2022-2023学年北京市东城区汇文中学九年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市东城区汇文中学九年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

C为。。上的点，/AOB=60°,贝（

30°C.40°D.60°

2.（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线＞=2?向上平移3个单位长度得到的抛物线

为（）

A.y=2（x+3）2B.y=2（x-3）2C.y=2^-3D.y=2x2+3

3.（2分）将一元二次方程/-6x+5=0通过配方转化为（x+a）2=匕的形式，下列结果中

正确的是（）

A.（x+3）2=1B.（x-6）2—1C.（x-3）2—4D.（x-6）2=4

4.（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线），=/+以+c（a^O）的示意图如图所示，下

列说法中正确的是（）

C.c>0D.△>0

5.（2分）下列所给方程中，没有实数根的是（）

A.JT+2X=0B.5?-4x-2=0C.3/-4x+l=0D.4?-3x+2=0

6.（2分）如图，O。是正方形ABC。的外接圆，若。。的半径为4,则正方形ABC。的边

长为（)

C.272D.啦

7.（2分）下列说法中，正确的是（）

A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件

B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1

C.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票就一定会中奖

D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得

8.（2分）如图，点P是以。为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2.设弦AP的长为

x,△APO的面积为y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

9.（2分）在半径为3c机的圆中，150°的圆心角所对弧的弧长是cm.

10.（2分）如图，AB为。。的直径，弦CO丄AB于点”，若48=10,CD=8,则的长

11.（2分）若点A（-1,yi）,B（3,”）在抛物线y=/上，则yi,”的大小关系为：y\

>>2（填”或

12.（2分）关于x的一元二次方程/+,冰+4=0有一个根为1,则的值为.

13.（2分）如图，PA,P3是。。的切线，4,8是切点，点C为。。上一点，若NACB=

增加了2.5万人，设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程

为.

15.（2分）已知二次函数y=a?+〃x+c（“W0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下

表：

X…01234・・•

.・・・・・

yT-405

直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标.

16.（2分）抛物线y=a?+fec+c的顶点为A（2,机），且经过点B（5,0）,其部分图象如图

所示，对于此抛物线有如下四个结论：®abc<0；②“-b+c>0；®4a+b—0；@m+9a—

0；⑤若此抛物线经过点CC,“）.则L4一定是方程a?+瓜+c=〃的一个根.其中所

有正确结论的序号是.

三、解答题（总分68）

17.解方程：?-4x-5=0.

18.下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程.

已知I：如图1,△ABC.

求作：直线BD,使得8Q〃AC.

作法：如图2,

①分别作线段AC,BC的垂直平分线厶，12,两直线交于点。；

②以点。为圆心，0A长为半径作圆；

③以点4为圆心，BC长为半径作弧，交标于点。；

④作直线BD.

所以直线BD就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：连接AO,

•.•点A,B,C,力在。。上，AD=BC,

•••AD=.

：.ZDBA=ZCAB()(填推理的依据).

J.BD//AC.

19.已知二次函数)，=/-2x-3.

(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)画出此函数的图象(不需要列表)；

(3)若点A(0,yi)和B(〃?，”)都在此函数的图象上，且yi<”，结合函数图象,

直接写出山的取值范围.

20.已知关于x的一元二次方程x2-(Z+5)x+6+2Z=0.

(1)求证：此方程总有两个实数根：

(2)若此方程恰有一个根小于-2,求厶的取值范围.

21.有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数-2,2；乙

口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数-5,m,5.小明和小刚进行摸球游戏，规则

如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为再从乙口袋中随机取出一个球,

其上的数记为4若从小明胜；若a=b,为平局；若a>6,小刚胜.

(1)若，*=-2,用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；

(2)当相为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数机的

值.

22.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0,4)、8(-4,

4)、C(-6,2),若该圆弧所在圆的圆心为。点，请你利用网格图回答下列问题：

(1)圆心。的坐标为；

(2)若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长(结果保留根号).

