2021-2022学年辽宁省渤海大学附属高级中学高一下学期第二次阶段性考试数学试题（解析版）

2021-2022学年辽宁省渤海大学附属高级中学高一下学期第二次阶段性考试数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．直四棱柱是正四棱柱B．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线C．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥【答案】B【分析】根据简单几何、多面体的几何特征一一判断即可.【详解】对于，直四棱柱的底面不一定是正方形，故不正确；对于B，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故B正确；对于C，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故C不正确；对于D，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D不正确.故选：B2．欧拉公式（）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当时，得到，将数学中几个重要的数字0，1，i，e，联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简，则在复平面内，复数z对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先利用欧拉公式得，然后利用的运算性质求解出复数，从而可求出复数z对应的点位于的象限【详解】由题意得，所以复数z对应的点位于第四象限，故选：D3．如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（

）A．点 B．点 C．点，但不过点 D．点和点【答案】D【分析】根据平面的基本性质及推论推导即可【详解】由题意知，，，∴，又，∴，即在平面与平面的交线上，又，，∴点C在平面与平面的交线上，即平面的交线必过点和点故选：D.4．已知角的大小如图所示，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由终边上的点坐标及和角正切公式求得，再将目标式由弦化切求值即可.【详解】由题图知：，则，而.故选：C5．一个三角形的水平直观图在是等腰三角形，底角为，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴距离是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】过点作轴，交轴于点，利用正弦定理求出，再结合斜二测画法规则求解作答.【详解】过点作轴，交轴于点，如图，在中，，由正弦定理得，，于是得，由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到轴距离是.故选：D6．已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可知球内切于圆锥，利用图形关系求得球的半径，即可得解.【详解】由题可知，母线，若内部有一个球，半径最大时，球内切于圆锥，如图所示，O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，设球O的半径为R，底面圆E的半径为r因为圆锥侧面积为，所以，解得.由勾股定理，所以.又因为与相似，，解得，所以球的体积.故选：D7．数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论不正确的是（

）A．长方体中含有两个相同的等腰四面体B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为【答案】D【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】如图，长方体有两个相同的等腰四面体：和，A正确；如等腰四面体中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的，如图，设的长分别为，不妨设，则，，，最大，其所对角的余弦值为，最大角为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B正确；把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线，如等腰四面体，沿剪开摊平，共线，同理可得共线，共线，为锐角三角形（与等腰四面体的面相似），且是这个三角形的中位线，因此C正确；如上等腰四面体中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外接球直径，因此直径长为，D错.故选：D.8．一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（

）A．点第一次到达最高点需要B．在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间C．点距离水面的距离（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面【答案】D【分析】根据所给条件求出点距离水面的高度与时间的函数关系式，再逐项进行计算并判断作答.【详解】显然点距离水面的高度(米)与(秒)的关系成周期性，符合正弦型函数关系，设其解析式为，依题意，，，由，解得，即，当时，，得，，，于是得所求的函数关系式是，所以点距离水面的距离(单位：)与时间(单位：)的函数解析式为，C错误；由得：，即，解得，点第一次到达最高点要时间，A错误；由，即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米，B错误；时，，D正确.故选：D二、多选题9．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】AC【分析】AC选项，可以从线面垂直的性质或判定或面面平行的性质即判定进行说明；BD选项可以在题干条件下举出反例．【详解】解：选项，因为，，所以，因为，，是两个不同的平面，所以，选项正确；选项，若，，，则与可能平行，可能异面，可能相交，选项错误；选项，若，，则，又因为，，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则，选项正确；若，，，可能在内，可能与平行，，故选项错误．故选：AC．10．下列命题为真命题的是（

）A．函数在定义域内是单调增函数B．函数的表达式可以改写为C．是最小正周期为的偶函数D．若，则为钝角三角形【答案】BD【分析】利用正切函数的单调性可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用向量的数量积运算可判断D选项.【详解】解：A选项，函数在定义域内不单调，故A不正确；对于B选项，，故B正确；对于C选项，设，因为，，则，所以，函数不是最小正周期为的函数，故C不正确；对于D选项：若，则，则，则与所成的角为锐角，则为钝角，故为钝角三角形，故D正确；故选：BD.11．如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（

）A．直线与是异面直线B．不存在点使得C．当点为中点时，过､､三点的平面截正方体所得截面为四边形D．三棱锥的体积为定值【答案】AD【分析】由图可判断A，设中点为，若为中点，此时可得，即可判断B，作出截面，即可判断C，根据锥体的体积公式判断D；【详解】解：由图可知直线与是异面直线，故A正确；设中点为，若为中点，则有，，，平面，所以平面，平面，所以，因为，所以，故B不正确；取的中点，的中点，的中点，连接、、、、，此时过、､三点的平面截正方体所得截面为六边形，故C错误；设正方体的棱长为，易知点到平面的距离为为定值，又，所以，即棱锥的体积为定值，故D正确.故选：AD12．已知函数．则下列说法正确的是（

