高中数学必修4三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系【学问梳理】同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tan_αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中α≠kπ＋\f(π,2)k∈Z)).【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】(1)已知sinα＝eq\f(12,13)，并且α是其次象限角，求cosα和tanα.(2)已知cosα＝－eq\f(4,5)，求sinα和tanα.[解](1)cos2α＝1－sin2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2，又α是其次象限角，所以cosα<0，cosα＝－eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).(2)sin2α＝1－cos2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2，因为cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以α是其次或第三象限角，当α是其次象限角时，sinα＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)；当α是第三象限角时，sinα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以应用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m⇒sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．【对点训练】已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解：由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25).又α是第三象限角，故cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5).题型二、化切求值【例2】已知tanα＝3，求下列各式的值．(1)eq\f(4sinα－cosα,3sinα＋5cosα)；(2)eq\f(sin2α－2sinα·cosα－cos2α,4cos2α－3sin2α)；(3)eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α.[解](1)原式＝eq\f(4tanα－1,3tanα＋5)＝eq\f(4×3－1,3×3＋5)＝eq\f(11,14)；(2)原式＝eq\f(tan2α－2tanα－1,4－3tan2α)＝eq\f(9－2×3－1,4－3×32)＝－eq\f(2,23)；(3)原式＝eq\f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq\f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq\f(29,40).【类题通法】化切求值的方法技巧(1)已知tanα＝m，可以求eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．(2)对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．【对点训练】已知tanα＝2，求下列各式的值：(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.解：(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×2－3,4×2－9)＝－1.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)，这时分子和分母均为关于sinα，cosα的二次齐次式．因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，则4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.题型三、化简三角函数式【例3】化简tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是其次象限角．[解]因为α是其次象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而削减函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【对点训练】化简：(1)eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1)；(2)eq\r(sin2θ－sin4θ)，θ是其次象限角．解：(1)eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1)＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ－cosθ,cosθ))＝cosθ.(2)由于θ为其次象限角，所以sinθ>0，cosθ<0，故eq\r(sin2θ－sin4θ)＝eq\r(sin2θ1－sin2θ)＝eq\r(sin2θcos2θ)＝|sinθcosθ|＝－sinθcosθ.题型四、证明简洁的三角恒等式【例4】求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).[证明]法一：∵右边＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，∴原等式成立．法二：∵左边＝eq\f(tanαsinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sin2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，∴左边＝右边，原等式成立．【类题通法】简洁的三角恒等式的证明思路(1)从一边起先，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步找寻等式成立的条件，达到由繁到简．【对点训练】证明：eq\f(1＋2sinθcosθ,cos2θ－sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)证明：∵左边＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ,cosθ＋sinθcosθ－sinθ)＝eq\f(sinθ＋cosθ2,cosθ＋sinθcosθ－sinθ)＝eq\f(cosθ＋sinθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(\f(cosθ＋sinθ,cosθ),\f(cosθ－sinθ,cosθ))＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝右边，∴原等式成立．【练习反馈】1．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，则cosα等于()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．－eq\f(1,7) D.eq\f(3,5)解析：选B∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5).2．若α为第三象限角，则eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值为()A．3 B．－3C．1 D．－1解析：选B∵α为第三象限角，∴原式＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－3.3．已知cosα－sinα＝－eq\f(1,2)，则sinαcosα的值为________．解析：由已知得(cosα－sinα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－2sinαcosα＝eq\f(1,4)，解得sinαcosα＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)4．若tanα＝2，则eq\f(2sinα－cosα,sinα＋2cosα)的值为________．解析：原式＝eq\f(\f(2sinα－cosα,cosα),\f(sinα＋2cosα,cosα))＝eq\f(2tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(2×2－1,2＋2)＝