2023-2024学年广东省广州二中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州二中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列运动图标中，属于轴对称图形的是（）

2.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.1,2,2B.1,2C.4,5,6D.1,1,3

3.下列各式中，正确的是（）

A.（a+I）2=a2+1B.（2a）3=6a3

C.J（一铲=4D.y/~76=±4

4.如图，CD是ABC的中线，Z.ACB=90°,AC=8,BC=6,则CD的

长是（）

A.2.5

B.3

C.4

D.5

5.甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成

绩的平均数是8环，方差是15下列说法中不一定正确的是（）

A.甲、乙的总环数相同B,甲的成绩比乙的成绩稳定

C.乙的成绩比甲的成绩波动大D.甲、乙成绩的众数相同

6.如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积

为（）

A.。

B.2

C.20

D.6

7.数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其

中正确的是（）

A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角是否都为直角D.测量三个角是否为直角

8.如图，两函数月=跖+b和丫2=心刀的图象相交于点（一1，-2）,则关于x的

不等式（/q-卜2汝+匕<0的解集为（）

A.x>—2

B.x<—1

C.x>—1

D.x<—2

9.如图，菱形4BC。的对角线相交于点。，AC=12,BD=16,点P为边BC上一点，

且P不与点8、C重合.过P作PE1AC于E,「尸，3。于尸，连接EF,贝归F的最小值

等于（）

A.3.6B.4.8C.5D.6

10.平面直角坐标系xOy中，已知点P（m,3n2-9）,且实数m,n满足m-/+4=0,则点P到原点0的距离

的最小值为（）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.代数式有意义时，x应满足的条件是.

12.一次函数y=（m-3）%+5的函数值y随生的增大而增大，则m的取值范围是.

13.如图，在。4BCD中，AD=10,对角线AC与BD相交于点。，AC+BD=22,则ABOC的周长为

14.计算：2/7-+「）

15.如图，点P是四边形力BCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,乙4PB=

乙CPD,E,F,G,H分别为边4B,BC,CD,ZM的中点，则四边形EFGH的

形状为.

16.一次函数yi=kx+b（k40,k、b是常数）与y2=mx+3（m40,m是常数）的图象交于点£>（1,2）,则下列

结论：

①关于x的方程kx+b=mx+3的解为x=1；

②一次函数丫2=mx+3（m*0）图象上任意不同两点4（%，%）和满足：（%-^）（ya-九）<。；

③若仅1一丫21=匕-3伯>3）,则x=0；

④若b<3,且b片2,则当x>1时，yi>y2；

其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）.

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题4.0分）

解不等式组仁二22二,；，并把解集在数轴上表示出来.

I<XI乙.

-J_____I_____I____I_____I_____I_____I—>

-4-3-2-1012

18.（本小题4.0分）

如图，在。ABCD中，连接BO,E是D4延长线上的点，F是BC延长线上的点，且4E=CF,连接EF交BD于0,

求证：△EOD=AFOB.

19.（本小题6.0分）

已知4=22产钙

m£-2mn+n^md-n^

(1)化简4

(2)若点P(m,n)是直线y=-2x+5与y=x-1的交点，求4的值.

20.(本小题6.0分)

如图，是矩形ABCD的对角线.

(1)尺规作图：作线段BC的垂直平分线EF,交4B,DB,DC分别于E,0,F,(保留作图痕迹，不写作法);

(2)连接BF,若AB=8,CB=4,求FC的长为多少？

21.(本小题8.0分)

某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题:

环数6789

人数152

(1)填空：10名学生的射击成绩的众数是,中位数是.

(2)求这10名学生的平均成绩.

