2022-2023学年北京市石景山区京源学校九年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市石景山区京源学校九年级（上）期中数学

试卷

一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.（2分）二次函数）=-3/的图象开口方向是（）

A.向上B.向下C.向左D.向右

2.（2分）如图，在△4BC中，DE//BC,若AO=2,AB=3,则区■等于（）

4323

3.（2分）二次函数y=2（x-1）2-2的图象是由二次函数），=2,的图象平移得到的，下

列平移方法正确的是（）

A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

4.（2分）在RtZXABC中，N8AC=NA£）C=90°,A£>=3,BD=2,则C£>的长为（）

A.2B.3C.9D.A

23

5.（2分）如图，在平行四边形A8CD中，F为的中点，延长AO至点E,使。E：AD

=1：3,连接所交。C于点G,贝IJSACFG：S"EG等于（)

C.4：9D.3：2

6.（2分）若二次函数尸/+灰+c（e0）的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（）

△>0B.b<0,c<0,A>0

C.6>0,c>0,A>0D.b<0,c>0,A<0

7.（2分）如图，在△ABC中，AM：MD=3,BD：DC=2：3,贝IJAE：EC=()

4C.6：5D.7：4

8.（2分）抛物线y=47+/M+c的顶点为A（2,m）,且经过点3（5,0）,其部分图象如图

所示.对于此抛物线有如下四个结论:

①acVO；

@a-b+c>0；

③m+9a=0

④若此抛物线经过点C（3〃），则47一定是方程"2+云+。=〃的一个根.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③④C.③④D.①④

二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为

（0,3）.此二次函数的解析式可以是.

ZABD=30°,则/EC。的度数为

11.（2分）如图，身高1.6米的小林从一盏路灯下8处向前走了8米到达点C处时，发现

自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为.・米.

12.(2分)若点A(-2,yi),B(1,*),C(-4,*)在抛物线y=2(x+1)2±,请将

V，户,*按从小到大的顺序用“V”连接

13.（2分）已知：如图，在平面直角坐标系双力中，点A在抛物线y=7-4x+6上运动,

过点A作轴于点C,以AC为对角线作正方形ABCO.则正方形的边长48的最小

14.（2分）已知二次函数yi=ox2+fec+c（”W0）与一次函数（k¥0）的图象相交

于点A（-1,4）,8（4,2）.如图所示,则能使成立的x的取值范围

y

5KZ/r

15.（2分）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边4c上，记为点

B',折痕为EF.己知AB=AC=3,BC=4,若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC

相似，那么BP的长度是.

16.（2分）若关于x的一元二次方程-f+4x7=0G为实数）在l<x<5的范围内有解，

贝h的取值范围是.

三、解答题（共10小题，满分68分，17题8分，19、22每小题8分，18、20-21>23-25

每小题8分，26题6分.）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（8分）解下列方程.

⑴/-2%-1=0；

（2）/+3x-4=0.

18.（7分）如图，在RtZVIBC和RtZ\4CD中，ZB=ZACD=90°,4c平分NBA。.

（1）证明：△ABCs△AGO；

（2）若A8=4,AC=5,求8c和C£>的长.

19.（6分）已知二次函数y=/-2x-3.

（1）画出它的图象；

（2）该二次函数图象的对称轴为,顶点坐标为

(3)当x时，y的值随x值的增大而减小；

(4)当y>0时，x的取值范围是；

(5)当0WxW4时，y的取值范围是

20.(7分)已知：如图，在四边形ABCC中，AC为对角线，AD//BC,BC=2AD,ABAC

=90°,过点A作AE〃£)C交于点E.

(1)求证：四边形AECD为菱形;

(2)若AB=AE=2,求四边形4EC。的面积.

21.(7分)已知关于x的一元二次方程7-(a+2)x+q+l=0.

(1)求证：方程总有两个实数根;

(2)若方程的两个根都是正整数，求“的最小值.

22.(6分)在平面直角坐标系尤Oy中，一次函数仪/0)的图象经过点(-1,0),

(0,2).

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=〃tv(m#0)的值小于一次函数

(20)的值，直接写出机的取值范围.

23.(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yuoAfex-3与直线y=-x-1交于

点A(-1,0),B(加，-3),点尸是线段AB上的动点.

(1)®m—：

②求抛物线的解析式.

