直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度.

26、(1)②；(2)±1；(3)2-6V/V立或-”<4V-2一百

33

【分析】(1)本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角

形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题.

(2)本题根据k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF,利用勾股定理求解AF,进一步确定NAOF

度数，最后利用勾股定理确定点F的坐标，利用待定系数法求k.

(3)本题根据。B在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定NNDB的度数，继而按照最美

三角形的定义，分别以△BND,AEMN为媒介计算BD长度，最后与OD相减求解点B的横坐标范围.

【详解】(1)如下图所示