）A．若，则B．的图象关于原点对称C．，使成立D．对，，，有成立【答案】ACD【分析】利用三角函数的二倍角公式及正弦函数的两角和公式对原式进行化简，利用正弦型函数的性质逐项判断正误.【详解】解：因为，故；A项中，的单调递增区间为，故，故当时，单调递增，故A项正确；B项中，，故的图象不关于原点对称，故B项错误；C项中，因为，则的值域为，的周期为，若，则，故C项正确；D项中，因为，所以，则，又，故，即所以，恒成立，故D项正确.故选：ACD.三、填空题13．若复数满足（为虚数单位），则的虚部为___________.【答案】-2【分析】将化成的形式即可.【详解】解：由题得.所以z的虚部为.故答案为：-2.14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若有两解，写出a的一个可能的值为__________．【答案】（满足均可，答案不唯一）【分析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：由于满足条件的有两个，则，即.故答案为：（满足均可，答案不唯一）．15．若正三棱台的上､下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为___________.【答案】【分析】根据棱台的体积公式可得高，再设O′､O分别是上､下底面的中心，连接OO′､O′B′､OB，根据几何图形中的关系求解即可【详解】因为棱台体积公式V（SS′）h，所以，所以高，又因为正三棱台上､下底面的面积分别是和，所以上下底面边长分别是2和4，如图所示，O′､O分别是上､下底面的中心，连接OO′､O′B′､OB，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E，∵是边长为2的等边三角形，O′是中心，∴O′B′，OB，∴在中，，BE，∴B′B，∴该三棱台的侧棱长为.故答案为：16．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的外接圆半径为___________.【答案】5【分析】由条件结合余弦定理可得，结合正弦函数的范围和基本不等式可求，再由正弦定理求的外接圆半径.【详解】由余弦定理可得，又，所以，所以，所以，所以，其中，，又，当且仅当时等号成立，又，所以，所以，时等号成立，所以，所以的外接圆半径，故答案为：5.四、解答题17．已知，，且．(1)求与的夹角；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用数量积的运算律和定义可求得，进而得到；（2）由数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.【详解】(1)，，又，.(2)，.18．我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，在海南省三沙市，名为“三沙永乐龙洞”．海洋蓝洞被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径（即两点间的距离），现取两点，测得，则图中海洋蓝洞的口径为多少．【答案】【分析】在中由正弦定理可求出AC，在中由角的关系求出BC，在中由余弦定理求解即可.【详解】由已知得，在中，，所以，由正弦定理得，在中，，所以，在三角形中，由余弦定理：，故图中海洋蓝洞的口径为.19．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．(1)若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB；(2)若平面AEC，求证：E是PD中点．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利用线面平行的判定定理可证平面；（2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行的性质定理可得，且为中点，可证E是PD中点．【详解】(1)证明：取中点，连接，，在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且，又因为底面ABCD为平行四边形，为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；(2)连接，交于，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，在中，为中点，所以为中点.20．已知为锐角，(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，再利用求解即可；（2）直接通过计算出正弦值，再通过角的范围求出答案.【详解】(1).为锐角，，又在上单调递减，，，

.(2)，为锐角，，.21．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，.(1)若，，为边的中点，求中线的长度；(2)若为边上一点，且，，求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可得，然后利用余弦定理可得，利用向量的表示可得，进而可得，即得；（2）利用向量的线性表示可得，结合条件可得，即，再利用基本不等式即得.【详解】(1)∵向量，，，∴，即，∴，∴，∵为边的中点，，，∴，∴，又，，，∴，∴，即，∴中线的长度为；(2)∵为边上一点，，∴，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，即，∴，当且仅当，即取等号，故的最小值为.22．如图1，直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现在沿着将折起到位置，得到如图2所示的四棱锥．(1)证明：．(2)若为棱的中点，试问线段上是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，且【分析】（1）在梯形中，连接，证明出为菱形，在四棱锥中，取的中点，连接、、，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，，利用线面垂直的判定和性质定理可证得结论成立；（2）取线段的中点，连接，过点在平面内作交于点，证明出，过点在平面内作交于点，计算出的长，可计算出的长，分析出为的中点，即可求得的长.【详解】(1)证明：在梯形中，连