(2)过点尸作直线/垂直于x轴，交抛物线)，="/+云-3于点。，求线段P0的长最大

24.(7分)在平面直角坐标系xOy中，ACm-1,yi),B(3,”)是抛物线y=W-2MU+〃?2

-4上两点.

(1)将y=x2-2mx+m2-4写成y=a(x-h)~+k的形式；

(2)若胆=1,比较yi,”的大小，并说明理由；

(3)若尹＜中,直接写出皿的取值范围.

25.(7分)在等腰直角△A8C中，AB=AC,ZA=90°,过点B作BC的垂线/.点尸为直

线48上的一个动点(不与点4,B重合)，将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线/

于点

(1)如图1,点P在线段AB上，依题意补全图形.

①求证：NBDP=NPCB；

②用等式表示线段BC,BD,BP之间的数量关系，并证明.

(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC,BD,BP之间的数量关系.

备用图

26.(6分)对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足y

WM,那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数

的上确界.例如，图中的函数y=-(x-3)2+2是有上界函数，其上确界是2.

(1)函数①y=/+2x+l和②y=2x-3(x<2)中是有上界函数的为(只填序号

即可)，其上确界为；

(2)如果函数y=-x+2(aWxWb,b>a)的上确界是h,且这个函数的最小值不超过

2a+l,求”的取值范围；

(3)如果函数y=f-2ar+2(1WXW5)是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值.

2022-2023学年北京市石景山区京源学校九年级（上）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.（2分）二次函数y=-37的图象开口方向是（）

A.向上B.向下C.向左D.向右

【分析】根据二次项系数确定开口方向.

【解答】解：y=-3/,

'：a=-3<0,

...抛物线图象开口向下，

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次函数的性质即可解决问题.

2.（2分）如图，在△4BC中，DE//BC,若A£>=2,AB=3,则金旦等于（）

AC

A.AB.Ac.AD.2

4323

【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解.

【解答】解：；OE〃BC,

.AD=AE=2

**ABAC3"

故选：D.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例.

3.（2分）二次函数y=2（X-1）2-2的图象是由二次函数），=27的图象平移得到的，下

列平移方法正确的是（）

A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法.

【解答】解：抛物线y=2?的顶点坐标是（0,0）.

抛物线y=2（x-1）2-2的顶点坐标是（1,-2）.

则由二次函数y=2?的图象向右平移1个单位，向选平移2个单位即可得到二次函数），

=2（x-1）2-2的图象.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.解决本题的关键是根据顶点式得到新抛

物线的顶点坐标.

4.（2分）在Rtz^ABC中，NBAC=NADC=90°,AD=3,BD=2,则CD的长为（）

A.2B.3C.9D.A

23

【分析】先利用平角定义可得NADC=N4DB=90°,再利用直角三角形的两个锐角互

余可得NB+N8AO=90°,NB+/C=90°,然后利用同角的余角相等可得

从而可得△DACS^OBA,最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】解：•.,NADC=90°,

：.ZADB=\S0°-NAOC=90°,

.♦.NB+N8A0=90°,

\'ZBAC=90°,

.•./B+/C=90°,

：.ZC=ZBAD,

VZADC=ZADB=90°,

:.XDACs△DBA,

•AD-CD

BDDA

:.AD2=BD*CD,

；A£>=3,BD=2,

：.32=2CD,

:.CD=',

2

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握射影定理是解题的关键.

5.(2分)如图，在平行四边形ABCZ)中，F为8c的中点，延长AO至点E,使£>E：AD

=1：3,连接EF交。C于点G,则SACFG：S^DEG等于()

【分析】利用平行四边形的性质可得AD//BC,AD=BC,再根据线段中点的定义可得

CF=1BC=1AD,然后证明8字模型相似三角形△EOGs△尸CG,利用相似三角形的

22

性质进行计算即可解答.

【解答】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,

为8c的中点，

CF=ABC,

2

:.CF=1AD,

2

'：AE//CF,

：.Z£=ZGFC,NEDG=NC,

：.4EDGs丛FCG,

,：DE：AD=1：3,

:.DE=1AD,

3

,yAD

:•S&CFG;S&DEG=(-i^)2=(----)2—(3)2=9,

DE|AD24

o

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握8字模型

相似三角形是解题的关键.