23.如图，△4BC内接于高4。经过圆心O.

(1)求证：AB=AC；

（2）若BC=16,。。的半径为10.求△ABC的面积.

24.“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单

价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的

过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：

y=-3x+108（20<x<36）.如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），

（1）求出p与x的关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

25.如图，A2是。。的直径，四边形ABCQ内接于。。，£>是正的中点，DE丄BC交BC

的延长线于点E.

（1）求证：DE是OO的切线;

(2)若AB=10,BC=8,求BD的长.

a(x-厶)2-8〃的顶点为A,0</z<Z.

2

(1)若a=

①点A到x轴的距离为

②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离;

（2）已知点A到x轴的距离为4,此抛物线与直线y=-2x+l的两个交点分别为BGn,

yi）,C（X2,*）,其中X1<X2,若点£>（XD,”>）在此抛物线上，当X1〈XD<X2时，yD

总满足）2<yo<yi,求”的值和〃的取值范围.

27.在△A8C中，NACB=90°,CA=CB,。是AB的中点，E为边AC上一动点(不与点

A,C重合)，连接。E,点A关于直线8c的对称点为F,过点F作FH丄OE于点H,交

射线8c于点G.

(1)如图1,当AE<EC时，写出/4OE与/3FG的大小关系；

(2)如图1,当AEVEC时，用等式表示线段8G与AE的数量关系，并证明；

(3)如图2.当AE>EC时，依题意补全图2,用等式表示线段QE,CG,4c之间的数

量关系(不需证明).

28.对于平面直角坐标系X。)，中的图形G和点P给出如下定义；。为图形G上任意一点，

若P，。两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点尸为

图形G的“k分点、”.

已知点N(3,0),A(1,0),B(0,3),C(1,-1).

(1)①在点A,B,C中，线段ON的分点”是；

②点。(小0),若点C为线段。。的“二分点”，求。的值；

(2)以点。为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在。。的“二分点”，直接写出r的

取值范围.

2022-2023学年北京市东城区汇文中学九年级（上）期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）如图，点A、B、C为。。上的点，乙408=60°,则（）

C

A.20°B.30°C.40°D.60°

【分析】根据圆周角定理即可解决问题.

【解答】解：：篇=篇，

，ZACB=XZAOB,

2

；NAO8=60°,

：.ZACB=30°,

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

2.（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线＞=2?向上平移3个单位长度得到的抛物线

为（）

A.y=2（x+3）2B.y=2（x-3）2C.y=2?-3D.y=2?+3

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解.

【解答】解：抛物线y=2?向上平移3个单位长度得到的抛物线为y=2?+3,

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键.

3.（2分）将一元二次方程/-6x+5=0通过配方转化为（x+a）2=b的形式，下列结果中

正确的是（）

A.（x+3）--1B.Cx-6）2=1C.（x-3）2—4D.（%-6）2—4

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9,然后把方程作边写成完全平方

形式即可.

【解答】解：移项得，-6x=-5,

配方得x2-6x+9=-5+9,即（X-3）2=4.

故选：C.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2

的倍数.

4.（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线），=以2+/状+。Q/o）的示意图如图所示，下

列说法中正确的是（）

A.a<0B.b<0C.c>0D.△20

【分析】根据图象可知对称轴大于0,开口向下，与y轴交于负半轴，与x轴无交点，据

此即可求解.

【解答】解：•.•抛物线开口向下，

."<0,

：抛物线对称轴在y轴右侧，

-旦>0,即b>0,

2a

:抛物线与y轴交点在x轴下方，

：.c<0,

；抛物线与x轴无交点，

A<0,

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象的性质,掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

5.（2分）下列所给方程中，没有实数根的是()

A.X2+2X=0B.5X2-4x-2=0C.3X2-4x+l=0D.-3X+2=0

【分析】求出各选项方程根的判别式的值,判断出正负即可确定一元二次方程是否有实

数根.

