第3章 三视图与表面展开图（单元测试）（解析版）

班级________姓名________学号________分数________第3章三视图与表面展开图注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·浙江湖州·统考中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．【详解】解：∵主视图和左视图是长方形，∴几何体是柱体，∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．2．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）一个圆锥的底面直径是6cm，母线长5cm，则其侧面展开图的圆心角为（

）A．90° B．108° C．120° D．216°【答案】D【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数．根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，列式计算即可．【详解】解：由题意，得：，∴，故选D．3．（2023下·浙江杭州·九年级校联考期中）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【详解】解：从俯视图中可以看出最底层小正方体有3个，从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，所以此几何体共有四个正方体．故选B．【点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．4．（2023·浙江嘉兴·校考一模）从一块半径是4m的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）A． B．2m C．4m D．【答案】D【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式，得到，解得，然后利用勾股定理计算圆锥的高．【分析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，解得所以圆锥的高．故选：D．【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，勾股定理，解答此题的关键是求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少．5．（2022下·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，从一块半径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的半径是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，过点O作于H．想办法求出圆锥的母线长即的长，进而求出底面圆半径即可解决问题．【详解】解：连接，过点O作于H．∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴圆锥底面圆的周长，∴圆锥底面圆的半径为．故选：A．【点睛】本题考查圆锥的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理和含度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．（2023下·安徽淮北·九年级淮北一中校联考阶段练习）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】首先得到是等腰直角三角形，进而得到，然后由勾股定理求出，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可．【详解】∵在矩形中，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长∴设圆锥的底面圆的半径为r∴，∴解得．故选：B．【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆锥的底面圆周长和扇形的弧长的关系等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．7．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】根据题意画出图形，分别求得直线的解析式，进而即可求解．【详解】解：如图所示，∵，，，设直线的解析式为：，直线的解析式为：，∴解得：，∴，中，当时，，则,中，当时，，则∴，故选：B．【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．8．（2022·浙江金华·校联考一模）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．【详解】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．∵点B是母线PA的中点，，∴，∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，又∵圆锥底面半径为1，∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即，扇形的半径=圆锥的母线=PA=4，由弧长公式可得：∴扇形的圆心角，在Rt△APB中，由勾股定理可得：，所以蚂蚁爬行的最短路程为，故选：C．【点睛】.本题考查平面展开--最短路径问题、圆的周长计算公式、弧长计算公式，勾股定理等知识，解题的关键是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形．9．（2021·浙江宁波·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，若把△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（

）A．（+3）π B．π C．2π D．（2+3）π【答案】B【详解】根据所得几何体的表面积为两个圆锥侧面积的和进行求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，∴AB＝＝2，设AB边上的高为h，则×2h＝×1×，解得：h＝，∴所得两个圆锥底面半径为．∴几何体的表面积＝×2π××1+×2π××＝．故选：B．【点睛】本题主要考查了求圆锥的表面积，勾股定理，三角形面积公式，正确理解题意得知旋转后的图形是两个圆锥是解题的关键．10．（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．【详解】解：根据题意，∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，则，∴，∴，由的长为半径的扇形的弧长为：∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为∴其底面的面积为由的长为半径的扇形的弧长为：∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为∴其底面的面积为∴两者的面积和∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值；故选：D．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）11．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）若圆锥的母线长为，高为，则侧面积为．【答案】【分析】先由勾股定理求出圆锥底面的半径，再根根据圆锥侧面积=×底面周长×母线长计算．本题考查圆锥的相关计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积公式．【详解】解：由题意得：圆锥的底面半径为，圆锥侧面积=．故答案为：．12．（2023·浙江·模拟预测）用半径为r的圆形铁皮，做成n个相同圆锥的侧面(不浪费材料，不计接缝处的材料损耗)，则每个圆锥的底面半径为．【答案】【分析】先求得圆形铁皮的周长，除以即为圆锥容器的侧面展开图的弧长，除以2π就是所求的圆锥容器的底面半径．【详解】解：∵半径为的圆形铁皮，∴圆形铁皮的周长为，∴圆锥容器的侧面展开图的弧长为∴每个圆锥容器的底面半径为故答案为：．【点睛】题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长．13．（2023·浙江宁波·校考三模）已知圆锥的底面半径和母线的长分别是一元二次方程的两个根，则圆锥的侧面积为．【答案】【分析】设圆锥底面半径为r，母线长为h，根据圆锥的侧面积计算公式可得：圆锥的侧面积，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．【详解】解：设圆锥底面半径为r，母线长为h，∵圆锥的侧面积，圆锥的底面半径和母线的长分别是一元二次方程的两个根，∴，∴圆锥的侧面积，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积计算公式，难度不大．14．（2023·浙江台州·统考一模）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为（取）．【答案】【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．【详解】连接，过作于，由题意可知，∴∵圆锥底面周长为．∴，解得，∵,∴∴小山包的高为．故答案为：．【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．15．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．【答案】10【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据，求出OM的长度，证明，得出，，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度．【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，由题意可知，点O是AB的中点，∵，∴点H是CD的中点，∵，∴，∴，又∵由题意可知：，∴，解得，∴点O、M之间的距离等于，∵BI⊥OJ，∴，∵由题意可知：，又∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴四边形OHDJ是平行四边形，∴，∵，∴，，，∵在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴叶片外端离地面的最大高度等于，故答案为：10，．【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．16．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．