6.（2分）若二次函数y=“x2+bx+c（a/0）的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（）

A.b>0,cVO,A>0B.b<0,c<0,A>0

C.b>0,c>0,A>0D.b<0,c>0,A<0

【分析】利用抛物线的开口方向先确定a的符合，再利用对称轴的位置确定b的符合，

接着利用抛物线与y轴的交点位置确定c的符合，然后根据抛物线与x轴个数确定△的

符合，从而可对各选项进行判断.

【解答】解：•.•抛物线开口向上，

：.a>0,

•.•抛物线的对称轴在y轴的右侧，

...a、b异号,BPb<0,

•.•抛物线与y轴的交点在x轴下方,

，c<0,

:抛物线与x轴有2个交点,

A>0.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向

和大小.当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口:一次项系数匕和

二次项系数。共同决定对称轴的位置：当。与6同号时，对称轴在y轴左；当a与人异

号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）.抛

物线与x轴交点个数由判别式确定：A=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△

=房-4改=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=庐-4改<0时，抛物线与x轴没有交

点.

7.(2分)如图，在△4BC中，AM：MD=3,BD：£>C=2：3,则AE：EC=()

A

【分析】过点。作DG〃AC交BE于点、G,用平行线分线段成比例定理以及比例的性质

进行变形即可得到答案.

【解答】解：如图，过点。作£>G〃AC交BE于点G.

'JAM：MD=3,BD：DC=2：3,

•也」，毁上，

"AM而7,

'JDG//AC,

•DG__BD__2,DG_DM_1,

*'CE=BCVAE"AM"3"

：.CE=^-DG,AE=3DG,

2

.AE=3DG=6

故选：c.

【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：平行于三角形的一边,

并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的

三边对应成比例.准确作出辅助线是解题的关键.

8.(2分)抛物线y=o?+灰+c的顶点为A(2,m),且经过点B(5,0),其部分图象如图

所示.对于此抛物线有如下四个结论：

①acVO；

@a-b+c>0；

③/n+9a=0

④若此抛物线经过点C（3n）,则4-f一定是方程ar2+/?x+c=〃的一个根.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③④C.③④D.①④

【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5,0）

可判断②，由抛物线对称轴为直线x=2可得人=-4”，由a-8+c=0可得c=-5〃，从

而判断③，点C对称点横坐标为4T可判断④.

【解答】解：•••抛物线开口向下，

••4*^0,

,/抛物线与y轴交点在x轴上方，

.,.c>0,

.'.ac<0,①正确.

；抛物线顶点为A（2,m），

抛物线对称轴为直线x=2,

•.•抛物线过点（5,0）,

二由对称性可得抛物线经过点（-1,0）,

.*.«-b+c=0,②错误，

；-旦=2,

2a

:・b=-4。，

，5Q+C=0,

••c=~5Q,

V（2,加）为抛物线顶点，

4a+2h+c=m,

-Sa-5a=mf即9a+〃?=0,③正确，

•.•抛物线经过点C（6〃），

...点C关于对称轴对称点（4-n〃）在抛物线上，

.*.4-t为ax2+bx+c=n的一个根，④正确.

故选：B.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质、二次

函数与方程及不等式的关系.

二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与）'轴的交点坐标为

（0,3）.此二次函数的解析式可以是y=-7+3（答案不唯一）.

【分析】根据二次函数的性质可得出。＜0,利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c

=3,取a=-l,6=0即可得出结论.

【解答】解：设二次函数的解析式为y=，＞+次+。.

•••抛物线开口向下，

•'aVO.

;抛物线与y轴的交点坐标为（0,3）,

.•.c=3.

取。=-1,6=0时，二次函数的解析式为y=-/+3.

故答案为：＞=-7+3（答案不唯一）.

【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数

的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出。＜0,c=3是解题的关键.

10.（2分）如图，/XABD^AECD,NABO=30°,则NEC。的度数为30°

【分析】根据相似三角形的对应角相等得到答案即可.

【解答】解：VAABD^/XECD,ZABD=30°,

.".ZECD=ZABD=30°,

故答案为：30°.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，了解相似三角形的对应角相等是解答本题的关

键，难度不大.

11.(2分)如图，身高1.6米的小林从一盏路灯下8处向前走了8米到达点C处时，发现

自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高A8为8米.

【分析】根据8〃AB,得出进而得出比例式求出即可.

