2024届北京临川学校九年级数学第一学期期末经典试题含解析

2024届北京临川学校九年级数学第一学期期末经典试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

L解方程3（2x—l）2=4（2x-l）最适当的方法是（）

A.直接开平方法B.配方法C.因式分解法D.公式法

2.如图，。。的弦CD与直径AB交于点尸，PB=Icm,AP=5cm,ZAPC=30°,则弦Co的长为（）

;

A.4cmB.5cmC.2Λ∕2CMD.4>∕2cm

3.下列四个数中是负数的是（）

A.1B.-（-1）C.-1D.I-H

7

4.√16,§，√90,兀四个实数，任取一个数是无理数的概率为（）

113

A.-B.-C.-D.1

424

5.在AABC中，I是内心，NBIC=I30。，则NA的度数是（）

A.40oB.50oC.65oD.80°

6.小明随机地在如图正方形及其内部区域投针，则针扎到阴）影区域的概率是（

□

7.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60。方向，距离灯塔60〃mi/e的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后,

到达位于灯塔C的南偏东45。方向上的5处，这时轮船5与小岛A的距离是（）

A.ɜθʌ/ɜnmileB.60nmileC.120nmileD.（3（）+3O-^）nmile

Afi

8.如图，在AABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，——=2,那么下列条件中能判断DE〃BC的是（）

AD

AE1ECCDE1ACC

A.----=—B.—=2C.—=一D.—=2

EC2ACBC2AE

9.下列四个图形是中心对称图形（).

ʌ-b∙(ɔOO

10.如图，AB是。。的直径，CD是。O的弦.若NBAD=24。，则NC的度数为()

A.24°B.56°C.660D.76°

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.若关于X的方程x2+3x+a=0有一个根为-1,则另一个根为.

12.如图，如果将半径为IOCm的圆形纸片剪去一个圆心角为120°的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重

叠），那么这个圆锥的底面圆半径为.

剪去

13.已知抛物线y=θr2+hχ+c(a≠0)的对称轴是直线X=1,其部分图象如图所示，下列说法中：φ^c<0;

(2)a-b+c<O;③3α+c=0;④当-l<x<3时，y>0,正确的是(填写序号).

14.如图，四边形48C。是菱形，NA=60。，AB=2,扇形E5尸的半径为2,圆心角为60。，则图中阴影部分的面积

15.如图，矩形纸片ABe。中，AB=8cm,BC=12cm,将纸片沿EE折叠，使点A落在BC边上的4处，折痕

分别交边AB、AO于点尸、E,且A/=5.再将纸片沿E”折叠，使点。落在线段E4'上的以处，折痕交边CO于

16.若。O是等边AABC的外接圆，(Do的半径为2,则等边aABC的边长为

2

17.如图，反比例函数》二一的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为.

V

18.如图，在平面直角坐标系中，^ABC和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3,1),B,(6,

2),若点A，(5,6),则A的坐标为.

三、解答题(共66分)

19.(10分)某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：4.器乐，B.舞蹈，C.朗诵，D.唱歌.每名学生

从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整

的统计图:

请结合图中所给信息，解答下列问题

(1)本次调查的学生共有人；

(2)补全条形统计图；

(3)七年级一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同

学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.

20.(6分)如图，直线M=MX+匕与双曲线%=与在第一象限内交于AB两点，已知A。,/),8(2,1).

(1)求心的值及直线AB的解析式.

(2)根据函数图象，直接写出不等式为〉X的解集.

9

(3)设点是线段AB上的一个动点，过点P作PDLX轴于点D,E是)'轴上一点，当VP瓦)的面积为G时，请直接

O

写出此时点P的坐标.

21.(6分)已知：ZXABC中NACB=90。，E在AB上，以AE为直径的。。与8C相切于O,与AC相交于R连接

AD.

(1)求证：4。平分NBAC；

(2)若OF〃A5,则5。与CO有怎样的数量关系？并证明你的结论.

22.(8分)数学活动课上，老师提出问题:如图1,有一张长4dm,宽3曲?的长方形纸板,在纸板的四个角裁去四个相

同的小正方形，然后把四边折起来，做成-一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大.下面是探

究过程，请补充完整：

(1)设小正方形的边长为xdm,体积为ydmi,根据长方体的体积公式得到)'和X的关系式;

(2)确定自变量X的取值范围是

(3)列出)'与X的几组对应值.

ɪɪ3_l_53795

x/dm∙∙∙1

848284884

y/dm3∙∙∙

1.32.22.7—3.02.82.5——1.50.9

(4)在平面直角坐标系XOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点画出该函数的图象如图2,结合画出的函

数图象，当小正方形的边长约为加时，盒子的体积最大，最大值约为3.03MR(估读值时精确到o.oidm)

23.(8分)解方程：

(1)2x(x-1)=3(x-1)；

(2)X2-3x+l=l.

