2023-2024学年陕西省渭南市高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

2023-2024学年陕西省渭南市高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（）A． B．或 C． D．2．设且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A． B． C． D．4．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A． B． C． D．5．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（）A． B． C． D．6．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．若复数是纯虚数，则()A．3 B．5 C． D．8．已知集合，则等于（）A． B． C． D．9．已知命题若，则，则下列说法正确的是（）A．命题是真命题B．命题的逆命题是真命题C．命题的否命题是“若，则”D．命题的逆否命题是“若，则”10．已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则的最小值为（）A． B． C．l D．111．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（）A． B． C． D．12．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，椭圆的方程为，双曲线方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为________.14．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为______.15．已知变量(m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________．16．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为五个小组（所调查的芯片得分均在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．18．（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.19．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.（Ⅰ）求的极坐标方程和曲线的参数方程；（Ⅱ）求曲线的内接矩形的周长的最大值.20．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若成等比数列，求a的值。21．（12分）如图，四边形是边长为3的菱形，平面.（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值.22．（10分）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）已知在处的切线与轴垂直，若方程有三个实数解、、（），求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由可得，故可求的值.【详解】因为，所以，故，因为正项等比数列，故，所以，故选C.【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）公比时，则有，其中为常数且；（3）为等比数列（）且公比为.2、A【解析】项，由得到，则，故项正确；项，当时，该不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．综上所述，故选．3、D【解析】

可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出，这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.4、B【解析】

基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，所以，所求的概率.故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．5、B【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【详解】输入，不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数不成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；成立，跳出循环，输出i的值为.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.6、C【解析】

讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，由开口向上，则恒成立；当恒成立时，若，则不恒成立，不符合题意，若时，要使得恒成立，则，即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出是的充分条件；若，则推出是的必要条件.7、C【解析】

先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可【详解】由z是纯虚数，得且，所以，.因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.8、C【解析】

先化简集合A，再与集合B求交集.【详解】因为，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.9、B【解析】

解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误；命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确；命题的否命题是“若，则”，C选项错误；命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.10、A【解析】

设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.【详解】解：设点，则点，，，，当时，取最小值，最小值为.故选：A.【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.11、B【解析】

由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.【详解】由题意可知，框图的作用是求分段函数的值域，当；当综上：.故选：B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.12、C【解析】

根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程.【详解】，椭圆的方程为，的离心率为：，双曲线方程为，的离心率：，与的离心率之积为，，，的渐近线方程为：，即.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.14、【解析】

构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.【详解】依题意，，令，则，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，故，则x的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.15、【解析】

在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【详解】不等式两边同时取对数得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，设f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，函数的导数，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故答案为：e【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键16、24【解析】

先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.【详解】解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有，若甲乙两名护士到同一地的种数有，则甲乙两名护士不到同一地的种数有.故答案为：.【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析【解析】

（1）先求出，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.【详解】（1）依题意，，故．又因为．所以，所求平均数为（万分）（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率．设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，，，故每颗芯片的测试费用的数学期望为（元），因为，所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片．【点睛】本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、（1）或；（2）【解析】

（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.（2）利用等价转化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果.【详解】（1）当时，原不等式可化为.①当时，则，所以；②当时，则，所以；⑧当时，则，所以.综上所述：当时，不等式的解集为或.（2）由，则，由题可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求实数的取值范围是.【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.19、（Ⅰ）曲线的参数方程为：(为参数)；的极坐标方程为；（Ⅱ）16.【解析】

(

I

)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(

II

)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，即可求出结果.【详解】(Ⅰ)由题意：曲线的直角坐标方程为：，所以曲线的参数方程为(为参数)，因为直线的直角坐标方程为：，又因曲线的左焦点为，将其代入中，得到，所以的极坐标方程为.（Ⅱ）设椭圆的内接矩形的顶点为，，，，所以椭圆的内接矩形的周长为：，所以当时，即时，椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.【点睛】本题考查了曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程间的互化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，考查学生的求解运算能力和转化能力，属于基础题型.20、（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.【解析】

（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可．【详解】（1）由直线l的参数方程消去参数t得,，即为l的普通方程由，两边乘以得为C的直角坐标方程.（2）将代入抛物线得由已知成等比数列，即，，，整理得（舍去）或.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．21、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由已知线面垂直得，结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直；（2）由已知知两两互相垂直.以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，由已知线面垂直知与平面所成角为，这样可计算出的长，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角可得二面角．【详解】证明：（1）因为平面，平面，所以.因为四边形是菱形，所以.又因为，平面，平面，所以平面.解：（2）据题设知，两两互相垂