第22讲 函数模型的应用二（学生版）-高一数学同步讲义

第08讲函数模型的应用二

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课程标准课标解读

通过本节课的学习，掌握一次函数、二次函数、

1.了解函数模型（如指数函数、对数函数、

指数函数、对数函数、基函数以及其他函数模型；会从

基函数、分段函数等在社会生活中普遍使

用的函数模型）的广泛应用.实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.

2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式等

画现实问题的变化规律.知识交汇.

趣知识精讲

叁、知识点01常见的函数模型

一次函数模型y=kx+b（k,b为常数,攵w0）

反比例函数模型y=K（女w0>

X

二次函数模型y=ax2+Z?x+c（a,b,c为常数，a工0）

指数型函数模型y=bax+c（a,b,c为常数,b>O,a>。月。w1）

对数型函数模型y-mlog〃x+n（m,a,〃为常数，>0且aw1）

算函数型模型y=ax"为常数，a工0）

事知识点02应用函数模型求解实际问题

1.已知函数模型解决实际问题时，给出的函数解析式往往含有参数，需要将题中的数据代入函数模型,

求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值.

2.利用函数模型解决实际问题时，要抓住问题的关键：选择和建立适当的函数模型；因而必须熟悉常见

函数模型的特点.

*'知识点03方法提示：1）指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、

银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示.

2）应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确

定函数模型.

3）y=a（l+x）"通常利用指数运算与对数函数的性质求解.

4）对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：

直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸'’来形

容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢.公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择

对数模型增长.

5）利用函数模型解决实际问题，通常有以下三种类型：（1）利用给定的函数模型解决实际问题；（2）建立

确定性函数模型解决问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题.

6）使用函数模型解决实际问题

（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表

示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值

不等式等工具求出最值

（2）需用到的数学工具与知识点：

①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系,

在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示.

②均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值.

③分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解.

（3）常见的数量关系:

①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：

平行四边形面积=底乂高梯形面积=！、（上底+下底）x高

2

三角形面积=‘X底x高

2

②商业问题：

总价=单价X数量利润=营业额-成本=货物单价X数量-成本

③利息问题：

利息=本金X利率本息总和=本金+利息=本金X利率+本金

（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。

涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数.

【即学即练1】某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表:

X1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）

A.y=2x-lB.=C.y=log,xD.y=^（x2-l）

【即学即练2】一等腰三角形的周长是20,底边y是关于腰长X的函数，它的解析式为（）

A.y=20-2x（x<10）B.y=20-2x（x<10）

C.y=20-2x（5<x<10）D.y=20-2x（5<x<10）

【即学即练3】将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减

少20个，为了使商家利润有所增加，则售价“（元/个）的取值范围应是（）

A.90<a<l（X）B.90<a<110C.100<a<110D.80<a<100

【即学即练4】声强级右（单位：dB）与声强/的函数关系式为：10电（卷］.若普通列车的声强级是

95dB,高速列车的声强级为45dB,则普通列车的声强是高速列车声强的（）

A.10<,倍B.105倍C.10■'倍D.我倍

【即学即练5】（多选题）某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高

02元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）

A.2.5元B.3元

C.3.2元D.3.5元

【即学即练6】某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的

40%,该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增

长率相同，则2017年预计经营总收入为万元.

【即学即练7】衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发，从而体积缩小，刚放入的新樟脑丸体积为“，经过，天后

4

樟脑丸的体积丫⑺与天数，的关系式为V⑺=小2-",若新樟脑丸经过80天后，体积变为五明则函数次。

的解析式为.

u能力拓展

考法

1.一次函数模型的应用

利用一次函数模型解决实际问题时，需注意：

（1）常用待定系数法求一次函数的解析式.

（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数：当一次项系数为负时，一次函数为减函数.

【典例1]A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同

一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少,

则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为2:1,从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：

运行区间公布票价学生票

上车站下车站一等座二等座二等座

4B81（元）68（元）51（元）

（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？

（2）由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车

票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用

（单程）y与x之间的函数关系式.

（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少

钱？

【即学即练8】重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不

低于成本单价，且获利不得高于成本的60%.经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合函数

y=kx+b,且x=70时，y=30；x=60时，>>=40.

（1）求函数丫=履+6的解析式；

（2）若该服装店获得利润为w元，试写出利润卬与销售单价》之间的关系式；销售单价定为多少元时，服

装店可获得最大利润，最大利润是多少元？

2.二次函数模型的应用

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配

方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用

料最省等问题.

【典例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v

（单位：千米〃卜时）是车流密度了（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成

堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当

204x4200时,车流速度口是车流密度x的一次函数.

