2024届河南省郑州市第五十四中学数学九年级上册期末联考试题含解析

2024届河南省郑州市第五十四中学数学九上期末联考试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每题4分，共48分)

1.下列二次函数中有一个函数的图像与X轴有两个不同的交点，这个函数是()

A.y=X2B.y=x2+4C.y=3x2-2x+5D.y=3>x1+5x-l

2.求二次函数)，=办2+从t+c(α≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=T,与X轴的交点为(百,0)、(Λ2,0),

1

其中0<x∣<l,有下列结论：①αhc>O;(2)-3<x2<-2；(§)4«-2Z?+c<-l；@a-b>cmτ+Z2m(m≠-l)；

3.如图，函数y=-(x-iy+c的图象与X轴的一个交点坐标为(3,0),则另一交点的横坐标为()

4.在1、2、3三个数中任取两个，组成一个两位数，则组成的两位数是奇数的概率为()

1125

A.-B.-C.-D.一

3236

5.如图，在正方形ABCD中，AB=2,P为对角线AC上的动点，PQ_LAC交折线A-O-C于点Q,设AP=x,∆APQ

的面积为y,则y与X的函数图象正确的是()

6.ADEF和AABC是位似图形，点O是位似中心，点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点，若ADEF的面积是2,

C.6D.8

7.如图，一张扇形纸片OAB,NAOB=I20。，OA=6,将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD,则

图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（）

6π-^√3

.2百D.

22

8.如图，菱形ABCD的两条对角线AGBD相交于点O,E是AB的中点，若AC=6,BD=8,则OE长为（)

A.3B.5C.2.5D.4

9.《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过

重要影响.在《九章算术》中有很多名题,下面就是其中的一道.原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之,

深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译:如图，Co为。。的直径，弦AB_LCz）于点£.CE=I寸，AB=K）寸,

则可得直径CO的长为（）

A.13寸B.26寸

C.18寸D.24寸

10.若AABC与M）E尸的相似比为1：4,则ΔA3C与ADE尸的周长比为（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：16

11.在aABC中，tanC=—,cosA=-,则NB=（）

32

A.60oB.90oC.105oD.135°

12.下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图把A8C沿AB边平移到VA9C的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是ABC面积的三

分之一，若AB=百,则点C平移的距离CC'是

14.抛物线y=—（x+l）2的顶点坐标为.

15.圆锥的侧面展开图的圆心角是120。，其底面圆的半径为2"",则其侧面积为.

16.如图，在。。中，半径OC与弦AN垂直于点O,且A8=16,OC=IO,则CD的长是

O

17.矩形的一条对角线长为26,这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为W,那么该矩形的面积为一.

18.如图，。。的半径为2,AB为。O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作。O的切线，切点为C.若PC=26,

则BC的长为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共IOO个.从纸箱中任意摸出一球，摸

到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.1.

（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；

（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一

个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明

放入的红球的个数.

20.（8分）如图，2∖A8C中

（1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足P82+P0=3C2的所有点尸构成的图形，并在所作图形上用尺

规确定到边AC、BC距离相等的点P.（作图必须保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接8尸，若BC=15,AC=14,AB=13,求BP的长.

21.（8分）解方程：3x（x-1）=2-2x.

22.（10分）如图，矩形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm,点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿ATBTC的

方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BTCTD的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停

止运动.设两点运动的时间为t秒.

（1）当t=时，两点停止运动;

（2）设ABPQ的面积面积为S（平方单位）

①求S与t之间的函数关系式；

②求t为何值时，ABPQ面积最大，最大面积是多少？

23.（10分）若抛物线y=αx2+0x-3的对称轴为直线x=l,且该抛物线经过点（3,0）.

（1）求该抛物线对应的函数表达式.

（2）当-2Wx≤2时，则函数值y的取值范围为.

（3）若方程"2+加-3="有实数根，则〃的取值范围为.

24.（10分）先化简，后求值：1+―-kɪ-~~其中X=-L

Ix-2）χ--4x+4

25.（12分）如图，AB=3AC,BD=3AE,又BD〃AC,点B,A,E在同一条直线上.求证：∆ABD<^∆CAE

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【解析】试题分析：分别对A、B、C、D四个选项进行一一验证，令y=l,转化为一元二次方程，根据根的判别式来

判断方程是否有根.

A、令y=l,得χ2=l,∆=1-4×1×1=1,则函数图形与X轴没有两个交点，故A错误；

B、令y=l,得χ2+4=l,△=1-4×1×1=-4<1,则函数图形与X轴没有两个交点，故B错误；

C、令y=l,得3χ2-2x+5=l,Δ=4-4×3×5=-56<l,则函数图形与X轴没有两个交点，故C错误；

D、令y=l,得3χ2+5x-l=l,△=25-4×3×（-1）=37>1,则函数图形与X轴有两个交点，故D正确；

故选D.