【解答】解：A.7+2%=0,

・"2-4ac=4>0,

...方程有实数根，故本选项不符合题意;

B.5X2-4A--2=0,

・"2-4収=16+40=56>0,

二方程有实数根，故本选项不符合题意;

C.3?-4.r+l=0,

V&2-4ac=16-12=4>0,

.•.方程有实数根，故本选项不符合题意;

D.4x2-3x+2=0,

,：b2-4ac=9-32=-23<0,

•••方程没有实数根，故本选项符合题意:

故选：D.

【点评】本题主要考查了根的判别式，熟记“当△<（）时，一元二次方程没有实数根”是

解本题的关键.

6.（2分）如图，OO是正方形的外接圆，若。。的半径为4,则正方形48C。的边

C.272D.472

【分析】连接BD.由题意，△8C。是等腰直角三角形，故可得出结论.

【解答】解：如图，连接B。.

B

由题意，厶台。。是等腰直角三角形,

VBD=8,/CBD=45°,ZBCD=90°,

.•.8。=亚8。=4衣.

2

故选：D.

【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造

出等腰直角三角形是解答此题的关键.

7.（2分）下列说法中，正确的是（）

A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件

B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1

C.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票就一定会中奖

D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得

【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判

断即可.

【解答】解：A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；

B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1,故B符合题意；

C.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意:

D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故。不符合题意；

故选:B.

【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握

这些数学概念是解题的关键.

8.（2分）如图，点P是以。为圆心，AB为直径的半圆上的动点，48=2.设弦AP的长为

x,厶厶2。的面积为y,则下列图象中，能表示y与尤的函数关系的图象大致是（）

【分析】作0C丄AP，根据垂径定理得AC=2AP=L,再根据勾股定理可计算出OC=

22

/U，然后根据三角形面积公式得到X?(0WxW2),再根据解析式对

四个图形进行判断.

【解答】解：作OC丄AP,如图，则AC=14P=1,

22

22=2=

在Rt^4℃中，04=1,OC=VOA-AC-J1-1X1V4^?-

所以y=丄℃•AP=1•J4-V2(0WxW2),

-24V&x

所以y与x的函数关系的图象为A选项.

故选：A.

排除法：

很显然，并非二次函数，排除8选项;

采用特殊位置法；

当尸点与A点重合时，此时AP=x=O,S△以。=0；

当P点与B点重合时，此时AP=x=2,S△用o=0；

当AP=x=l时，此时△AP。为等边三角形，&%o=义3

4

排除8、C、O选项，

【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之

间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范

围.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）在半径为3c，”的圆中，150°的圆心角所对弧的弧长是_5匚。外

【分析】根据弧长公式进行计算即可求解.

【解答】解：半径为3cm的圆中，150°的圆心角所对弧的弧长是胆兀x3=5兀.

1802

故答案为：»兀.

2

【点评】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键.

10.（2分）如图，A8为。。的直径，弦CD丄AB于点4,若A8=10,C£>=8,则8H的长

度为2.

【分析】根据垂径定理得到CH=4,再根据勾股定理计算出OH=3,进而得出答案.

【解答】解：连接OC,

'：CD±AB,CD=S,

；.CH=DH=LCD=4,NOHC=90°,

•.•直径AB=10,

OB=OC=5,

在Rt4OCH中，OH—40c2H2=，§2_a2=3,

：.BH=OB-OH=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了垂径定理与勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出。，的

长是解题的关键.

11.（2分）若点A（-1,yi）,B（3,y2）在抛物线y=/上，则yi,”的大小关系为：yi

<V2（填”或

【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y值越大，从而求解.

【解答】解：由y=/可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，

VI-1|<|3|,

•'•yi<y2>

故答案为：<.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握

二次函数与不等式的关系.

12.（2分）关于x的一元二次方程/+,〃匹+4=0有一个根为1,则，〃的值为-5.

【分析】把x=l代入方程/+g+4=0得1+〃?+4=0,然后解关于机的方程.

