2023-2024学年鄂西南三校高二数学下学期3月联考试卷及答案解析

-2024学年鄂西南三校高二数学下学期3月联考试卷考试时间：120分钟；总分：150分2024.03一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（

）A． B． C． D．2．已知数列为等比数列，若，，则的值为（

）A． B． C． D．3．抛物线的焦点坐标为（

）A．B．C． D．4．已知向量，向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（

）A．B．C． D．6．双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且│AB│是的等差中项，则│AB│等于（

）A．8 B．4 C．2 D．87．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（

）A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为C．点是它的一个焦点 D．10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（

）A．B．C．是锐角三角形D．的最大内角是最小内角的倍11．已知函数的定义域均为是偶函数，且，若，则（

）A．B．的图象关于点中心对称C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度跑步速度均相同，则先到教室的是．13．已知数列的前项之和，则数列的通项公式．14．若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．已知正项数列满足.(1)求的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求.16．树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；(2)如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；(3)若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．17．如图，在中，，，．将绕旋转得到，分别为线段的中点．

(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值.18．如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，且满足．当点在圆上运动时，的轨迹为．

(1)求曲线的方程；(2)点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点．已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；(2)若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；(3)函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围．1．B【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可.【详解】.故选：B.2．B【分析】利用等比数列通项公式直接求解即可.【详解】设数列的公比为，则，，.故选：B.3．D【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而得到焦点坐标.【详解】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为.故选：D.4．A【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量，所以，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：A5．B【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.【详解】设点关于直线的对称点为，则，化简得，解得，故反射光线过点，则反射光线所在直线的方程为.故选：B.6．A【分析】由虚轴长求出b=2,再根据离心率求出a,进而结合题意及双曲线的定义求得答案.【详解】由题意，，由.由双曲线的定义可知：，两式相加得：.因为│AB│是的等差中项，所以，于是.故选：A.7．D【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得.【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

于是，，又为的中点，则，，,，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：D8．B【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.【详解】由图①知，，由图②知，点在椭圆上，，则，整理得，解得，由图③知，在椭圆上，，则，整理得，，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．9．ABD【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及即可逐一判断求解.【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点，所以，其中一个焦点坐标应为而不是，由双曲线定义可知．故选：ABD.10．AC【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项.【详解】对于A，由正弦定理可得，A对；对于B，由余弦定理可得，，，所以，，B错；对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；对于D，由题意知，为最小角，则，因为，则，则，D错.故选：AC.11．ABC【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性一一判定选项即可.【详解】因为是偶函数，则，所以，所以.当时，，又，所以，所以1，所以，故A正确；由，得，两式相减得，所以，又，所以，即，所以的图象关于点中心对称，故B正确；，所以是以6为周期的周期函数，所以，故C正确；，D不正确.故选:ABC12．乙．【详解】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室,故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作商法比较大小．【解答】设从寝室到教室的路程为，甲、乙两人的步行速度为，跑步的速度为，且，甲所用的时间，乙所用的时间满足，解得，所以，因为，所以，即乙先到.故答案为：乙先到教室.13．【详解】分析：根据和项与通项得关系求结果.详解：因为当时，，当时，，因为，所以.点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.14．【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定，利用三角形三边关系可知当，，三点共线时，，即为所求最大值.【详解】设，则，整理得，则是圆：上一点，由，得,如图所示故，当且仅当，，三点共线，且在之间时取得最大值．又因为,所以的最大值为.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）利用数列通项和前n项和公式求解；（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）解：因为，当时，，两式相减得，因为，可得，，令，可得，满足，所以的通项公式为；（2），所以.16．(1)补全频率分布直方图见解析；估计众数为.(2)(3)【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，求出组的频率，可补全频率分布直方图，由此估计本次知识竞赛成绩的众数；（2）由频率分布直方图求出成绩不低于88的频率，由此估计进入复赛的人数；（3）根据分层抽样求出各组抽取的人数，再用古典概型求出所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25个概率.【详解】（1）组的频率为：.所以补全频率分布直方图为：因为组对应的小矩形最高，所以估计本次知识竞赛成绩的众数为.（2）由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：.所以这名参赛同学中估计进入复赛的人数为：.（3）从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取人，因为第一、二、六组的频率之比为，所以第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人.设这人分别为：，从这6人中任选2人的抽法有：基本事件总数，所抽取的人成绩之差的绝对值小于包含的基本事件有：基本事件个数个数.所以所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率为.17．(1)(2)【分析】（1）作，垂足为，证明平面，可求得点到平面的距离；（2）取中点为，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【详解】（1）取的中点，连接，作，垂足为．因为，点为的中点，所以．又，所以平面．因为平面，所以．又，所以平面，即点到平面的距离为的长度．易证平面，所以．因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以，所以．（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．

设平面的法向量为，可得即令，得．取的中点，连接，在等腰中，易证平面，所以为平面的一个法向量．设平面与平面的夹角为，则，．18．(1)(2)存在，【分析】（1）设点、，则，根据平面向量的坐标运算可得出，代入等式化简可得出曲线的方程；（2）记，则直线的方程可化为，将该直线方程与曲线的方程联立，求出点的坐标，进而求出点的坐标，求出及点的坐标，根据可求出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标，即为所求的点.【详解】（1）设点、，则，因为，所以，则，则，所以，因为点在圆，则，所以，整理可得，由于点与点不重合，所以，因此曲线的方程为.（2）存在定点满足题意，理由如下：记，则直线的方程为，联立，得，解得，则，

故点，所以点，则，因为，则，在直线中，令，可得，即点，所以直线的方程为，所以存在定点，使得.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.19．(1)不是的“2重覆盖函数”，理由见解析；(2)；(3)【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义判断即可；（2）由题意可得对任意，存在2个不同的实数，使得（其中），即，分、、分别求解即可；（3）由题意可得，则有对于任意，，要有2024个根，作出函数的图象，结合图象求解即可.【详解】（1）解：由，可知，函数的图象如图所示：当时，，当时，解得，此时在中只存在一个，使，所以不是的“2重覆盖函数”；（2）解：由题意可得的定义域为，即对任意，存在2个不