考点：本题考查的是抛物线与X轴的交点

点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与X轴有两个交点时，b2-4ac>l,与X轴有一个交点时，b2-4ac=l,与

X轴没有交点时，b2-4ac<l.

2、C

b

【分析】由抛物线开口方向得a>0,由抛物线的对称轴为直线X=--=-1得8=2α>0,由抛物线与y轴的交点位

2a

置得cV0,则abcVO；由于抛物线与X轴一个交点在点（0,0）与点（1,0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物

线与X轴另一个交点在点（-3,0）与点（-2,0）之间，即有-3V%2<-2;抛物线的对称轴为直线X=-I,且cV-l,

X=—2时，4a-2b+c<-∖i抛物线开口向上，对称轴为直线x=-l,当x=-l时，y最小值=。—匕+c,当X=加得：

b

22

y=am+bm+c9fim≠-Lʌ》最小值=cι-b+c<,即。一am+bm;对称轴为直线1=一二一=一1得8=2α,

2a

由于X=I时，y>09则α+h+c>O,所以。+2〃+。>0,解得。>一；。，然后利用。<一1得到。>—1.

【详解】Y抛物线开口向上，∙∙∙a>0,

h

•・•抛物线的对称轴为直线尤=———=-1,Λb=2a>0,

2a

抛物线与y轴的交点在X轴下方，.∙.cV0,...abcVO,

所以①错误；

:抛物线y=QX2+〃x+c与X轴一个交点在点（0,0）与点（Lo）之间，而对称轴为尤=一1,由于抛物线与X轴一

个交点在点（0,0）与点（L0）之间，根据抛物线的对称轴性，，抛物线与X轴另一个交点在点（-3,0）与点（-2,

0）之间，即有-3VzV-2,所以②正确；

・・,抛物线的对称轴为直线尤=T,且cV-L・・・当χ=-2时，40-2⅛+c<-l,所以③正确；

•・•抛物线开口向上，对称轴为直线尤=—1,・••当％=—1时，V最小值=〃一人+。，

2

当无=机代入y="√+匕工+。得：y-am+力帆+c,

Vm≠-[9Λ>⅛φa=a-h+c<9即〃一/?<〃〃「+初n,所以④错误；

•；对称轴为直线x=-2=T,.∙∙8=24,

2a

Y由于X=I时，y>O,Λα+h+c>O,所以q+2z7+c>0,解得。>-gc,

根据图象得c<T,所以⑤正确.

所以②③⑤正确，故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与X轴、y轴的交点，二次函数y=ax,bx+c(a≠0),a决定抛

物线开口方向;C的符号由抛物线与y轴的交点的位置确定;b的符号由a及对称轴的位置确定;当x=l时,y=a+/?+c；

当％=_]时，y=a-b+c.

3、D

【分析】根据到函数对称轴距离相等的两个点所表示的函数值相等可求解.

【详解】根据题意可得：函数的对称轴直线x=l,则函数图像与X轴的另一个交点坐标为(-1,0).

故横坐标为-1,

故选D

考点：二次函数的性质

4、C

【分析】列举出所有情况，看末位是1和3的情况占所有情况的多少即可.

【详解】依题意画树状图：

榜

123

∕∖∕∖/\

231312

42

.∙.共有6种情况，是奇数的有4种情况，所以组成的两位数是偶数的概率=：=彳，

63

故选：C.

【点睛】

本题考查了树状图法求概率以及概率公式；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现

m种结果，那么事件A的概率P(A)=-,注意本题是不放回实验.

n

5、B

【分析】因为点P运动轨迹是折线，故分两种情况讨论：当点P在A-D之间或当点P在D-C之间，分别计算其面

积，再结合二次函数图象的基本性质解题即可.

【详解】分两种情况讨论：

1,

当点Q在A-D之间运动时，y=-√,图象为开口向上的抛物线;

当点Q在D—C之间运动时，如图QLPl位置，y=^x∙PiQi

oo

∙.∙ZZ)CA=45,Zβl∕]C=90

.∙.=M=AC

AB=2

.∙.AC=2√2

.∙.QR=2也-X

:.y=-x∙P,Q,=-x(2∖∕2-x)=--x2+y∕2x

-222

由二次函数图象的性质，图象为开口向下的抛物线，

故选:B.