24.（8分）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外

一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一

张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是

“红脸”的概率（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2,图案为“黑脸”的卡片记为B）∙

小红脸色红脸E黑脸

25.（10分）如图，⅛∆ABCφ,D为AB边上一点，ZB=ZACD.

（2）如果AC=6,AD=4,求DB的长.

26.（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据:

销售单价X（元/件）•••30405060•••

每天销售量y（件）•••500400300200・・・

(I)研究发现，每天销售量)，与单价X满足一次函数关系，求出y与X的关系式；

(2)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品

每天获得的利润8000元？

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、C

【分析】根据解一元二次方程的方法进行判断.

【详解】解：先移项得到3(2x—1)2-4(2X-1)=0,然后利用因式分解法解方程.

故选：C.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，

是解一元二次方程最常用的方法.

2、D

【分析】作OH_LCD于H,连接OC,如图，先计算出OB=3,OP=2,再在RtAoPH中利用含30度的直角三角形

三边的关系得到OH=1,则可根据勾股定理计算出CH,然后根据垂径定理得到CH=DH,从而得到CD的长.

【详解】解：作OH_LCD于H,连接OC,如图，

VPB=1,AP=5,

.∙.OB=3,OP=2,

在RtAoPH中，VZOPH=30o,

1

/.OH=-OP=I,

2

在RtAOCH中，CH=√32-12=2√2»

VOH±CD,

ΛCH=DH=2√2>

.,.CD=2CH=4√2.

故选：D.

【点睛】

本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的

两条弧.

3、C

【解析】大于0的是正数，小于。的是负数，据此进行求解即可.

【详解】vι>o,-(-1)=l>0,I-l∣=l>0,

.∙.A,B,D都是正数，

∙.∙-1<0,

：.-1是负数.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正数的概念，掌握正数大于0,是解题的关键.

4、B

【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论；

【详解】•••共有4种结果，其中无理数有：√90,兀共2种情况，

21

.∙.任取一个数是无理数的概率P=7=χ；

42

故选B.

【点睛】

本题主要考查了概率公式，无理数，掌握概率公式，无理数是解题的关键.

5、D

【解析】试题分析：已知NBlC=I30。，则根据三角形内角和定理可知NIBC+NICB=50。，则得到NABC+NACB=100

度，则本题易解.

解：VZBIC=130o,

ΛZIBC+ZICB=500,

又∙.T是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，

.∙.NABC+NACB=100°,

ΛZA=80o.

故选D∙

考点：三角形内角和定理；角平分线的定义.

6、D

【分析】根据几何概型的意义，求出圆的面积，再求出正方形的面积，算出其比值即可.

【详解】解：设正方形的边长为2a,则圆的半径为a,

则圆的面积为：πa^>

正方形的面积为：（24）2=4/,

2

.∙.针扎到阴影区域的概率是%τ=-,

4a24

故选：D.

【点睛】

本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算

阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率.

7、D

【分析】过点C作CDJLAB,则在RtAACD中易得AD的长，再在直角ABCD中求出BD,相加可得AB的长.

【详解】过C作CD±AB于D点，

ΛZACD=30o,ZBCD=45o,AC=I.

在RtAACD中，cosZACD=——，

AC

.∙.CD=AOCOSNACD=Ix—=30√3.

2

在Rt∆DCB中,VZBCD=ZB=45o,

ΛCD=BD=30√3,

ΛAB=AD+BD=30+30√3.

答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+306）nmiɪe.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解

决的方法就是作高线.

8、D

ΛΓ,ΛΩ

【分析】只要证明一=—,即可解决问题.

AEAD

∖p1AU

【详解】解:A.普,可得AE：AC=I:1,与已知石=2不成比例，故不能判定

FCAfi

B.一t=2,可得AC：AE=1：1,与已知一=2不成比例，故不能判定

ACAD

C选项与已知的S=2,可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；丝=!

ADBC2

ΛΓAR

D.—=2=—,可得DE〃BC,

AEAD

故选D.

【点睛】

本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9、C

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

10、C

【分析】先求出NB的度数，然后再根据圆周角定理的推论解答即可.

【详解】:AB是。O的直径

.".ZBZM=90°

VZBAD=24o

.∙∙ZABD=180°-90°-24°=66°

又"ADAD

：.Z.C=/BAD=66°

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推论:①在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等;

②直径所对圆周角等于90°

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、-2

【解析】试题解析：由韦达定理可得,

b

x∣+X=—=-3,

5a

•：xl=-l,.∙.x2=-2.

故答案为-2.