【解答】解：把x=l代入方程/+"a+4=0得1+加+4=0,

解得m=-5.

故答案为：-5.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

13.（2分）如图，PA,PB是。。的切线，A,B是切点，点C为OO上一点，若N4CB=

70°,则/P的度数为40°.

【分析】连接。4、08,先根据圆周角定理求出NAOB,根据切线的性质得到NOAP=

NOBP=90°,然后根据四边形内角和可计算出NP的度数.

【解答】解：连接OA、OB,如图，

VZACB=70°,

AZAOB=2ZACB=]40°,

'：PA,PB是0。的切线，

：.OALPA,OB丄PB,

...NOAP=/O8P=90°,

Z.ZP=360°-90°-90°-140°=40°,

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定

理.

14.(2分)据了解，2022年9月，某展览中心参观人数为12.5万人，比7月份的参观人数

增加了2.5万人，设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为(12.5-2.5)(1+x)

2=12.5.

【分析】利用某展览中心2022年9月参观人数=某展览中心2022年7月参观人数X(1+

参观人数的月平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：根据题意得(12.5-2.5)(1+x)2=12.5,

故答案为：(12.5-2.5)(1+x)2=12.5.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

15.(2分)已知二次函数yn/+bx+c(ar0)图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下

表：

X…01234•••

y…-3-4T05…

直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标(-1,0),(3,0).

【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=l,再利用抛物

线的对称性写出点(3,0)关于直线x=l的对称点即可.

【解答】解：：抛物线经过点(0，-3),(2,-3),

抛物线的对称轴为直线x=1,

•.•抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),

.•.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),

即该二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).

故答案为：(-1,0),(3,0).

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=o?+bx+c(“，b,c是常数，a

WO)的图象与x轴的交点为二次函数图象的上的对称点.也考查了二次函数的性质.

16.(2分)抛物线、=/+笈+<:的顶点为A(2,m),且经过点B(5,0),其部分图象如图

所示，对于此抛物线有如下四个结论：®abc<0；②“-b+c>0；③4a+/?=0；@m+9a=

0；⑤若此抛物线经过点C"则L4一定是方程a^+bx+c^n的一个根.其中所

有正确结论的序号是③④.

【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，对称轴，判断①，由抛物线的对称性及经

过点B(5,0)可判断②，由对称轴为x=2,得出b=-4a,即可判断③，由抛物线对

称轴为直线x=2可得6=-4”，由a-6+c=0可得c=-5"，从而判断④，点C对称点

横坐标为4-可判断⑤.

【解答】解：•.•抛物线开口向下,

,•a<0,

M<0,

/抛物线与y轴交点在x轴上方，

\c>0,

,.abc>0,①错误.

.•抛物线)，=〃/+灰+。的顶点为A(2,m),

•.对称轴为x=2

•,抛物线过点B(5,0),

•.由对称性可得抛物线经过点(-1,0),

'.a-b+c=O,②错误，

\b--4a,BP4a+b=0,故③正确

，5〃+c=0,

.*•c-—5a

VA（2,m）为抛物线顶点，

，4a+2b+c=m,

.,.4a-8iz-5a=m,即〃?+9a=0,④正确，

•点C（6n）在抛物线上,

...点C关于对称轴对称点（4-6〃）在抛物线上，

.,.4-t为ajr+bx+c=n的一个根，⑤错误.

故答案为：③④.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等

式的关系.

三、解答题（总分68）

17.解方程：4x7=0.

【分析】因式分解法求解可得.

【解答】解：（x+1）G-5）=0,

贝!]x+l=0或x-5=0,

；.x=-1或x=5.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键

18.下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程.

己知：如图1,/XABC.

求作：直线8£>,使得B£>〃AC.

作法：如图2,

①分别作线段AC,BC的垂直平分线厶，12,两直线交于点。；

②以点。为圆心，0A长为半径作圆；

③以点A为圆心，8c长为半径作弧，交忘于点。；

④作直线BD.