【点睛】

本题考查二次函数图象基本性质、其中涉及分类讨论法、等腰直角三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌

握相关知识是解题关键.

6、D

【解析】先根据三角形中位线的性质得到DE=LAB,从而得到相似比，再利用位似的性质得到ADEFS4ABC然后

2

根据相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可.

【详解】Y点D,E分别是OA,OB的中点，

1

ΛDE=-AB,

2

TaDEF和AABC是位似图形，点O是位似中心，

.∙.∆DEF<×>∆ABC,

.SSDEFj_

Λ∆ABC的面积=2X4=8

故选D.

【点睛】

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

7、A

【分析】根据阴影部分的面积=S扇形-S弓形a＞计算即可.

【详解】由折叠可知，

•S弓形AD=S弓形OD，DA-DO»

•：OA=OD,

：.AD=OD=OA,

，aAOO为等边三角形，

ΛZAOD=60o.

VZAOB=Imo,

ΛZDOB=GOo.

VAD=OD=OA=6,

：・AC=Co=3,

ΛCD=3λ^,

:・S弓形AD-S扇形ADO-SAADo—‘°"'—X6X3ʌ/ɜ=6π

3602

：•S弓形。/尸6九-9λ∕3,

60^-∙62

阴影部分的面积二S崩形BOO-S弓形OD=-(6π-9√3)=9√3.

360

故选：A.

【点睛】

本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解答本题的关键.

8、C

【分析】根据菱形的性质可得OB=OD,AO±BO,从而可判断OE是ADAB的中位线，在RtAAOB中求出AB,继

而可得出OE的长度.

【详解】解：Y四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=8,

ΛAO=OC=3,OB=OD=4,AO±BO,

又：点E是AB中点，

二OE是ADAB的中位线，

在RtAAoD中，AB=JQ42+o02=5,

,15

贝π!]OE=-AD=-.

22

故选C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键.

9、B

【分析】根据垂径定理可知AE的长.在RtAAOE中，运用勾股定理可求出圆的半径，进而可求出直径CD的长.

连接OA,ABlCD

由垂径定理可知，点E是弦AB的中点,

AE=-AB=5

2

OE=OC-CE=OΛ-CE

设半径为r,由勾股定理得,

OA2=AE2+OE2=OA2+COA-CE)2

即r2=52+Cr-I)2

解得：r=13

所以CD=2r=26,

即圆的直径为26,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法，熟练掌握相关性质是解题的关键.

10、C

【分析】根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：∙.∙ΔABC与ΔPEE的相似比为1：4,J.AABC与ΔDEF的周长比为：1：4.

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.

11、C

【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出NC=30。，ZA=45°,进而得出答案.

【详解】解：tanC=,COSA=I■,

32

ΛZC=30o,ZA=45o,

.∙.ZB=180o-ZC-ZA=105o.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

12、D

【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此，四个选项中只

有D符合.故选D.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、G-I

【分析】根据题意可知AABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为三分之一，所以可以求出43=1,进而可求答

案.

即点C平移的距离CC'是百一1

故答案为百-1∙

【点睛】

本题考查的是相似三角形的性质与判定，能够知道相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键.

14、(-1,0)

【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可.

【详解】解：∙.∙抛物线y=—(x+l)2,

二顶点坐标为：(-1,0),

故答案是：(-1,0).

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点，同学们应熟练掌握.

15、∖2πcm

【分析】先根据底面半径求出底面周长，即为扇形的弧长，再设出扇形的半径，根据扇形的弧长公式，确定扇形的半

径；最后用扇形的面积公式求解即可.

【详解】解：底面圆的半径为2cm,

底面周长为4πcm,

，侧面展开扇形的弧长为4πcιn,

设扇形的半径为r,

T圆锥的侧面展开图的圆心角是120°,

120万r

---------=4π,

180

解得：r=6,

，侧面积为LX4JΓX6=12KCWI,

2

故答案为：12πc,".

【点睛】

本题考查了圆锥的表面积、扇形的面积以及弧长公式，解答的关键在于对基础知识的牢固掌握和灵活运用.

16、4

【解析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案.

【详解】连接。4,

设CD=x,

•；OA=OC=10,

.".OD=W-X,

'：OCLAB,

由垂径定理可知：A5=16,

由勾股定理可知：1()2=82+(ιo-χ)2

，x=4,

ΛCD=4,

故答案为：4

【点睛】

本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型.

17、240

【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB,由勾股定理求出AD,即可得出矩形的面积.