(3)若9环(含9环)以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？

22.(本小题10.0分)

已知A,B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，出发2分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚

到，两人所走路程y(米)与行驶时间4分)之间的关系如图所示，请回答下列问题：

(1)求乙的路程y与行驶时间x之间的函数关系式？

(2)求乙行驶多长时间时，乙在甲前方50米？

23.(本小题10.0分)

如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线小、=%+1与4轴交于点4,直线，2：y=3x-3与4轴交于点B,

与。相交于C点，过x轴上动点E(t,0)作直线b轴分别与直线小％交于P、Q两点•

(1)①请直接写出点4,点B,点C的坐标：A,B,C

②若PQ=2,求t的值;

(2)如图2,若E为线段4B上动点，过点P作直线PF1PQ交直线，2于点F，求当t为何值时，PQ-PF最大,

并求这个最大值.

24.(本小题12.0分)

过正方形4BCC的顶点。作直线DP,点C关于直线DP的对称点为点E,连接4E,直线4E交直线DP于点F.

(1)如图1,若乙CDP=35°,贝Ij/DAF=；

如图请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)1,CO2,EF2,AF2

(3)在DP绕点。转动的过程中，设力F=a,EF=b,请直接用含a,b的式子表示DF的长.

25.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形40CB,/.AOC=60°,4(3,3门)，C(6,0)过点C作CD1x轴交OB于

点。，直线40分别交x轴和y轴于点F和点E,动点N从点尸出发以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动,

设运动时间为t秒.

(1)求直线4。的解析式；

(2)求当t为何值时,SA。AF=2SXOBN；

(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q,使得以4C,N,Q为顶点的四边形是矩形.若存在，

直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A,C,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴

对称图形；

故选：B.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【答案】B

【解析】解：4、"+22^22,不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形；

B、12+(，耳)2=22,符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；

C、42+52力62,不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形；

。、12+124(0,不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形.

故选艮

根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：。2+匕2=。2时，则三角形为直角三角形.

此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2=c2wi，则三角形ABC是直角三角

形.解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方.

3.【答案】C

【解析】解：4(a+1尸=a?+2a+1,故本选项不符合题意；

B.(2a)3=8a3,故本选项不符合题意；

C.J(一4)2=|-4|=4.故本选项符合题意；

D716=4,故本选项不符合题意.

故选：C.

根据完全平方公式，塞的乘方与积的乘方，二次根式的性质进行计算，再根据求出的结果找出选项即可.

本题考查了完全平方公式，幕的乘方与积的乘方和二次根式的性质与化简等知识点，注意：①当a20时,

Va2=a，②当a<0时，Va2=—a，③(a+b)2=a2+2ab+b2.

4.【答案】D

【解析】解：NACB=90。，AC=8,BC=6,

AB=VAC2+BC2=V82+62=10.

•••CO是的中线，

11

CD=/10=5.

故选。.

利用勾股定理列式求出AB,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关

键.

5.【答案】D

【解析】解：•••各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，乙射击成绩的平均数是8环，

.•・甲、乙的总环数相同，故A正确，不符合题意；

・••甲射击成绩的方差是1.1;乙射击成绩的方差是1.5,

•••甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故8,C都正确，不符合题意；

由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故。不一定正确，符合题意；

故选：D.

根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案.

本题考查了平均数、方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离

平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平

均数越小，即波动越小，数据越稳定.

6.【答案】B

【解析】【解答】

解：由题意可得，

大正方形的边长为门=2，歹，小正方形的边长为「，

所以图中阴影部分的面积为：（2，攵一，五）=2,

故选B.

本题考查算术平方根，解答本题的关键是求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答.

7.【答案】D

【解析】解：4、对角线是否相互平分，只能判定是否为平行四边形；

8、两组对边是否分别相等，只能判定是否为平行四边形；

C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；

。、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形.

故选：D.

根据矩形的判定定理分别进行判断即可得出答案.

矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角

线互相平分且相等的四边形是矩形.

此题考查了矩形的判定，用到的知识点是矩形的判定定理，难度简单.

8.【答案】C

【解析】解：r—y2=k[X+b-k2x=（七—k2）x+b<0,

"yi<、2，

由图象知%>-1,

关于x的不等式（七—k2）x+b<0的解集为x>—1.