【解答】解：由题意知，CE=2米，8=1.6米，BC=8米，CD//AB,

则BE=BC+CE=10米，

'JCD//AB,

：./\ECD^/\EBA

•CDCEpn1.62

ABBEAB10

解得AB=8(米)，

即路灯的高AB为8米：

故答案为：8米.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECOsaEBA是解决问题的关键.

12.(2分)若点A(-2,yi),B(1,*)，C(-4,*)在抛物线y=2(x+1)2±,请将

yi,"，然按从小到大的顺序用连接yiVy2〈y3.

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=2(x+1)2的开口向上，对称轴为直线

-1,然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.

【解答】解：：抛物线y=2(x+1)2的开口向上，对称轴为直线x=-1,

而C(-4,*)离直线x=-1的距离最远，A(-2,yi)点离直线》=-1最近，

.,.yi<y2<j3.

故答案为：y\<yi<y3.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解

析式.也考查了二次函数的性质.

13.(2分)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=7-4x+6上运动，

过点A作ACLx轴于点C,以AC为对角线作正方形ABCD则正方形的边长A8的最小

值是

【分析】根据正方形的性质得到AB=Y3C,再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当

2

正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小.

【解答】解：•••四边形ABCC是正方形，

2

'.'y—x2-4x+6

=(x-2)2+2,

.•.当x=2时，AC有最小值2,

即正方形的边长AB的最小值是

故答案为：

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整

理成顶点式形式求解更简便.

14.(2分)已知二次函数yi=/+历:+。(aWO)与一次函数y2=fcc+"7(ZWO)的图象相交

于点A(-1,4),B(4,2).如图所示，则能使yi>”成立的x的取值范围x<-1

或x>4.

【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可.

【解答】解：•••两函数图象的交点坐标为A(-1,4),B(4,2),

.,•使yi>”成立的x的取值范围是x<-1或x>4.

故答案为：x<-1或x>4.

【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更加简便.

15.(2分)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点

B',折痕为EF.已知A8=AC=3,BC=4,若以点B'、尸、C为顶点的三角形与△ABC

相似，那么BF的长度是卫或2.

【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑aB'FC与△ABC相似时的对应情况，分两

种情况讨论.

【解答】解：根据△B'FC与△48C相似时的对应关系，有两种情况：

①△B'FCs/\ABC时，空，

ABBC

又；AB=AC=3,BC=4,B1F=BF,

•••B,F-4-BFf

34

解得2F=K；

7

②△B'CFs/^CA时，里』_=S",

BACA

AB=AC=3,8c=4,B'F=CF,BF=B'F,

ffi]BF+FC=4,即28F=4,

解得BF=2.

故BF的长度是」2或2.

7

故答案为：丝或2.

7

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：

(1)相似三角形周长的比等于相似比；

(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方；

(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

16.(2分)若关于x的一元二次方程-/+4x-r=0(f为实数)在l<x<5的范围内有解，

则f的取值范围是-5VW4.

【分析】先根据根的判别式得到f<4,再利用二次函数的性质当尤=5,52-20+f>0时，

方程在l<x<5的范围内有解，即f>-5,从而得到f的范围.

【解答】解：方程变形为W-4x+f=0,

根据题意得A=42-4XlXf20,

解得rW4,

当x=5,52-20+r>0时，方程在l<x<5的范围内有解，即f>-5,

所以t的取值范围为-5<rW4.

故答案为：-5<7W4.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax1+bx+c=Q(a/0)的根与△=b2-4ac

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

三、解答题(共10小题，满分68分，17题8分，19、22每小题8分，18、20-21>23-25

每小题8分，26题6分.)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.(8分)解下列方程.

(1)x2-2x-1=0；

(2)/+3x-4=0.

【分析】(1)利用配方法得到(%-1)2=2,然后利用直接开平方法解方程；

(2)利用因式分解法把方程转化为x+4=0或x-1=0,然后解一次方程即可.

【解答】解：(1)J?-2x-1=0,

x2-2x+l—2,

(x-1)2=2,

X-1=±&,

所以Xl=l+&,X2=I-V2：

(2)/+3x-4=0,

(x+4)(x-1)=0,

x+4=0或x-1=0,

所以xi=-4,X2=l.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方

法.

