高三数学总复习《一般数列求前n项和》课件

第三十七讲一般数列求前n走进高考第一关考点关

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数列的求和方法有:

1.公式法:若数列为等差数列或等比数列,利用等差或等比数列的前n项和公式,特别地,直接用等比数列的公式求和时,要注意对公比q分q=1和q≠1两种情况进行讨论.

2.倒序相加法:如果一个数列{an},与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和.可采用把正着写和倒着写的两个式子相加,就得到一个常数列的和,进而求出数列的前n项和.

3.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成,此时可把式子Sn=a1+a2+…+an,两边同乘以公比q,两式错位相减整理可得Sn.4.拆项求和法:把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解.

5.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项和变成首尾若干少数项之和,常用的技巧有:6.分组求和:在求数列的前n项和时,如果一个数列的项是正负交错,或周期数列求和,可以将相邻的两项或几项合并,(周期数列先求一个周期的和),再利用其它相关方法进行求和.

考点训练

1.(2009·启东模拟)设f(n)=2+24+27+210+…+23n+1

(n∈N),则f(n)等于()

A.(8n-1)

B.(8n+1-1)

C.(8n+3-1)

D.(8n+4-1)答案:B答案:B3.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3),则它的前100项之和S100等于()

A.200 B.-200 C.400 D.-400解析:S100=1-5+9-13+…-397=-4×50=-200.答案:B答案：B解读高考第二关热点关

题型一等差、等比的混合问题

例1(1)求和

(2)已知数列{an}是首项为a1=4,公比为q的等比数列,Sn是前n项和且4a1,a5,-2a3成等差数列.

①求公比q;②设An=S1+S2+…+Sn,求An.

点评:根据和的特点,若一个数列的通项公式是等差+等比或等比+等比的类型,求和时把数列的各项拆成若干部分,再利用等差、等比数列的通项公式来求和.变式1:已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+,p,q为常数)且x1,x4,x5成等差数列.

(1)求p、q的值;

(2)求数列{xn}的前n项和Sn.

解:(1)由x1=3,得2p+q=3①又x1,x4,x5成等差数列,∴2x4=x1+x5,即2(24p+4q)=3+(25p+5q)②,由①②联立,得p=1,q=1.

(2)由(1)知xn=2n+n

∴Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+3+…+n)

=2n+1-2+

题型二错位相减法

例2(2009·福建福州八中模拟)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且2an+1=an+2+an(n∈N+),数列{bn}的前n项和为Sn,其中b1=-,bn+1=-Sn,(n∈N+).

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)若,求Tn的表达式.点评:对于等差×等比的类型求前n项和时,主要应用错位相减,由于此题{bn}为分段的形式,

故求数列{}的前n项和时应分情况讨论.

变式2:已知数列{an}的前n项和为Sn,S1=1,an+1=2Sn,

(n∈N+),(1)求数列{an}的通项an

;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

解:(1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴

3.

又S1=a1=1,∴数列{Sn}是首项为1,公比为3的等比数列,∴Sn=

3n-1(n∈N+)

当n≥2时,an=2Sn-1=2×3n-2

∴

(2)Tn=a1+2a2+…+nan

当n=1时,T1=1当n≥2时,Tn=1+4×30+6×31+…+2n·3n-2

3Tn=3+4×31+6×32+…+2n·3n-1

-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1

=-1+(1-2n)·3n-1

∴Tn=+(n-)·3n-1(n≥2)

又当n=1时,+(1-)·31-1=1也满足上式

∴Tn=+(n-)·3n-1(n∈N+).题型三裂项相消法

例3已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,nan+1=Sn+n(n+1)

(1)求an;(2)设{}的前n项和为Tn,求证Tn<1.解:(1)∵nan+1=Sn+n(n+1)

∴当n≥2时,(n-1)an=Sn-1+(n-1)n

∴nan+1=nan+2n,即an+1-an=2

又当n=1时,a2=S1+2=4,∴a2-a1=2,

故数列{an}是以a1=2为首项,以2为公差的等差数列,

∴an=2+(n-1)×2=2n.

