人教A数学必修二教案2.3.3 直线与平面垂直的性质

2.3.3直线与平面垂直的性质

【教学目标】

（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力.，使他们在直.观感知的基础上进一步学会证明.

（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.

【教学重难点】

重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

难点：直线和平面垂直的性质.定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

【教学过程】

（-）复习引入

师：判断直线和平面垂直的方法有几种？

师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？

师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直?

判断下列命题是否正确:

1、在平.面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

2、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

3、垂直于同一平面的两直线互相平行。

4、垂直于同一直线的两平面互相平行。

师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直,

则其应具备的性质是什么？

（二）创设情景

如图，长方体ABCD—A'B'CD'中，棱AA'、BB'、C

C'、DD'所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位置

关系？

（三）讲解新课

例1已知：a±a,b±ao求证：b〃a

师：此问题是在a_La,b_La的条件下，研究a和b是否平

行，若从正面去证明1）〃2,则一较困难。而利用反证法来完成此题,

相对较为容易，但难在辅助线b，的作出，这也是立体几何开始的这

部分较难的一个证明.在老师的知道下，学生尝试一证明，稍后教师指

正.

2

生:证明:假定b不平行于a,设aCh=O,b，是经过点0的两直线a平行的直线.

•/a〃b',a_La,:.b'_L<z

即经过同一点0的两直线bb都与a垂直,这是不可能的，因此b〃a.

有了上述证明，师生可共同得到结论.：

直线和平面,垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行，也可简记为线面

垂直，线线平行.

利用三种形式去描述它

例2.已知/La,ILp,求证W/4

证明：设/a=A,/P-B

在a内过点A取两条直线a和b

Belu7且5e0

4与y相交，设Ay=c

I±a:.l±a,同理/_Lc

在平面/中：/J_a,/_Lc

allc又acz/3,cu。

all(5,同理力//月

又ab-AallP

下列命题中错误的是(C)

A、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。

B、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

C、若一直线垂直于一个平面的--条垂线，则此直线必平行于这个平面

D、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。

(四)课堂检测

课本与1页：1、2.

拓展练习：设直线a,b分别在正方体ABCD—A'B'C'D'中两个不同的平面内,

欲使b〃&a、b应满足什么条件？

分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a、b满足的条件。

解：a、b满足下面条件中的任何一个“都能使b〃a

(1)a、b同垂直于正方体的一个面

(2)a、b分别在正方体两个相对的面内且共面。

(3)a、b平行于同一条棱。

(4)E、F、G、H分别为B'C'、CC'、AA'、AD的中点，

3

EF所在直线为a,GH所在直线为b,等等。

(五)课堂小结

本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法

有两种：直接证法和间接证法。直接证法长依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何知识；用直接法

证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法。关于直线与平面垂直的性质定理的

证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时应注意引导学生理解反证法的反设、归谬，

进而得到要证的结论。

【板书设计】

一、直线和平面垂直的性质定理及其推论

二、例题

例1

例2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

2.3.3直线与平面垂直的性质

课前预习学案

一、预习目标：通过对图形的观察，知道直线于平面垂直的性质

二、预习内容：

1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？

2、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？

3、判断题(判断下列命题是否正确)

(1)、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

(2)、.在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

(3)、垂直于同一平面的两直线互相平行。

(4)、垂直于同一直线的两平面互相平行。

4、若直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

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一、学习目标：

（1）明确直线与平面垂直的性质定理。

（2）利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。

学习重点：直线和平面垂直.的性质定理和推论的内容和简单应用。

学习难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

二、学习过程

探究一、直线与平面垂直的性质

1、如图，长方体ABCD—A'B'CD'中，棱AA'、BB'、CC'、

C、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面

D、若.平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。（四）课堂检测

1、课本g］页：1、2.

2、设直线a,b分别在正方体ABCD—A'B'CD'中两个不同的平面内，

欲使b〃&a、b应满足什么条件？

$果后巩固练习与提高

1.若。,仇。表示直线，a表示平面，下列条件中，能使£的是（）

（A）aA.b,aA.c,baa,caa（B）aA.b,b//a

（C）ab=A,bua,a工b（D）a1/b,bLa

2.已知/与加是两条不同的直线，若直线/_L平面a,①若直线加_L/,则加〃②若7〃，夕，则

mHI；③若/nua,则加_L/；®m//1,则加_La。上述判断正确的是（）

（A）①②③（B）②③④（C）①③④（。）②④

3.下列关于直线与平面。，夕的命题中，真命题是（)

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(A)若/u/且a_L夕，则/_La.(B)若I工(3豆aH/3,则/_La

(C)若/_L夕且a_L尸，则/〃夕(D)a4=m且/〃机，则〃/a

4.在直四棱柱ABC。—中，当底面四边形ABC。满足条件.时，有AC工BiR

(注：填上你认为正确的一种条件即可，，不必考虑所有可能的情况)

5.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出以下命题:

①若PA_L6C,PB±AC,则"是AA8C的垂心

②若尸4,PB,尸C两两互相垂直，则〃是八43c的垂心

③若NABC=90,H是4c的中点，则/%=P3=PC

④若PA=PB=PC,则”是AABC的外心

其中正确命题的命题是

6如图，直三棱柱ABC-ABJG中，NACB=90,AC=侧面的

两条对角线交于点。，B|G的中点为M,

求证：CD_L平面瓦加

参考答案

1D2B3B4AC±BD1①②③④

6证明：连结4C,•••乙4cB=9(7,二BC_L』C,在直三棱柱45c-4片g中

CgJLjC,.平面＜74，•/^4=1,AC=1

...4C=JL...4C=BC,是侧面440/的两条对角

线的交点，,少是43与的中点，.,.CZ)J_EQ,连结

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