18.(7分)如图，在RtZ\ABC和RtZ\ACD中，Zfi=ZACZ)=90°,4c平分/BAD

(1)证明：XMiCsMACD：

(2)若AB=4,AC=5,求BC和CD的长.

【分析】(1)由角平分线定义得N5AC=NC4£>,再由N8=NACD=90°,即可得出结

论；

(2)先由勾股定理求出8c=3,再由相似三角形的性质求出CD即可.

【解答】(1)证明：平分NBA。，

：.ZBAC^ZCAD,

又•.•N8=NAC£)=90°,

AABC^AACD；

(2)解：VZB=90°,AB=4,AC=5,

'BC=VAC2-AB2=VB2-42=3，

由(1)得：

•BC=AB

"CDAC)

即金-=居，

CD5

解得：CD=」W.

4

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识：熟练掌握勾股定理,

证明三角形相似是解题的关键.

19.(6分)已知二次函数y=/-2x-3.

(1)画出它的图象；

(2)该二次函数图象的对称轴为x=l,顶点坐标为(1,-4)；

(3)当x<1时,y的值随x值的增大而减小；

(4)当y>0时，x的取值范围是x>3或x<-1

(5)当0WxW4时，y的取值范围是-4SW5.

【分析】(1)根据函数解析式求出抛物线的对称轴，顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点,

然后根据函数的性质用五点法作出函数图象：

(2)根据函数图象即可得出结论；

(3)根据函数图象即可得出结论：

(4)根据函数图象即可得出结论；

【解答】解:(1)y=W-2x-3=(x-1)2-4,

，对称轴为x=l,顶点坐标为(1,-4)；

令y=/-2x-3=0,解得：x=-l或3,

.•.抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0)；

令x=0,则y=-3,

.♦.抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3),

图象如图所示：

(2)二次函数图象的对称轴为x=l,顶点坐标为(1,-4),

故答案为：X—1»(1,-4)；

(3)由图象得，当x<l时，)，的值随x值的增大而减小，

故答案为：<1;

(3)当y>0时，x的取值范围是x>3或-1,

故答案为：x>3或-1；

(4)当x=0时，y=-3；当x=4时，y=5,

...当0WxW4时，y的取值范围是-4WyW5,

故答案为：-4WyW5.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性

质.

20.(7分)已知I：如图，在四边形ABC。中，AC为对角线，AD//BC,BC=2AD,ABAC

=90°,过点4作AE〃OC交BC于点E.

(1)求证：四边形AEC。为菱形;

(2)若AB=AE=2,求四边形AECO的面积.

【分析】(1)先证明四边形AECZ)为平行四边形，再由直角三角形的性质求得AE=EC,

进而由菱形的判定定理得结论；

(2)连接OE,证明AABE是等边三角形，进而求得AC,再证明四边形ABEQ是平行四

边形，便可求得OE,最后根据菱形的面积公式得结果.

【解答】解：⑴,：AD//BC,AE//DC,

四边形A£CC为平行四边形，

:.AD=EC,

'：BC=2AD,

：.BC=2EC.

为BC的中点

VZBAC=90°,

：.BC=2AE

：.AE=EC,

；四边形AECD为平行四边形，

四边形AEC。为菱形；

,.AB=AE=BE=2,

♦.△ABE是等边三角形.

*.ZB=60°.

：AD=BE,AD//BC,

,•四边形ABED为平行四边形.

,.DE=AB=2,

.•ZB=60°,ZBAC=90°,AB=2,

'.BC=4.

AC=7BC2-AB2=^42-22=2V3•

SAECD=/EXAC=2V3•

【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的判定与

性质，关键是熟悉这些性质和定理.

21.（7分）已知关于x的一元二次方程x2-（a+2）x+“+l=O.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个根都是正整数，求〃的最小值.

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式4=82-4ac,可得出△=/,由偶次方的

非负性可得出。220,即进而可证出方程总有两个实数根；

（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出Xl=l,X2=«+l,结合方程的两个实数根

都是正整数，即可得出〃的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论.

【解答】（1）证明：依题意，得△=[-（。+2）]2-4（〃+1）

=屋+4。+4-4。-4

=〃2.

••,/BO,

・,•方程总有两个实数根.

（2）解：解方程7-（。+2）戈+〃+1=0,

得xi=l,X2=a+\f

・・,方程的两个实数根都是正整数，

。+1》1.