故选：C.

结合图象知x>-l时，yr<y2>即（七一优）％+6<0，问题得以解决.

本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活掌握数形结合的思想是解决问题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：连接0P,

•••四边形4BCD是菱形，AC=12,BD=16,

.-.AC1BD,BO=^BD=8,OC=^AC=6,

BC=VOB2+OC2=V64+36=10，

•••PE1AC,PF1BD,AC1BD,

二四边形OEPF是矩形，

•••FE=OP,

•.•当OPd.BC时，0P有最小值，

此时$AOBC=10BXOC=^BCXOP,

cc6x8.c

AOP=—=4.8,

•••EF的最小值为4.8,

故选：B.

由菱形的性质可得4c_LBD,B0=初=8,OC=^AC=6,由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF

是矩形，可得EF=OP,OP1BC^,OP有最小值，由面积法可求解.

本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：・・・771-712+4=0,

An2-4=m,

・•・3n2—9=3m+3,

vP(m,3n2—9),

：,P点到原点的距离为J-2+(3几2—9)2=m2+(3m+3)2=V10m24-18m+9=

Jiog+Q+急

•••点p到原点。的距离的最小值为仁=史或，

N1010

故选：D.

由m-*+4=0可得3rI?-9=3m+3,根据点到坐标原点的距离可求解.

本题主要考查勾股定理，两点间的距离，求解3/-9=3zn+3是解题的关键.

11.【答案】x>2

【解析】解：代数式仃=”有意义时，》应满足的条件是x-220,

解得XN2,

x应满足的条件是x>2.

故答案为：x>2.

二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数.

本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：

各个二次根式中的被开方数都必须是非负数.

12.【答案】m>3

【解析】解：根据题意得巾-3>0,

解得？n>3.

故答案为：m>3.

根据一次函数的性质得m-3>0,然后解不等式即可.

本题考查了一次函数的性质：k>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；fc<0,y随x的增大而减小，

函数从左到右下降.由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于

正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

13.【答案】21

【解析】【分析】

本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分，属

于基础题.

根据平行四边形对角线互相平分，求出。C+OB的长，即可解决问题.

【解答】

解：•••四边形力BCD是平行四边形，

AO=OC=BO=OD=-BD,AD=BC=10,

AC+BD-22,

•••OC+BO=11,

•••△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21.

故答案为：21.

14.【答案】yJ-6—2

【解析】解：2#-+

=2\T6->T2X>T3-<2X<2

—2A/-6—6—2

=\/-6-2.

故答案为：yTG-2..

先算乘法，再算加减即可.

本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

15.【答案】菱形

【解析】解：如图，连接AC、BD,

v/-APB=乙CPD,

・・・Z,APB+Z.APD=Z.CPD+4APD,^Z,APC=乙BPD,

在△4PC和△8PD中，/，、格'、\

PA=PBBFC

Z.APC=乙BPD,

PC=PD

・••△/PC三△BPD(SAS),

・•・AC=BD,

・・・E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,£M的中点，

•••EF是△BAC的中位线，EH是ABAC的中位线，GH是AfMC的中位线，

：.EF//AC,EF=^AC,GH//AC,GH=^AC,EH=^BD,

EF//GH,EF=GH,EF=EH,

••.四边形EFGH为菱形，

故答案为：菱形.

连接AC、BD,证明△APC三ABPD,得到AC=BD,根据三角形中位线定理得到EF〃4C,EF=^AC,GH/

/AC,GH=^AC,EH=池,根据菱形的判定定理解答即可.

本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定定理是解题的

关键.