所以直线BD就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接A£）,

;点A,B,C,。在上，AD^BC,

•••AD=_BC_.

：.ZDBA^ZCAB（在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）.

J.BD//AC.

【分析】（1）根据要求作出图形即可.

（2）根据圆周角定理和平行线的判定证明即可.

【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：连接AD,

:点4,B,C,。在。。上，AD=BC,

AAD=BC.

：.ZDBA=ZCAB(在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等).

C.BD//AC.

故答案为：BC.在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

19.已知二次函数y=/-2x-3.

(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)画出此函数的图象(不需要列表)；

(3)若点A(0,)“)和8Cm,”)都在此函数的图象上，且yi<”，结合函数图象，

直接写出，"的取值范围.

【分析】(1)把抛物线解析式化为顶点式求解即可；

(2)先列表，然后描点、连线即可；

(3)由函数图象过点(0,-3)和(2,-3),根据函数图象求解即可.

【解答】解：(1)：抛物线解析式为y=/-2r-3=(x-1)2-4,

二对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-4)；

(2)列表得：

X…-10123…

y=j？-2x…0-3-4-30・・・

-3

函数图象如下图所示:

(3)由函数图象可知，当yi<”时，，*V0或，”>2.

【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，图象法求自变量的取

值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键.

20.已知关于x的一元二次方程x2-(k+5)x+6+2k=0.

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程恰有一个根小于-2,求上的取值范围.

【分析】(1)计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；

(2)根据公式法求得方程的解，得出xi=2,%2=k+3,根据题意列出不等式，解不等式

即可求解.

【解答】(1)证明：关于x的一元二次方程(H5)x+6+2A=0,

b--(Z+5),c=6+2Z,

'."b2-4ac=[-(R5)]2-4XlX(6+2、)

=必+10女+25-24-8k

=l^+2k+\

=(&+1)220,

此方程总有两个实数根;

(2)解：/-(Z+5)x+6+2k=0,

'：A=(Jt+1)2,

•-bivb^~4ack+5i(k+1)

••二--------------＞

2a2

解得xi=2,x2—k+3,

•••此方程恰有一个根小于-2,

：.k+3＜-2,

解得-5.

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方

程根的情况与判别式的关系是解题的关键.

21.有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数-2,2；乙

口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数-5,m,5.小明和小刚进行摸球游戏，规则

如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为“；再从乙口袋中随机取出一个球,

其上的数记为江若。〈儿小明胜；若。=匕，为平局；若。＞儿小刚胜.

(1)若胆=-2,用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率：

(2)当巾为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数机的

值.

【分析】(1)画树状图，共有6种等可能的结果，其中。＜匕的结果有2种，。＞匕的结果

有3种，再由概率公式分别求解即可；

(2)画树状图，共有6种等可能的结果，其中的结果有3种，〃＞匕的结果有3种,

再由概率公式得小明获胜的概率=小刚获胜的概率即可.

【解答】解：(1)画树状图如下：

开始

a-22

ZNZN

b-5-25-5-25

共有6种等可能的结果，其中的结果有2利的结果有3种,

小明获胜的概率为2=丄，小刚获胜的概率为旦=丄；

6362

(2)机为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：

画树状图如下：

开始

a-22

Zh\A\

b-505-505

共有6种等可能的结果，其中。＜6的结果有3种，〃＞匕的结果有3种，

，小明获胜的概率=小刚获胜的概率=旦=丄.

62

【点评】此题考查了树状图法求概率.正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为:

概率=所求情况数与总情况数之比.

22.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0,4）、8（-4,

4）、C（-6,2）,若该圆弧所在圆的圆心为。点，请你利用网格图回答下列问题：

（1）圆心J的坐标为（-2,0）；

（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）.

【分析】（1）分别作AB、8c的垂直平分线，两直线交于点。，则点。即为该圆弧所在

圆的圆心，可知点力的坐标为（-2,0）.

（2）连接AC、和CO,根据勾股定理的逆定理求出NCD4=90°,根据弧长公式和

圆的周长求出答案即可.

