2023-2024学年福建省福州市鼓楼区三牧中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区三牧中学九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在平面直角坐标系中，点（―2023,2024）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.化简的结果是（）

A.2V-3B.3C.2AT2D.2

3.下列式子运算结果为2a的是（）

A.a-aB.2+aC.a+a

4.如图，直线a〃b,zl=40。,则42=（）

A.30°

B.40°

C.50°

D.60°

5.方程%2一%=0的解是（）

A.x=0B.%=1

C.Xj=0,x2=1D.X]=0,x2=-1

6.下列函数中，y随x增大而增大的是()

11

A.y=—xB.y=—x+5C.y=-xD.y=-x2(x<0)

7.关于函数丫=一2尤一4的图象，下列结论错误的是（）

A.过第二、三、四象限B.与y轴的交点坐标为（0,-4）

C.经过点（1,2）D.可由函数y=-2x的图象平移得到

8.已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的边长等于（）

A.10cmB.8cmC.6cmD.5cm

9.在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的

是（）

A.yiB.y2C.y3D.y4

10.△AB。满足4。=3,BO=C，以AB为边作正方形ABCD,使点C和点。在直线AB的两

侧，则线段。。的最大值为（）

A.2/3+3B.3V-2+CC.3+CD.3+V-6

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.因式分解：X2-9=.

12.抛物线y=2x2+4x-1顶点坐标是.

13.若一元二次方程/—4x—3=0的两个根是X],x2＞则％「刀2的值是•

14.若x=2是关于x的方程ax+b=3的解，则代数式一号一。的值是.

15.已知正方形ABC。边长为2,E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠,

使C点恰好落在对角线BD上，贝UBE的长等于.

16.若点（p,0）,（q,0）是二次函数y=x2+bx+c与x轴正半轴的两个交点，且满足：在p,q,

-2这三个数中，有一个数可以作为另两个数的平均数，也有一个数可以作为另两个数之积的

平方根，则该二次函数顶点坐标为.

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.解方程：击一七=1-

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.（本小题8.0分）

计算：（-1）2023.

19.（本小题8.0分）

2x+1<3①

解不等式组:

9平②.

20.（本小题8.0分）

如图，已知/40C=乙BOC,点P在OC上,PD1OA,PE1OB,垂足分别为。，E.求证:0D=OE.

21.（本小题8.0分）

我国古典数学文献西删算法统宗.六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放,

二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当翻译成现代

文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计.甲对乙说：“我得到你的九只

羊，我的羊就比你多一倍.”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多.”求甲、

乙各有多少只羊？

22.（本小题10.0分）

综合与实践

【问题情境】数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活

动.

【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单

位：cm）,宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

12345678910

芒果树叶的长宽比3.83.73.53.43.84.03.64.03.64.0

荔枝树叶的长宽比2.02.02.02.41.81.91.82.01.31.9

【实践探究】分析数据如下:

平均数中位数众数方差

芒果树叶的长宽比3.74m4.00.0424

荔枝树叶的长宽比1.912.0n0.0669

【问题解决】

(1)上述表格中：m=,n=.

(2)通过数据，同学们总结出了一些结论：

①4同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶”.(填

“小”或者“大”)

②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽

的倍

(3)现有一片长11cm,宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？

并给出你的理由.

23.(本小题10.0分)

如图，四边形ABC。是正方形，点E,尸分别在8C,4B上，点”在8c的延长线上，且4F=BE=

CH.

(1)尺规作图：作出点M(与点D不重合)，使其满足MF=且NFMH=90。(要求：只保留作

图痕迹，不写作法和证明)；

(2)连接(1)中的EM,猜想并写出四边形AFME是怎样的特殊四边形，并证明.

24.(本小题12.0分)

如图1,在△ABC中，ZC=90°,AC=BC,AC平分NBAC交BC于。.

(1)求SAAB。：的值；

(2)若SMBD=2+/攵，求CD的长度；

(3)如图2,/.DAE=90°,AD=AE,BE交AC于点M,判断BD和CM的数量关系并证明.

E

图1融

25.(本小题14.0分)

已知二次函数y=ax24-(1-4a)x+3a-l(a＞》与x轴交于4(匕,0)、8(次,0)两点(4在B的

左侧)，与y轴交于点C,顶点为点。.