点评:如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法,特别地,当数列为形如

{}且{an}为等差数列时,可用此法.注意使用

裂项相消时一定要找好规律,看清消去了哪些项,保留了哪些项,实际上,裂项相消前后对称,即前后剩余的项一样多,在解题时要抓住这一特点.题型四倒序相加点评:如果一个数列的与首末两端“距离”相等的两项之和均等于首末两项之和,可利用倒序相加的方法求其前n项和.变式4:已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<对所有n∈N+都成立的最小正整数m.解:(1)依题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0),则f′(x)=2ax+b.由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.又由点(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上,得Sn=3n2-2n.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;

当n=1时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5.

所以an=6n-5(n∈N+).笑对高考第三关技巧关

数列的求和问题是高考对数列考查的另一个重点内容,一方面,可以考查对有关公式的理解和记忆,另一方面,还可以考查渗透其中的数学思想方法,在历年的高考试题中,都有数列的求和问题.

例1已知数列{an}满足an=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1),其前n项和为Sn,则:Sn=________.点评:如果一个数列中的各项正负相间,尤其是{|an|}为等差数列时,(或者一个数列为周期数列),求和时可利用这种分组求和的方法.例2已知在等比数列{an},a1=1,Sn是其前n项的和,

且ak+1,ak+3,ak+2(k∈N+)成等差数列.

(1)求数列{an}的公比;(2)试判断Sk+1,Sk+3,Sk+2(k∈N)是否也构成等差数列,说明理由.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则ak+1=qk

ak+3=qk+2,ak+2=qk+1,由题意得

2qk+2=qk+qk+1

∵qk≠0,∴2q2-q-1=0得q=1或q=-

(2)当q=1时,Sk+1=(k+1)a1=k+1,

Sk+3=k+3,Sk+2=k+2

显然Sk+1+Sk+2=2k+3≠2Sk+3

故Sk+1,Sk+3,Sk+2不能构成等差数列;点评:本题考查了等差、等比数列的基本问题,在利用等比数列的前n项和公式时,需要分公比q=1或q≠1两种情况讨论,这是由等比数列的前n项和公式决定的.一般地,在应用带有限制条件的公式时要小心,要根据题目条件确定是否需要分类讨论.

考向精测

答案:A课时作业(三十七)一般数列求前n项和

一、选择题1.(2009·成都市第一次诊断性检测)已知等差数列{an}前n项和为Sn(n∈N+),且S3=-3,S7=7,那么公差d等于()

A.1

B.2

C.3

D.4解析:由S3=-3,得a2=-1,由S7=7得a4=1,又a4-a2=2d,∴d=1.答案:A答案：B答案：C4.数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和Sn>1020,那么n的最小值是()

A.7

B.8

C.9

D.10解析:an=1+2+22+…+2n-1=2n-1.

Sn=2n+1-2-n.逐个检验,可得答案为D.答案:D5.已知某数列前2n项和为(2n)3,且前n个偶数项的和为n2(4n+3),则它的前n个奇数项的和为()

A.-3n2(n+1)

B.n2(4n-3)

C.-3n2

D.n3解析:由(2n)3-n2(4n+3)=n2(4n-3).答案:B6.已知数列{an}中,an=n(2n-1),其前n项和为Sn,则

Sn+n(n+1)等于()

A.n·2n+1-2n

B.(n-1)·2n+1+2n

C.n·2n+1-2

D.(n-1)·2n+1+2解析:∵an=n×2n-n

∴Sn=2+2×22+…+n×2n-

∴设S=2+2×22+…+n×2n-

则:2S=22+2×23+…+(n-1)×2n+n·2n+1

∴-S=(2+22+…+2n)-n·2n+1

=-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2

∴S=(n-1)·2n+1+2,故Sn+=(n-1)

·2n+1+2.答案:D二、填空题答案：108.对于正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{}的前n项和公式为________.解析:y=xn-xn+1,y′=nxn-1-(n+1)xn

=xn-1,∴y′|x=2=-(n+2)·2n-1,∴曲线

在x=2处即在点(2,-2n)处的切线方程为:

y+2n=-(n+2)·2n-1(x-2),令x=0,得y=an=2(n+2)·2n-1-2n=2n(n+1),∴=2n

∴数列{}的前n项和Sn==2n+1-2.答案:Sn=2n+1-2答案:4018三、解答题

11.设数列{an}的前n项和Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=

b1,b2(a2-a1)=b1.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)由Sn=2n2,得a1=S1=2

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2

又当n=1时,4n-2=2,∴an=4n-2又b1=a1=2,b2(a2-a1)=b1

∴