20

12、—Cm

3

【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和

240∙τr∙10

弧长公式得到2πr=-:,然后解方程即可.

18()

【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm,

gg=≈⅛,∕qc240∙^∙10

根据题意得2πr=———

18()

i20

解得：r=~^

20

即这个圆锥的底面圆半径为jcm

20

故答案为：ycm

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长.

13、④.

【解析】首先根据二次函数图象开口方向可得α<0,根据图象与y轴交点可得CX),再根据二次函数的对称轴

X=~—=\,结合a的取值可判定出b>0,根据a,b,c的正负即可判断出①的正误；把X=T代入函数关系式

2a

+hx+(^^y=a-b+c,再根据对称性判断出②的正误；把人=-2。彳弋入α-匕+c中即可判断出③的正误；

利用图象可以直接看出④的正误.

【详解】解：根据图象可得：a<O,cX),

对称轴：X=--=1,

2a

:.b=-2a,

“<0,

:.bX),,

:.abc<O,故①正确；

把户T代入函数关系式y=0χ2+⅛r+c中得：y=a-b+c,

由抛物线的对称轴是直线户1,且过点(3,0),可得当％=T时，y=0,

:.a-b+c=0,故②错误；

■b=-2a,

a-(-2a)+c=0,

即：3a+c=0,故③正确；

由图形可以直接看出④正确.

故答案为①③④.

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当4X)时，

抛物线向上开口；当α<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b

同号时(即α"V()),对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即α"V()),对称轴在y轴右侧.(简称：左同右异)；③

常数项C决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(O,c).

14、红

3

【分析】根据菱形的性质得出B是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出AABG丝ZkDBH,得出四边形

GBHD的面积等于4A5Z)的面积，进而求出即可.

【详解】解：如图，连接BD.

T四边形ABCD是菱形，ZA=60o,

AZADC=120°,

ΛZl=Z2=60o,

.1△DAB是等边三角形，

VAB=2,

.∙.ZSABD的高为百，

：扇形BEF的半径为2,圆心角为60。，

ΛZ4+Z5=60o,N3+N5=60°,

.∙.N3=N4,

设AD、BE相交于点G,设BF、DC相交于点H,

Z=N2

在AABG和ADBH中，∖AB=BD,

N3=N4

.∙.∆ABG^∆DBH(ASA),

ʌ四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，

二图中阴影部分的面积是：扁彩602

SEBF-SΔABI>=^×^-lχ2Xλ^=--√3.

36023

故答案是：——6.

3

【点睛】

此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于aABD

的面积是解题关键.

15、底

【分析】过点E作EGJ_BC于G,根据矩形的性质可得：EG=AB=8cm,ZA=90o,AD=BC=∖2cm,然后根据

折叠的性质可得：AN=AF=5cm,AE=AE,ZFAE=ZA=90o,ED=EM根据勾股定理和锐角三角函数

即可求出COSNB4N,再根据同角的余角相等可得NAEG=NfiAN,再根据锐角三角函数即可求出AZ,从而求出

AD',最后根据勾股定理即可求出RD

【详解】过点E作EG±BC于G

4

Bʒv⅛~'c

V矩形纸片ABCD中，AB=8cm,BC=I2cm,

ΛEG=AB=8cm,ZA=90o,A。=BC=I2cm

根据折叠的性质A'E=AF=5cm,A'石=A£，NE4'E=NA=90°,ED=E怵

.∙.BF=AB-AF=3cm

根据勾股定理可得：48=JA尸一8尸=4Cm

/.CosZfiAT=-=-

A'F5

VZBAF+ZEA,G=180°—ZFAE=90o,ZAEG+NEArG=90°

ΛZAEG=ZBAF

FG4

：•cosZA,EG=上=COSABAF=-

A!E5

解得：AE=IOcm

.∖AE=IOcm,

：•ED=AD-AE=2cm

：・EDED=2cm

：.AD,=AE-ED,=^cm

根据勾股定理可得：FD'-AD'-+AF2-√89

故答案为：廊.

【点睛】

此题考查的是矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐

角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

16、2√3

【解析】试题解析：如图:

连接。4交BC于。，连接OC,

qA3C是等边三角形，。是外心，

.∙.ZOCD=30,OC=2,

OD=-OC=I,

2

.∙.CD=BD=√3,

BC=2√3.

故答案为2班.

17、1.

【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：OA∙AD=2,然后可求得OA・AB的值，从而可求得矩形OABC的面

积.

【详解】•••反比例函数y=2的图象经过点D,

X

ΛOA∙AD=2.

∙.∙D是AB的中点，

ΛAB=2AD.

Λ矩形的面积=OA∙AB=2AD∙OA=2x2=l.

故答案为1.

考点：反比例函数系数k的几何意义.