（1）当0MxV200时，求函数v（x）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）

f（x）=x"（x）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）

3.用函数模型解决增长（衰减）率类问题

（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常

可以表示为y=N（l+/?y（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式.求解时可利用指数运算

与对数运算的关系.

（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.

【典例3】为保护生态环境，某市某山区自2015年起开始实行退耕还林.已知2014年底该山区森林覆盖面

积为。亩.

（1）设退耕还林后，森林覆盖面积的年自然增长率为2%,写出该山区的森林覆盖面积y（亩）与退耕

还林年数x（年）之间的函数关系式，并求出2019年底时该山区的森林覆盖面积.

（2）如果要求到2024年底，该山区的森林覆盖面积至少是2014年底的2倍，就必须还要实行人工绿

化工程.请问2024年底要达到要求，该山区森林覆盖面积的年平均增长率不能低于多少？

（参考数据：1.024=1.082,1.025=1.104,1.026=1.126,1g2=0.301,1g1.072=0.0301）

【即学即练9】三个变量X，%,%，随变量x变化的数据如下表:

X051015202530

51305051130200531304505

%594.4781785.2337336.37xl051.2xl072.28xlO8

%5305580105130155

则最可能关于x呈指数型函数变化的一个变量是.

【典例4】我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度/用瓦/米2（W/m2）

表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L表示，它们满足以下公式：^i=101g—（单位为分贝,

/（）

L,>0,其中/°=lxl（）T2w/m?,这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）.回答以下问题：

（1）树叶沙沙声的强度是1x10-12W/m2,耳语的强度是W/m2,恬静的无线电广播的强度

是1x10-8w/n?，试分别求出它们的强度水平；

（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音

强度/的范围为多少？

4.分段函数模型的应用

建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨

论，从而写出函数的解析式.

【典例5】下表为北京市民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）.

其中

用户用水量水

自来水资污水处

阶梯

（立方米）价

水费源费理费

第一阶梯0-180（含）5.002.07

第二阶梯180~260（含）7.004.07

1.571.36

第三阶梯260以上9.006.07

（1）试写出水费y（元）与年用水量x（立方米）之间的函数解析式；

（2）若某户居民一年交水费1（X0元，求其中自来水费，水资源费及污水处理费各是多少.

【即学即练10】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已

'1C

400x—zx2.（）

知总收益满足函数：R（x）=J20<A<400其中x是仪器的月产量.

.80000,（A>400）

（1）将利润表示为月产量的函数兀v）；

（2）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）

5.函数模型的比较：

根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个

函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.

【典例6】某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去

的一个月内（以30天计）的日销售价格?（尤）（元）与时间x（天）的函数关系近似满足P（x）=l+&（%为

X

正常数）.该商品的日销售量。（X）（个）与时间X（天）部分数据如下表所示：

X（天）10202530

Q(x)(个)110120125120

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

（1）求上的值；

（2）给出以下二种函数模型：

①Q（x）=or+6,（2）Q（x）=a\x-25\+b,

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系,

并求出该函数的解析式；

（3）求该商品的日销售收入/（幻（14x430,xeN+）（元）的最小值.

【即学即练11】研究表明：使全球气,候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓

度增加.据测，2010年、2011年、2012年大气中的CO2浓度分别比2009年增加了1个可比单位、3个可

比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的可比单位数与年份增加数x的关系，模拟函

数可选用二次函数yu）=p/+w；+r（其中p,q,r为常数）或函数g（x）=〃6+c（其中小c为常数），且又

知2014年大气中的CO2浓度比2009年增加了16个可比单位，请问用。以上哪个函数作为模拟函数较好？

fii分层提分

题组A基础过关练

1.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42

万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x,则x满足的方程为（）

A.10(1+X)2=42B.10+10(1+x)2=42

C.10+10(1+%)+10(1+2%)=42D.10+10(l+x)+10(l+x)2=42

C,0<x<A,

2.某市家庭煤气的使用量x（n?）和煤气费f（x）（元）满足关系/（x）=C+BQAQA已知某家庭今年

前四个月的煤气费如下表:

月份一月份二月份三月份四月份

用气量/m?452535

煤气费/元441419

若五月份该家庭使用了22m-的煤气，则其煤气费为（）

A.12.5元B.12元C.11.5元D.11元

3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为（）

A.400B.12C.20D.30

4.近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为?3第2月的口罩月消

耗量增长率为4,这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为广，则以下关系正确的是（）

22

A.r=rtr2B.r<rtr2C.2r=rt+r2D.2r<rt+r2

5.己知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第，天（14Y30,feNj的旅游人数/⑺（万人）近似

地满足/。）=4+！，而人均消费g”）（元）近似地满足g«）=120-"20].则求该城市旅游日收益的最小值

t

是（）

A.480B.120C.441D.141

6.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表:

每户每月用水量水价

不超过12m3的部分3TE/m3

超过12m3但不超过18m,的部分6元/n?