(1)证明：函数图象与x轴正半轴有两个交点；

(2)无论a取何值，函数经过某(儿)个定点.若定点与0、C两点构成的三角形中，存在等腰三角

形，求此时a的值；

(3)设直线BC与直线力。交于点M(?n,7i),求m,n满足的数量关系.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：一2023<0,2024>0,

.•.点(-2023,2024)在第二象限.

故选:B.

根据第二象限内点的坐标特点解答即可.

本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：V12=V4X3=V22X3=2y/~3>

故选：A.

将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2,易知化简结果为2，？.

本题考查了二次根式的化筒，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简.

3.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键.

直接利用同底数幕的乘除运算法则以及合并同类项法则分别判断得出答案.

【解答】

解：4、a-a=a2,故此选项不合题意；

B、2+a,无法计算，故此选项不合题意；

C、a+a=2a,符合题意；

D、a3-T-a=a2,故此选项不合题意；

故选：C.

4.【答案】B

【解析】解：a//b,zl=40°)

Z.2=Z1=40°.

故选:B.

利用平行线的性质可得结论.

本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：x2-x=0,

x(x-1)=0>

得x=0或x-1=0,

X]=0,%2=1,

故选：C.

先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：由题意，•.•对于y=kx+b,当k>0时，y随x增大而增大；当k<0时，y随x增大而

减小，

••・4、B不符合题意，C符合题意.

对于。选项，y=|x2,当x<0时，y随x增大而减小，

。不符合题意.

故选：C.

依据题意，分别根据一次函数与二次函数的图象与性质进行判断可以得解.

本题主要考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关

键.

7.【答案】C

【解析】解：A.k=-2<0,b=-4<0,.•.图象经过第二、三、四象限，故结论正确，不合

题意；

8、,.,当x=0时，y=-4,.•.图象与y轴的交点坐标为(0,-4),故结论正确，不合题意；

C、：当x=l时，y=-2-4=-6。2,.•.图象不经过点(1,2),故结论错误，符合题意；

D,函数y=-2x的图象向下平移4个单位得到y=-2%-4,故结论正确，不合题意.

故选：C.

根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b(k40),当k<0,£><0时函数图象经

过二、三、四象限是解答此题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：如图：菱形4BCD中BD=8cm,AC=6cm,

11

・・.OD=-BD=4cm,OA=-AC=3cm,

在直角三角形4。。中ZD=VOD2+AO2=742+32=5cm.

故选：D.

根据菱形的性质求得OD，。4的长，再根据勾股定理求得边长4。的长.

此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用.

9.【答案】A

【解析】解：由图象可知:

抛物线yi的顶点为(-2,-2),与y轴的交点为(0,1),根据待定系数法求得yi==(X+2)2-2=

32

-X+5

43X

抛物线丫2的顶点为(0,-1)，与X轴的一个交点为(1,0),根据待定系数法求得y2=/—1；

抛物线为的顶点为(1,1)，与y轴的交点为(0,2),根据待定系数法求得丫3=(X-I)2+1=x2-2X+

2；

抛物线的顶点为(1，—3)，与y轴的交点为(0,-1)，根据待定系数法求得以=2(x-1)2-3=

2x2-4x-l；

综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是为

故选：A.

由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定.

本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐

标求得解析式是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：将40围绕点4逆时针旋转90。得到AQ,连接OQ、AQ.OD,

・・・Z.OAB+Z.QAB=90°,Z.QAB+Z.DAQ=90°,

•••Z.OAB=Z-QAD,

vAO—AQ,AB—AD,

•••△408w/k4QD(S4S),

:.DQ=OB=3,

在等腰40。中，OQ=fOA=R,

在^ODQ中，OD<QD+OQ,

故当点D、Q、。共线时，OD最大，

则0。=OQ+DQ=3+y/~6,

故选：D.

证明aAOB三△AQD(SAS),当点。、Q、。共线时，OD最大,即可求解.

本题为正方形综合题，涉及到三角形全等、图形的旋转，确定点£>、Q、。共线时，0。最大是解题

的关键.

11.【答案】0+3)(%-3)

【解析】解：原式=(x+3)(%—3),

故答案为：(x+3)(x-3).

【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键.

原式利用平方差公式分解即可.

12.【答案】(一1,一3)

【解析】解：「y=2炉+4x—1=2(x+1)2—3,

••・抛物线y=2x2+4x-1的顶点坐标是(一1,一3),

故答案为:(―1,—3).

