分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2课时）课件高二下学期数学人教A版选择性

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.学习目标教学重难点重点分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用难点准确应用两个计数原理解决问题计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？情景导入一个小朋友的玩具盒子中有红色玻璃球20个，蓝色玻璃球1个，黄色玻璃球8个，现在他要从中取出一个玻璃球，有几种方法？1．这个小朋友要“完成的一件事”是什么？提示：从盒子中取出一个玻璃球．2．按照小球的颜色分为几类？提示：小球有三种颜色，所以分为三类．问题探究一3．他完成这件事有几种方法？提示：他可以取一个红色玻璃球，有20种方法，也可以取一个蓝色玻璃球，有1种方法，还可以取一个黄色玻璃球，有8种方法，所以共有20＋1＋8＝29种不同的取法．

01分类加法计数原理【例1】在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.A大学B大学生物学数学化学会计学医学经济学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？分析：因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件．要完成的事情

A大学B大学生物学数学化学会计学医学经济学物理学法学工程学用分类加法计数原理解题的一般思路:(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.分析：这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同．在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．

解法一：“树状图”方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.字母数字得到的号码A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9思考：你能说一说这个问题的特征吗？首先，这里要完成的事情是：“给一个座位编号”.其次，最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤.每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.问题探究二1.完成一件事需要两个步骤，做第1步有𝑚种不同的方法，做第2步有𝑛种不同的方法，那么完成这件事共有𝑁=𝑚×𝑛种不同的方法.推广：完成一件事有n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……在第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．02分步乘法计数原理延时符【例2】某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

延时符【例3】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数为𝑁=4+3+2=9.延时符【例3】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？

用分步乘法计数原理解题的一般思路：（1）分步：将完成一件事的过程分成若干步；（2）计数：求出每一步中的方法数；（3）将每一步中的方法数相乘得最终结果。1．已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高二（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有（

）A．125种 B．135种 C．155种 D．375种2．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果．王老师的果篮里有草莓，苹果，芒果3种水果．李老师的果篮里有苹果，櫻桃，香蕉，猕猴桃4种水果．小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果．小华拿到两种不同的水果的情况有（

）A．7种 B．6种 C．12种 D．11种DA3．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是（

）A．14 B．23 C．48 D．1204．（多选题）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法CAB

分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能应用两个计数原理解决实际问题.学习目标教学重难点重点分类加法计数原理和分步乘法计数原理综合应用解题难点准确应用两个计数原理解决实际问题【例4】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？解法一：这6种挂法可利用树状图来列举.左边右边得到的挂法甲乙丙乙丙左甲右乙左甲右丙甲丙左乙右甲左乙右丙甲乙左丙右甲左丙右乙解法二：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为𝑁=3×2=6.【例4】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？解法三：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画选出2幅，有3种选法（“甲、乙”“甲、丙”“乙、丙”）；第2步，将选出的2幅画挂好，有2种挂法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为𝑁=3×2=6.【例4】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？【例5】给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母𝐴~𝐺或𝑈~𝑍，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？

【例6】电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.（1）1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？解：（1）用下图表示1个字节，每一格代表一位：1个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是：

2种2种2种2种2种2种2种2种

【例7】计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据，一般地，一个程序模块由许多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？

【例8】通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如下图所示.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？省、自治区、直辖市简称发牌机关代号序号第一部分第二部分

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

DD364.（1）从5种颜色中选出3种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数;解：（1）如图,由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C必须颜色相同,B,D必须颜色相同,所以共有5×4×3×1×1=60(种)不同的涂色方法.SBCDA解法一：由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C可以颜色相同,B,D可以颜色相同,并且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同一颜色,有2种选法(如:B,D颜色相同);再从5种颜色中,选出四种颜色涂在S,A,B,C四个顶点上,最后D涂B的颜色,有5×4×3×2=120(种)不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理,共有2×120=240(种)不同的涂色方法.SBCDA（2）从5种颜色中选出4种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,