超过18m?的部分9元/n?

若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（)

A.6m3B.9m*C.15m3D.18m3

7.某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折

优惠；③购票总额每满500元减80元.每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合

理设计购票方案，费用最少为（）

A.1180元B.1230元C.1250元D.1152元

8.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）

①这几年生活水平逐年得到提高；

②生活费收入指数增长最快的一年是2014年：

③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；

④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善.

A.1B.2

C.3D.4

9.下面对函数f（x）Tog：,g（x）=^,与/?（》）=-高在区间（。,+8）上的递减情况说法正确的是（）

A.“X）递减速度越来越慢，g（x）递减速度越来越快，〃（x）递减速度比较平稳

B.f（x）递减速度越来越快，g（x）递减速度越来越慢，Mx）递减速度越来越快

C./（X）递减速度越来越慢，g（x）递减速度越来越慢，〃（x）递减速度比较平稳

D.4X）递减速度越来越快，g（x）递减速度越来越快，〃（x）递减速度越来越快

10.当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（）

l（K）

A.y=100xB.y=C.y=log2xD.y=x

H.某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76

万公顷，则沙漠增加值y（万公顷）关于年数M年）的函数关系较为近似的是（）

2X

A.y=0.2xB.y=—

.10

2

C.y=^x+2xD.y=0.2+log16x

12.下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）

①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学;

②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

其中y表示离开家的距离，♦表示所用时间.

A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①

13.在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地

表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）

X1.953.003.945.106.12

y0.971.591.982.352.61

A.y=2xB.y=log2X

C.(Pi)D.y=2.61x

14.三个变量如%,为随着变量X的变化情况如下表:

X1357911

51525354555

%529245218919685177149

%56.106.616.957.207.40

则与X呈对数函数，指数函数，一次函数变化的量依次是()

A.必，丫2，%B.C.D.%%，为

15.每天，随着清晨第一缕阳光升起，北京天安门广场都会举行庄严肃穆的升旗仪式，每天升国旗的时间随

着日出时间的改变而改变，下表给出了2020年1月至12月，每个月第一天北京天安门广场举行升旗礼的

时间：

101112

1月2月3月4月5月6月7月8月9月

月月月

7:367:236:485:595:154:484:495:125:416:106:427:16

若据此以月份(x)为横轴、时间为纵轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，则适合模拟的函数模型是

()

A.y=ax2+hx+c(a0)B.y=ha*伏w0,a>0且屏1)

C.y=Asin®x+0)+%(A,0HO)D.y=A:/og,,x(&*0,a>0且a#l)

题组B能力提升练

1.如图，将一张边长为1的正方形纸A8CO折叠,使得点8始终落在边AD匕则折起的部分的面积最小值为

B：(B)

2.（多选题）甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加

工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务.如图表示甲比乙多加工的零

件数量y（个）与加工时间X（分）之间的函数关系，A点横坐标为12,B点坐标为（20,0）,C点横坐标为

128.则下面说法中正确的是（）

A.甲每分钟加工的零件数量是5个B.在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件

C.。点的横坐标是200D.y的最大值是216

3.（多选）如图，某池塘里浮萍的面积义单位：n?）与时间*单位：月）的关系为），=屋.关于下列说法正确的是（）

A.浮萍每月的增长率为1

B.第5个月时，浮萍面积就会超过30m2

C.浮萍每月增加的面积都相等

D.若浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别是外，d⑶贝UA+B文3

4.（多选题）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利

用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）

之间的函数关系可近似地表示为产/X2_2（）0X+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为

100元.以下判断正确的是（）

A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低

B.该单位每月最低可获利20000元

C.该单位每月不获利，也不亏损

D.每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损

5.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意

力指数〉与听课时间x(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的图象，当xe(0,12］时，图象是二次函数图

象的一部分，其中顶点410,80),过点8(12,78)；当工€［12,40］时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家

研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为

.(写成区间形式)

6.设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，八刈的周期为4,g(x)的周期为2,且/(x)是奇函数.当xe(0,2］

时，=(*7)2,g(x)=1,、，其中女〉0.若在区间(0,9］上，关于x