将抛物线解析式配方成顶点式即可得出答案.

本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练将抛物线的一般式配方成顶点式.

13.【答案】-3

【解析】解：一元二次方程/+4x-3=0的两根为%i，x2,

**•%1,%2=—3•

故答案为：-3.

根据根与系数的关系即可得出-亚=-3,此题得解.

本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积为:是解题的关键.

14.【答案】一：

【解析】解：将％=2代入原方程得：2a+b=3,

-=-1(2a+b)=-1x3=-1.

故答案为：-|.

将x=2代入原方程，可得出2a+b=3,再将其代入-3-&=一2(2。+。)中，即可求出结论.

本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关

键.

15.【答案】4-27-2

【解析】【分析】

本题考查了翻折变换(折叠问题)，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质

是解题的关键.

根据正方形的性质得到CO=2,80=2/2,NEB。=45。，根据折叠的性质得到DC'=0C=2,

Z.DCE=4C=90。，由等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】

解：•••四边形ABCD是正方形，

•••CD=2,BD=2V_2>乙EBD=45°,

••,将此正方形的一只角OCE沿直线0E折叠，使C点恰好落在对角线8。上，

DC'=DC=2,Z.DCE="=90°,

BC=2^T2-2，zBC'E=90°,

BE=yJ~2BC=4-24，

故答案为：4-2/1.

16.【答案】(|,一令

【解析】解：•.,点(p,0),(q,0)是二次函数y=公+b%+c与％轴正半轴的两个交点,

・•・p>0,q>0,

・・.一2是pq的平方根，

・・・pq=4①，

对称轴为直线》=皇>0,p,q,-2这三个数中，有一个数可以作为另两个数的平均数，

•••亨=q②或竽=P③，

由②得p=2(q+1),

把p=2(q+1)代入①并整理得：q2+q-2=0

解得qi=1，q2=-2(舍去)，

此时p=4；

同理联立①③得p=l,q=4,

・••二次函数y=%2+fax+c与不轴正半轴的两个交点为(1,0)和(4,0),

把(1,0)和(4,0)代入y=%2+hx4-c得：

(1+b+c=0

ll4+4b+c=0'

解得

二二次函数解析式为y=x2—5%+4=(x—|)2-

••・顶点坐标为(|,一务

故答案为：(|,一务

根据题意可以得出pq=4①，子=q②或竽=p③，联立①②或①③求出p，q的值，再用待

定系数法求出二次函数解析式，再化为顶点式即可.

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，关键是求出抛物

线与X轴的交点.

17.【答案】解：去分母得，%4-2-4=%2-4,

移项、合并同类项得，X2-X-2=0,

解得—2,x2=—1)

经检验x=2是增根，舍去；x=-1是原方程的根，

所以原方程的根是x=-1.

【解析】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、

系数化为1是解题的关键，注意验根.

根据解分式方程的步骤进行计算即可.

18.【答案】解：(，至一1)°+(I)-1-(-1)2023

=1+3+1

=5.

【解析】先计算零次塞、负整数指数幕和乘方，再计算加减.

此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算.

19.【答案】解：解不等式①，得x<l.

解不等式②，得％2-3.

所以原不等式组的解集为-3<%<1.

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据“大小小大取中间”原则求出不等式组的解集即可.

本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键.

20.【答案】证明：丫P。_L。4PE1OB,

・・・Z.PDO=Z.PEO=90°,

在△POD和aPOE中，

ZPOD=Z.POE

乙PDO=乙PEO=90°,

0P=0P

•••△P0Dw4P0E(44S),

・・.0D=0E.

【解析】证明△POD三△POE,根据全等三角形的性质证明结论.

本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

21.【答案】解：设甲有羊x只，乙有羊y只，

由题意得:仁贽/)，

解得:仁那

答：甲有羊63只，乙有羊45只.

【解析】设甲有羊支只，乙有羊y只，根据甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍."

乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多.”列出二元一次方程组，解方程组即可.

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键.

22.【答案】3.752.0小2.0

【解析】解：(1)把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8,

10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0,故n=2.0.

故答案为：3.75；2.0；

(2),••从树叶的长宽比的方差来比较，0.0424<0.0669,

二芒果树叶的形状差别比荔枝树叶差别小，

•.•荔枝树叶的长宽比的平均数1.91,中位数是1.95,众数是2.0,

••・荔枝树叶的长约为宽的2.0倍.