【解答】解：（1）分别作线段A8和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是

圆心。，如图，

。点正好在x轴上，。点的坐标是（-2,0）,

故答案为：（-2,0）；

的半径长=獭2+42=诉，AC=722+62=2710-

VAD2+C£>2=20+20=40,AC2=40,

:.AD2+CD2^AC2,

：.ZADC=90°.

设圆锥的底面圆的半径长为r,

则2兀片四兀X23

180

解得：巫，

r2_

所以该圆锥底面圆的半径长为近■.

2

【点评】本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理

的逆定理等知识点，能求出。点的坐标和求出NCZM=90°是解此题的关键.

23.如图，△A8C内接于。0,髙AZ）经过圆心O.

(1)求证：AB=AC；

(2)若BC=16,。。的半径为10.求aABC的面积.

【分析】(1)根据垂径定理可得AB=AC，根据等弧所对的弦相等，即可证明;

(2)连接。8,勾股定理求得0£>,继而得出A。，根据三角形面积公式进行计算即可求

解.

【解答】(1)证明：丄BC,

•,・窟僉

；.AB=AC；

(2)解:连接OB,

'：ADLBC,

.*.BO=」8C=8,

2

在RtaOBO中，80=10,80=8,

1'•0D=VOB2-BD2=6，

：.AD=AO+OD=\0+6=\6,

.•.S/\ABC=^BCMD=AX16X16=128.

22

【点评】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.

24.“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单

价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的

过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系:

y=-3x+108(20<x<36).如果义卖这种文化衫每天的利润为p(元),

(1)求出p与x的关系式；

(2)当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】(1)根据题意得出每天获得的利润2=(-3x+IO8)(x-20)；

(2)对(1)中所求式子进行变形，0=-3(x-28)2+192,于是求出每天获得的利润0

最大时的销售价格.

【解答】解：(1)根据题意得：

p=(-3x+108)(x-20)

=-3，+168x-2160.

(2)p=-37+168x-2160=-3(x-28)2+192.

■:a=-3<0,

...当x=28时，利润最大=192元；

答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元.

【点评】本题主要考查二次函数的应用的知识点；解答本题的关键是熟练掌握二次函数

的性质以及最值得求法，此题难度不大.

25.如图，48是的直径，四边形ABC。内接于。是面的中点，DE丄BC交BC

的延长线于点E.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若AB=10,BC=8,求BD的长.

【分析】(1)要证明QE是00的切线，所以连接。£>,求出NOOE=90°即可，根据已

知OE丄BC,可得NQEC=90",所以只要证明OO〃BEB卩可解答；

(2)由(1)可得8。平分/ABC,所以想到过点。作。尸丄AB,垂足为F,进而证明厶

ADF^/\CDE,可得AF=CE,易证△BOF丝可得BF=BE,然后进行计算即可

解答.

【解答】（1）证明：连接0。

E

；DE，BC,

ZDEC=90a,

是験的中点，

AAD=CD)