（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为（即）位置时，晷针与晷面的夹角为°．（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式．【答案】【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；（2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可．【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，∴当水平式日晷放在纬度为（即）位置时，晷针与晷面的夹角为；故答案为：；（2）过点作于点，如图所示：

则，∴，根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，∴，∴，∴，∴，根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此，∵，

∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投影得出．三、解答题（8小题，共66分）17．（2022上·陕西榆林·九年级校考期末）从棱长为的正方体的一角，挖去一个棱长为的小正方体，得到如图所示的几何体，请画出该几何体的三视图．【答案】见解析【分析】根据三视图的定义，即可．【详解】解：所画三视图如图所示：【点睛】本题考查三视图的知识，解题的关键是掌握三视图的性质．18．（2021上·江苏盐城·七年级统考期末）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示.(1)请画出这个几何体的三视图.(2)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体.(3)如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？【答案】(1)画图见解析；(2)4；(3)32【分析】（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；（2）俯视图和左视图不变，构成图形即可解决问题；（3）求出这个几何体的表面积即可解决问题．【详解】（1）这个几何体有10个立方体构成，三视图如图所示；（2）（2）在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，（个），故最多可再添加4个小正方体，故答案为：4；（3）这个几何体的表面有38个正方形，去了地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆，∴表面积为32，故喷漆面积为32．【点睛】本题考查了三视图的画法，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示，注意涂色面积指组成几何体的外表面积．19．（2023·安徽宿州·统考一模）下图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．(1)这个几何体的名称为______．(2)求该几何体的左视图中的值．【答案】(1)正三棱柱(2)【分析】（1）根据俯视图为正三角形和棱柱的概念解答即可；（2）由条件可知所求的的值是等边三角形的高，据此求解即可．【详解】（1）这个几何体的名称为正三棱柱；故答案为正三棱柱．（2）如图，过点作于．∵是正三角形，∴，∴，∴，∴左视图中的值为．【点睛】本题考查了几何体的三视图和等边三角形的相关知识，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．20．（2022上·河南郑州·九年级校考期末）小华想利用太阳光测量楼的高，他带着尺子来到楼下，发现地面和对面斜坡（坡角为45°）上都有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：先测得在此时刻1.2m高的物体垂直于地面放置时，影长是1m；楼落在地面上的影长，落在斜坡上的影长，请你帮小华求出楼的高．【答案】【分析】过点作于点，作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再根据“测得在此时刻高的物体垂直于地面放置时，影长是”可求出的长，然后根据即可得．【详解】解：如图，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，，，，，，，，测得在此时刻高的物体垂直于地面放置时，影长是，，即，解得，则，答：楼的高为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．21．（2021上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子的示意图；(2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．【答案】(1)见解析(2)旗杆的影子落在墙上的长度为【分析】（1）连接，过点作的平行线即可；（2）过作于，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．【详解】（1）解：如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成的影子．（2）过作于，设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：，∴，又∵，，，∴，解得：，答：旗杆的影子落在墙上的长度为米．【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形．22．（2023·浙江台州·统考二模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．

(1)请确定a，c的值．(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．(3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）求得时，，再利用正切函数即可求解；（3）先求得时，函数的最大值和最小值，再相似比即可求解．【详解】（1）解：由题意可知，代入函数解析式得，把，代入函数解析式得，即，解得．（2）解：由（1）得函数解析式为，把代入得，则．（3）解：∵，∴当时，y取得最小值，，当时，y取得最大值，，

∵旗杆与直杆的长度比为，∴，∴m的取值范围为，即．【点睛】本题考查了二次函数的应用，正切函数的定义，相似比的意义，用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．23．（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，，，．(1)BD的长为______．(2)如图2，当时．①求的度数；（参考数据：，，，）②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．【答案】(1)250cm(2)①35°；②【分析】（1）根据题意可得，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得，代入数据求解即可；（2）①过点作，根据，可得，根据，，即可求解；②根据题意可知，则，根据求得，根据勾股定理可得