【详解】解：如图所示：

T四边形ABCD是矩形，

ΛZBAD=90o,AC=BD=26,

'：SinZADB=-=—,

BD13

ΛAB=26x2=10,

13

∙"∙AD=yjBD2-AB2=√262-102=24»

.∙.该矩形的面积为：24x10=240；

故答案为：240.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角函数；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB和AD是解决问题的关键.

18›2

【分析】连接OC,根据勾股定理计算OP=4,由直角三角形30度的逆定理可得NOPC=30。，贝!∣NCOP=60°,可得AOCB

是等边三角形，从而得结论.

【详解】连接OC

；PC是。O的切线,

ΛOC±PC,

.∙.NOCP=90。，

VPC=2√^,OC=2,

∙∙∙OP=^OC2+PC1=M+Q6)2=4,

ΛZOPC=30o,

：.ZCOP=60o,

VOC=OB=2,

...△OCB是等边三角形，

ΛBC=OB=2,

故答案为2

【点睛】

本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属

于中考常考题型.

三、解答题（共78分）

19、（1）50；（2）2

【解析】（1）蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可；

（2）因为摸到红球的频率在0.5附近波动，所以摸出红球的概率为0.5,再设出红球的个数，根据概率公式列方程解

答即可.

【详解】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：IOOX（1-0.2-0.1）=50（个）

（2）设小明放入红球X个.根据题意得：

解得：x=2（个）.

经检验：乂=2是所列方程的根.

答：小明放入的红球的个数为2.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件

概率的估计值.关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系.

20、（1）见解析；（2）BP=3√5

【分析】（1）根据PB2+PC2=3O得出P点所构成的圆以BC为直径，根据垂直平分线画法画出O点，补全。。，再

作NACB的角平分线与。O的交点即是P点.

（2）设OO与AC的交点为H,AH=x,得到A//、BH,根据题意求出OP〃AC,即可得出OPJLB",BQ=ɪBH,

00=；C//,求出PQ,根据勾股定理求出BP.

【详解】⑴如图：

9i

Ftk/0

(2)由(1)作图，设。。与AC的交点为H,连接BH,・・・N3HC=90。

VBC=15,AC=14,AB=13

设A"=x：.HC=14-X

：・BH2=132-X2=152-(14-X)2

解得：x=5

：.AH=5

ΛBH=12.

连接。P,由(1)作图知C尸平分N8C4

：.ZPCA=ZBCP

XVOP=OC

：・NOPC=NBCP

：.AOPC=APCA

：.OP//CA

OPlBH与点Q

1

:∙BQ=QBH=6

D15

又30=—

2

9

∙∙∙OQ=3

.∙.P0=3

:∙BP=3√5.

PO

Λ-------------------------

【点睛】

此题主要考查了尺规作图中垂直平分线，角平分线及圆的画法和相似比及勾股定理等知识，解题的关键是构建直角三

角形及找到关键相似三角形.

【解析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根.

【详解】解：3x(x-l)+2(x-l)=O,

(x-1)(3x+2)=0>

.".X-1=0,3x+2=0,

解得Xl=l,X2="-.

3

考点：解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法.

22、(1)1；(2)①当OCtV4时，S=-t2+6t,当4≤t<6时，S=-4t+2,当6Vt≤l时，S=t2-10t+2,②t=3时,

△PBQ的面积最大，最大值为3

【分析】(1)求出点Q的运动时间即可判断.

(2)①的三个时间段分别求出aPBQ的面积即可.

②利用①中结论，求出各个时间段的面积的最大值即可判断.

【详解】解：(1)V四边形ABCD是矩形，

ΛAD=BC=8cm,AB=CD=6cm,

ΛBC+AD=14cm,

Λt=14÷2=l,

故答案为1∙

(2)①当()VtV4时，S=-∙(6-t)×2t=-t2+6t.

2

当4StV6时，S=-∙(6-t)×8=-4t+2.

2

当6Vt≤l时，S=ɪ(t-6)∙(2t-8)=t2-10t+2.

一2

②当OVt<4时，S=-∙(6-t)×2t=-t2+6t=-(t-3)2+3,

2

V-1<0,

.∙.t=3时，APBQ的面积最大，最小值为3.

当4≤tV6时，S=L・(6-t)x8=-4t+2,

2

-4<0,

.∙.t=4时，ZkPBQ的面积最大，最大值为8,

当6Vt≤l时，S=ɪ(t-6)∙(2t-8)=t2-10t+2=(t-5)2-1,

2

t=l时，^PBQ的面积最大，最大值为3,

综上所述，t=3时，APBQ的面积最大，最大值为3.

【点睛】

本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，涉及了分类讨论的数学思想，灵活的利用二次函数的性质求三角形面

积的最大值是解题的关键.