故答案为：小；2.0；

⑶•••11+5.6x1.96,

.♦.这片树叶更可能是荔枝树叶.

(1)根据中位数和众数的定义解答即可；

(2)根据题目给出的数据判断即可；

(3)根据树叶的长宽比判断即可.

本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键.

23.【答案】解：(1)如图：分别以F,H为圆心，以FC的长为半径作弧，两弧相交于点M,

点M即为所求；

(2)四边形4FME是平行四边形；

证明：连接FH,

•••四边形ABCD是正方形，

Z.DAB=Z.B=LBCD=Z.ADC=90°,AB=BC=CD=DA,

•：AF=BE=CH,

•••△ABE^LDAF。DCH(SAS),

DF=AE=DH,乙H=LAEB,乙ADF=KCDH,

AE//DH,AFDH=90°,

・•・乙DFH=乙DHF=45°,

•・・MF=MH,4FMH=90。,

・•・乙MFH=Z-FHM=45°,

・・・乙DFM=乙DHM=4M=90°,

，四边形DFMH为矩形，

•・,MF=DH,MF“DH,

:,AEI〃M,AE=FM,

，四边形4FME为平行四边形.

【解析】(1)根据正方形的性质作图；

(2)根据矩形和平行四边形的判定定理进行证明.

本题考查了复杂作图，掌握矩形的判定定理和性质及平行四边形的判定定理是解题的关键.

24.【答案】解:(1)在中,

•••"=90。，AC=BC,

・・・48=45。，AB=CAC,

如图1,过点。作于点E,

：•DC1AC,Z-AED=4C=90°,

.・.DE=CD,

11

•,■SAXeD：ShACD=(_-AB-DE)：(-AC-CD)=ABAC=AC-AC=

•1,^A4BD:SAAC。的值为V"2；

(2)设CD=DE=x,

"DE1AB,NB=45°,

.•.△DBE是等腰直角三角形，

:.BE=DE=x,

・・・BD=yT~2xy

・•・AC=BC=CD+BD=x+yl~~2x>

vAD=ADyCD=ED,

：・RtAACD三RtAAED(HL),

・•.AC=AE=%+-\A~2X»

・•・AB=AE+BE=%+%+y/~2x=2%+>J~2x=(2+V-2)x>

,**S“BD=2+V2,

:.^AB-DE=^AB-CD=2+。，

•••：(2+V-2)x-x=2+y/~l,

・•・x=，―2(负值舍去)，

・•・CD的长度为，2;

(3)8。=2cM,

证明：如图2,过点E作EFlAC于点F,

:.2LAFE=Z.CFE=90°,

・・・Z,AEF+Z.EAF=90°,

•・•/,DAE=90°,

・•.Z.EAF+Z.DAC=90°,

:.Z-AEF=4DAC,

在△力EF和△£MC中，

Z-AEF=乙DAC

Z-AFE=£.DCA,

AE=AD

•••△4EFwZk£h4C(7L4S),

­-EF=AC,AF=DC,

-AC=BC,

：,EF=BC,AC-AF=BC-DC.

ACF=BD,

在ABCM和AEFM中，

/.BCM=4EFM

乙BMC=Z.EMF,

BC=EF

•••△BCM=AEFM(AAS),

：.CM=FM=1CF,

CF=2CM,

BD=2CM.

【解析】(1)过点。作DE_LAB于点E,根据角平分线的性质得DE=CD,然后利用三角形的面积

即可解决问题：

(2)设C。=0E=x,由^OBE是等腰直角三角形，得BE=DE=x,所以BD=Mx,得4c=BC=

x+然后证明Rt/iACD三Rt44ED(HL),得4c=4E=x+Cx,然后利用三角形的面积

求出x的值，即可解决问题；

(3)过点E作EF1AC于点F,证明△AEF^^DACHAS),根据全等三角形的性质得EF=AC,AF=

DC,推出CF=8D,再证ABCM三AEFMQL4S),根据全等三角形的性质得CM=FM=；CF,可

得CF=2CM,即8。=2CM.

此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，

角平分线的性质，利用全等三角形的判定和性质是解本题的关键.

25.【答案】(1)证明：由y=