，NABD=NCBD,

'：0D=0B,

；.N0DB=N0BD,

：.N0DB=NCBD,

：.0D//BC,

.,.ZOZ)£=180°-ZD£C=90°,

0D±DE,

;on是00的半径，

...QE是oo的切线；

(2)解：过点。作。FLAB,垂足为F,

由(1)得：/ABD=NCBD,

・・・8。平分N45C,

,：DFl.ABfDELBC,

：.DF=DEf

•・,四边形ABC。内接于OO,

AZA+ZDCB=180°,

VZDCB+Z£>CE=180°,

・・・ZA=ZDCE,

VZDM=ZDEC=90°,

A/\ADF^/\CDE(A4S),

：・AF=EC,

■:NDFB=NDEC=9U0,BD=BD,

:.ABDF/ABDE(AAS),

：・BF=BE,

设AF=EC=x,则BE=Bb=8+x,

VAB=10,

：.AF+BF=\0f

**•x+8+x=10,

••x~~1,

:.BF=9,

TAB是OO的直径，

AZADB=90°,

•NABD=/DBF,

:./\BFDs[\BDA,

：.BD1=BF'BA,

ABD2=90,

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解

题的关键.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a2-8〃的顶点为40</?<2,

2

⑴若a—\,

①点A到x轴的距离为8；

②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；

(2)已知点A到x轴的距离为4,此抛物线与直线y=-2x+l的两个交点分别为B(xi,

yi)»C(X2,”)，其中X1<X2,若点。(XD,”))在此抛物线上，当X1<XD<X2时，>D

总满足"<"><>1,求a的值和力的取值范围.

【分析】(1)①把。=1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解.②令y=0,求出XI

与X2,进而求解.

(2)由当xiVXD<X2时，yo总满足可得当xi<X〈JC2时，y随x增大而减小，

从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解.

【解答】解：(1)①把。=1代入y=a(x-h)2-8.得)?=(x-h)2-8,

二抛物线顶点坐标为(〃，-8),

点A到x轴的距离为|-8|—8,

故答案为：8.

②把y=0代入y=(x-h)2-8得0=(x-h)2-8,

解得xi=〃+2&,xi=h-2近,

Vxi-x2^h+242-(人-2近)=4&,

抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4近.

(2)'：y=a(x-h)2-8a,

・••点A坐标为(〃，-8a),

：.\-8。|=4,

解得或a=-―,

22

当〃=丄时，如图，当抛物线开口向上,

2

把x=h代入v=-2x+l得y=-2/z+l,

当-2/z+lW-4时，解得厶》旦

2

VO</z<Z,

2

.♦百WY工.

22

当a=-丄时，y=-丄(x-h)2+4,

22

令-2x+l=-丄(x-〃)？+4,

2

整理得x2-(2/i+4)x+h2-6=0,

A=(-2/2-4)2-4(/Z2-6)>0,

整理得人<-互，与题干不符，舍去；

2

综上，人的取值范围为5w/z<Z.

22

【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函

数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解.

27.在AABC中，ZACB=90°,CA=CB,。是AB的中点，E为边4c上一动点(不与点

A,C重合)，连接OE,点A关于直线BC的对称点为F,过点F作/田丄。E于点”，交

射线BC于点G.

(1)如图1,当AE<EC时，写出/AQE与N8FG的大小关系；

(2)如图1,当AEVEC时，用等式表示线段8G与AE的数量关系，并证明；

(3)如图2.当AE>EC时，依题意补全图2,用等式表示线段。E,CG,AC之间的数

量关系(不需证明).

【分析】(1)在EC上截取EM=AE,可证明得NAOE=NF,进而证明△A8M丝ZX8FG,

即可得出结论；

(2)由全等三角形的性质得AM=8G,即可得出结论；

(3)由(1)可知，得出BG=AM，再证CM=CG,由三角形中位线

定理得BM=2£>£,然后在中，由勾股定理即可得出结论.

【解答】解：(1)NADE=NBFG,理由如下：

如图1,在AC上截取EM=AE,连接BM,

■:FHLDE,

：.NFHE=NGHE=90°,

VZACB=ZECG=90Q,

在四边形8DHF中，/ABC+NOHF=180°,

：.ZF+ZBDH^\SO°,

；NDEC+NDEA=18。°,

：.ZDEA=ZHGC,

\'AD=DB,AE=EM,

.♦.DE是△A8M的中位线，

：.DE//BM,

：.ZABM=ZADE,

：.ZABM^NF,

在△ABM和△BFG中,

<ZA=ZFBG=45°

<AB=BF，

ZABM=ZF

(ASA),

/ABM=NBFG,

：.ZADE=ZBFG；

(2)由(1)可知I,EM=AEf4ABM沿4BFG,

：.AM=BG,

*：AM=2AEf

：.BG=2AE；

(3)补全图形如图2所示，

延长AC至M,使EM=AE,连接BM,