.DO.

：.a的最小值为0.

【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解法，在解答（2）时得到方程的两

个根是解题的关键.

22.（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数），=丘+6�）的图象经过点（-I,0）,

（0,2）.

（1）求这个一次函数的表达式；

(2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数(AMWO)的值小于一次函数

(ZWO)的值，直接写出机的取值范围.

【分析】(1)待定系数法求解析式；

(2)当x=-2时，求出y=2x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出川的取值

范围.

【解答】解：⑴将点(-1,0),(0,2)代入一次函数y=fcv+〃，

得-k+b=0,

lb=2

解得，k=2,

lb=2

...一次函数解析式：y=2x+2；

(2)当x=-2时，y=2x+2=-2,

根据题意，可知当x=-2时，-2mW-2,

解得〃?N1,

•,•m的取值范围是lW/nW2.

【点评】本题考查了一次函数解析式与图象，熟练掌握待定系数法与函数图象是解题的

关键.

23.(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线-3与直线y=-x-1交于

点A(-l,0),B(/n,-3),点尸是线段AB上的动点.

(1)®m=2；

②求抛物线的解析式.

(2)过点P作直线/垂直于x轴，交抛物线丫=0?+6：-3于点。，求线段尸。的长最大

时，点尸的坐标.

【分析】(1)①将点B-3)代入直线y=-X-1,即可得m的值；②由①知点B

(2,-3),根据点A(-1,0),8(2,-3)在抛物线丫=/+反-3上，即可求出抛物

线的解析式；

(2)设点P的横坐标为x,其中-1WXW2,可得点P(x,-X-1)，点。(x,/-2x

-3),得PQ=-7+x+2,进而可得点P的坐标.

【解答】解：(1)①•.•抛物线>=苏+笈-3与直线产-%-1交于点A(-I,0),B(m,

-3),

・・・将点3(m，-3)代入直线y=~x-11得-〃z-1=-3,

解得m=2,

故答案为：2；

②由①知：B(2,-3),

•・,点A(-1,0),B(2,-3)在抛物线y=/+"-3上，

.(a-b-3=0

I4a+2b_3=_3

解得卜=1,

1b=_2

抛物线的解析式为y=/-Zr-3；

(2)设点P的横坐标为x,其中-1WXW2,

，点P(x,~x-1),点Q(x,JC2-2x-3),

PQ=-/+x+2,

；.当彳=工时，尸。最大，

2

此时点尸的坐标为(［，-1).

22

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二

次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解决本题的关键是综

合掌握二次函数的相关知识.

24.(7分)在平面直角坐标系xQy中，A(w-1,yi),B(3,”)是抛物线y=7-2,nx+,〃2

-4上两点.

(1)将y=x1-2mx+m2-4写成y—a(x-h)2+k的形式；

(2)若，"=1,比较yi,”的大小，并说明理由；

(3)若)，|<"，直接写出机的取值范围.

【分析】(1)利用配方法化简即可；

(2)根据二次函数的性质即可判断；

(3)根据题意得到依-1-,M|<|3-m\,解不等式即可求得.

【解答】解：(1)y—x2,-2mx+nr-4—(x-m)2-4；

(2)y\<y2,理由如下：

若〃i=l时，抛物线对称轴是直线x=l,

VA(0,yi),B(3,”)，

...B到y轴的距离大于4到)，轴的距离，

Va>0,

(3)•.•抛物线开口向上，对称轴为直线x=m,

.,♦若yiV)2,则|加-1-刑<|3-m\,

解得m<2或m>4.

【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次

函数的性质是解题的关键.

25.(7分)在等腰直角△ABC中，AB=AC,N4=90°,过点B作BC的垂线/.点P为直

线AB上的一个动点(不与点A,8重合)，将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线/

于点D.

(1)如图1,点P在线段AB上，依题意补全图形.

①求证：NBDP=NPCB；

②用等式表示线段BC,BD,8尸之间的数量关系，并证明.

(2)点P在线段A8的延长线上，直接写出线段BC,BD,BP之间的数量关系.

【分析】(1)①根据题意补全图形，由直角三角形的性质可得出答案；

②过点2作PF_LBP交BC于点尸，证明△8PD四△FPC(AAS),由全等三角形的性质得

出8O=FC,由等腰直角三角形的性质可得出结论；