16.【答案】①②③④

【解析】解：①•.,一次函数%=依+b(k片0,k、b是常数)与=mx+3(mH0,?n是常数)的图象交于点

0(1,2),

二关于x的方程kx+b-mx+3的解为％=1,

故①正确；

②vy2=mx+3(m*0,m是常数)的图象过点。(1,2),

•••m<0,

y随x的增大而减小，

xft)(ya-yft)<0,

故②正确；

③lyi-y2\=b-3(b>3),

x=0,

故③正确；

(4)vb<3,且b。2,

.,.当x>1时,yx>y2>

故④正确；

故答案为：①②③④*

①根据一次函数与方程的关系求解；

②根据一次函数的增减性求解；

③根据一次函数与方程的关系求解；

④根据一次函数与不等式的关系求解.

本题考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结

合思想是解题的关键.

17.【答案】解：［:一2‘一咫，

解①得久2-3,

解②得％<1,

所以不等式组的解集为一3<%<1,

用数轴表示为：

_j____I——I_0I——L_>

-4-3-2-1012

【解析】分别解两个不等式得到x>-3和x<1,则利用大小小大中间找确定不等式组的解集为-3<%<1,

然后利用数轴表示其解集.

本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解

集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

18.【答案】证明：♦.•四边形力BCD是平行四边形，

•••AD=BC,ADI/BC,

，Z-ADB=乙CBD,

XvAE=CF,

・•・AE+AD=CF+BC.

・•.ED=FB,

在4EOD^^FOB^P，

'/.ADB=乙CBD

Z.EOD=乙FOB,

DE=FB

.,•△EOD三△FOBQMS).

【解析】由“44S”P!UEAEOD=^FOB.

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

2m+n(rn+n)(m-ri)_2m+n

19.【答案】解：(1)4=

=2

=1

•・,P(m,n)是直线y=-2x+5与y=x-1的交点,

••m=2fn=1,

【解析】本题考查分式化简求值及一次函数图象交点，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式化简.

(1)将分子、分母分解因式，除化为乘，约分即可；

(2)求出m、n的值，代入即可得4的值.

20.【答案】解：(1)如图，EF、DE、BF为所作；

A求EB

(2)•.•四边形4BCD是矩形，

“=90°,CD=AB=8,

•••EF垂直平分80,

•••FB=FD=CD-FC=8-FC,

在RtZiBCF中，FB2=FC2+CB2,

：.(8-FC)2=FC2+42,

解得FC=3.

【解析】(1)利用基本作图，作线段BD的垂直平分线即可；

(2)根据线段垂直平分线的性质得到F8=FD=8—FC,在Rt△BCF中，根据勾股定理即可求出FC.

本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键：(1)熟练掌握基本作图；(2)

根据勾股定理构造方程.

21.【答案】解(1)7环；7环；

(2)由表可知9环的有.2人，

・••这10名学生的平均成绩=6+7x5臂2+9x2=75环，

答：这10名学生的平均成绩为7.5环.

(3)500x^=130人,

答：全年级500名学生中有100名是优秀射手.

【解析】【分析】

本题考查平均数、众数、中位数的意义及求法，理解样本估计总体的统计方法是解题的关键.

(1)根据众数、中位数的意义将10名学生的射击成绩排序后找出第5、6位两个数的平均数即为中位数，出现

次数最多的数是众数.

(2)根据平均数的计算方法进行计算即可，

(3)样本估计总体，用样本中优秀人数所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即

可.

【解答】

解：(1)射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、

6位的数都是7环，因此中位数是7环，

故答案为：7环；7环.

(2)见答案；

(3)见答案.

22.【答案】解：(1)当0SXS2时，设丫=/£》，

把(2,300)代入解析式得，300=2k,

解得k=150,

y=150x；

当X>2时，设丫=?71%+几，

把(2,300),(6,500)代入解析式得，

(2m+71=300

16nl+n=500'

解得忆落

・•・y=50%+200.

综上所述，乙的路程y与行驶时间》之间的函数关系式为y=(50X+2W)(%^>22);

(2)由图可知甲的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y=100%,

乙行驶x分钟时，乙在甲前方50米，

由题意得：150x-100x=50或50x+200-100%=50,

解得x-1或％-3,

•••乙行驶1分钟或3分钟时，乙在甲前方50米.