18、(2.5,3)

【分析】利用点B(3,1),B，(6,2)即可得出位似比进而得出A的坐标.

【详解】解：T点B(3,1),B,(6,2),点A，(5,6),

.∙.A的坐标为：(2.5,3).

故答案为：(2.5,3).

【点睛】

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

三、解答题（共66分）

19、（1）100；（2）见解析；（3）-

6

【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；

（2）用总人数减去A、C、O项目的人数，求出8项目的人数，从而补全统计图；

（3）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答

案.

【详解】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%=100（人）；

故答案为100；

（2）喜欢3类项目的人数有：100-30-10-40=20（人），

共有12种情况，

被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，

1

则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是二

6-

甲乙丙丁

Z∖∕1∖/N/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

图2

故答案为（DlO0；（2）见解析；（3）ɪ

6

【点睛】

本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合事件A或B的结果数

目加，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.

33

20、(1)k=2,y=-χ+3(2)解集为0<x<l或x>2(3)

22,2

【分析】(1)先把B(2,1)代入方=以，求出反比例函数解析式，进而求出点A坐标，最后用待定系数法，即可得

X

出直线AB的解析式；

(2)直接利用函数图象得出结论；

9

(3)先设出点P坐标，进而表示出aPED的面积等于三，解之即可得出结论.

8

【详解】解：(1)：V点3(2,1)在双曲线％=,上，

：・k1=2×1=2,

2

，双曲线的解析式为%=—.

X

2

,：A(LM在双曲线为=『

•∙ιτι=2,

.∙.A(l,2).

•：直线AB：y=审+6过A(L2)、3(2,1)两点，

k,+b=2{k,=-1

ʌ'八，，解得「

2k[+b=1[b=3o

.∙.直线AB的解析式为y=-%+3

(2)根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得：

双曲线在直线上方的部分对应的X范围是：O<x<l或χ>2,

不等式%〉%的解集为O<x<l或x>2.

<33、

(3)点P的坐标为亍5.

设点P(x,-x+3),且l≤x≤2,

Iiɜ139

则S=_POoO=__X2+-X=__(%--)2+-

222228

9

Y当S='时，

8

3

解得％=%

2

33、

.∙.此时点P的坐标为2,2J-

【点睛】

此题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形的面积公式，求出

直线AB的解析式是解本题的关键.

21、（1）见解析；（2）BD=2CD证明见解析

【分析】（1）连接根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知：ZOAD=ZODAi再由切线的性质及平

行线的判定与性质证明ZOAD=ZCADi

（2）连接OR根据等腰三角形的性质以及圆周角定理证得NbAC=60。，根据平行线的性质得出50：CD=AFiCF9

ZDFC=∠BAC=60o,根据解直角三角形即可求得结论.

【详解】（1）证明：连接。

：.OD=OA9

OAD=NODA,

TBC为。。的切线，

；・NODB=90。,

VZC=90o,

：.ZODB=ZC9

：.OD//AC9

ZCAD=ZODA9

"OAD=NCAD,

.∙.A。平分NjBAG

（2）连接OF,

9

：DF//AB9

ZOAD=ZADF9

YAP平分N5AC,

ΛNAD尸=ɪZOAF9

2

VZADF=-ZAOF9

2

：・ZAOF=ZOAF9

OA=OF9

：.ZOAF=ZOFA9

・•・AAOF是等边三角形，

ΛZBAC=60o,

VZADF=ZDAF9

：.DF=AF9

^DF//AB9

o

：.BD：CD=AFzCF9ZDFC=ZBAC=609

BDDF

•.-=2

DCCF

：.BD=ICD.

【点睛】

本题考查了切线的性质，涉及知识点有：平行线的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定

理，数形结合做出辅助线是解本题的关键

3

22、(1)y=x(4-2x)(3-2x);(2)OCX<万；(3)3,2；(4)0.55

【分析】(1)根据长方形和正方形边长分别求出长方体的长、宽、高，然后即可得出)，和X的关系式；

(2)边长都大于零，列出不等式组，求解即可；

(3)将X的值代入关系式，即可得解；

(4)根据函数图象，由)'最大值即可估算出X的值.

【详解】(1)由题意，得

长方体的长为(4-2x),宽为(3-2力，高为X

.R和X的关系式：y=x(4-2x)(3-2x)

x>0

(2)由(1)得<4-2Λ>0

3-2Λ>0

3

.∙.变量X的取值范围是0<x<±;

2

(3)将X=I和X=I代入(1)中关系式，得

2

y4(4^2x∣I3^2x⅛3

y=lχ(4-2χl)(3-2χl)=2

)'分别为3,2；

(4)由图象可知，与3.03对应的X值约为0.55.

【点睛】