【解析】(1)分两种情况用待定系数法求函数解析式；

(2)求出甲的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，再根据题意列方程，解方程即可.

本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是求函数解析式.

23.【答案】(-1,0)(1,0)(2,3)

【解析】解：(1)①对于直线"：y=3x—3①，

令y=3x-3=0,解得x=1,故点8(1,0),

对于小y=x+l,同理可得：点4(-1,0),

%:第5解得:仁;,

故点C的坐标为(2,3),

故答案为:(-1,0),(1,0)、(2,3)；

②点P在直线k上,则设点P(t,t+1),同理点Q(t,3t-3),

则PQ=|t+l-3t+3|=2,

解得t=1或3；

(2)设点E(m,0),则-IWmWl,

则点P(m,m+1),

则点F(竽,巾+1)、点Q(?n,3m-3),

则PQ—PF=m+1—3m+3-(竽-m)=一竽+1,

当m=-l时，PQ-PF最大，最大值为4.

解：（1）①对于直线％：y=3%-3,令y=3%-3=0,解得％=1,故点8（1,0）,对于匕：y=%+1,同理

可得:点4（一1,0）,则解得：即可求解；

②由PQ=|t+l—3t+3|=2,即可求解;

（2）由PQ—PF=m+1-3m+3—（W-m）=-即可求解.

本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2）,确定点的

坐标是解题的关键.

24.【答案】20。

【解析】解：（1）如图，连接CE,DE,

・••点C关于直线DP的对称点为点E,

ACD,ED关于DP对称，^CDP=/.EDP=35°,CD=ED,

•••四边形ABCD是正方形，

・•・AD=CD,

・•・AD=ED,

乙DAE=乙DEA="(180。-4ADE)=1(180°-90°-70°)=10°,

故答案为:10°；

(2)结论：CD2=^(AF2+EF2).

理由：如图，连接DE,CE,AC,CF.

CD=DE=AD,乙DEF=乙DCF,

而NDEF=Z.DAF,

・•・Z.DAF=Z.DCF,

・・•Z.FAC+/-FCA=/.FAC+^DAF+^DCA=90°,

・・・^AFC=180°-("AC+/.FCA)=90°,

在Rt△4c5中，AC2=AF2+CF2=AF2+EF2,

在RtzMCD中，AD24-CD2=AC2,

2CD2=AF2+EF2,BPCD2=1(/1F2+EF2)；

(3)v^AFC=90°,CF=EF=b,

；.CH=HE=FH=?b，

CD2=^(AF2+EF2)=1(a2+b2),

•••DH=VCD2-CH2=J*+b2)-存b)2=年a.

如图，当点尸在。，H之间时，DF=DH-FH=^(a-b),

如图，当点”在F,。之间时，DF=DH+FH=^(a+b).

(1)如图，连接CE,DE,由对称知aCDP=NEDP=35。，CD=ED,由四边形ABC。是正方形得=CD,

所以AD=ED,从而NOAE=^DEA=1(180°-NAOE)=1(180°-90°-70°)=10°,

(2)如图，连接CF,DE,AC,CE,交。P于点”，由轴对称知，CF=EF,CD=DE=AD,乙DEF=乙DCF,可

22

证得NAFC=90°,由勾股定理得，Rt△4c尸中，"2=AF2+CF2=AF2+EF2,Rt△4CD中，AD+CD=

AC2,从而CD?=；(AF2+EF2)；

(3)由勾股定理CH=HE=FH=3b，DH=VCD2-CH2=?a，分情况讨论：当点F在D，"之间时,

。尸=D“-F”=?(a-b):当点D在尸，H之间时，DF=F"—DH=?(b-a)点”在尸，。之间时，DF=

DH+FH=^Y^a+by

本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形知识，勾股定理等，将运动状态的所有可能考虑完备，

分类讨论是解题的关键.

25.【答案】解:(1)V/.AOC=60°,。8平分~1OC,

则直线OB的表