2023-2024学年山东省郯城高一年级上册期末考试数学质量检测试题（含答案）

2023-2024学年山东省郑城高一上册期末考试数学质量检测试题

一、单选题

].设5={二|a=k7r+],Z£z},S]a-+zj,S2=jcrla=2kn-^,kGZ1,

则下列结论错误的是（）

A.51^SB.52CS

C.S1<JS2=SD.S}r\S2=S

【正确答案】D

【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解.

【详解】因为5屮a=E+“ez}表示终边落在），轴上角的集合，

H=[ala=+ezj表示终边落在y轴正半轴上角的集合，

$2={ala=ez}表示终边落在y轴负半轴上角的集合，

所以BaS,52C5,百口邑=5正确；5,n52=0*S,故错误.

故选：D

2.已知扇形的半径是2,面积是8,则扇形的中心角的弧度数是（）

A.1B.4C.2D.-

4

【正确答案】B

【分析】扇形的圆心角的弧度数为a，半径为R,弧长为/,面积为S,由面积公式和弧长公式可

得到关于I和R的方程，进而得到答案.

【详解】由扇形的面积公式得：S=g/R,

因为扇形的半径长为2,面积为8,贝|8=；x2x/

所以扇形的弧长/=8.

设扇形的圆心角的弧度数为a,

由扇形的弧长公式得：/=|a|R,且R=2

即8=2囤，解得同=4,所以扇形的圆心角的弧度数是4.

故选：B.

3.设0<x<],记。=$皿X，b=esinx,c=lnsinx,则”,"c的大小关系为（）

A.a<h<cB.b<a<cC.a<c<hD.c<a<b

【正确答案】D

【分析】由Ocg,可得0<sinx<l,从而可得cvO,l<b<e,即可比较”,6,c

的大小.

【详解】解：因为0<x苦，

所以0<sinx<l,即Ovavl；

所以如（sinx）vO,即c<（）；

所以Ive/*ve,即lvb<e；

所以c<〃<6.

故选：D.

4.如图，函数“力的图象类似汉字中的“冏”字，则其解析式可能为（）

1Y1X

A."、）=时B./（力=丽C./（"=丽D./（同=丽

【正确答案】C

【分析】根据图象判断出函数的奇偶性，然后结合函数值的正负即可判断答案.

【详解】由题可知〃x）的图象关于y轴对称，故"X）为偶函数，排除B,D；对于A,/（x）>0

恒成立，不符合题意.

故选：C.

5.记地球与太阳的平均距离为R,地球公转周期为T,万有引力常量为G,根据万有引力

47HR3

定律和牛顿运动定律知：太阳的质量M=t(kg).己知1g2aO.3,lg7c«O.5,lg®28.7,

GT2GF

由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（）

A.2xl03OkgB.2x1029kgC.3xlOMkgD.3xlO29kg

【正确答案】A

【分析】利用对数运算性质计算即可.

【详解】因为1g2。0.3,1g£“0.5,1g京a28.7,

4兀*

所以由M=得:

GT2

4/R'

IgM=lg=Ig4+lg7T+lg彳

GT1

/?3

=21g2+2Ig;c+lg京z2x03+2x0.5+28.7=30.3,

即1gMa30.3nMaIO303=1O3<,+03=IO03xlOw,

又电2=0.3=>10°3B2,

所以M。2xl（）3。kg.

故选：A.

ax'\x<\

6.己知函数/'(x)=，-x2-(2a-3)x-a,14x<2(a>0且1)对于任意的实数为片刍，都

-2a-ln(x-l),x>2

有（方一刈（〃斗）一/（々））＜0成立，则a的取值范围是（）

A./[B.C」吴]D.

[2丿【3丿|_33」[2

【正确答案】D

【分析】根据函数的单调性列不等式，从而求得”的取值范围.

【详解】由于对于任意的实数x产当，都有（工一为乂/（5）-/（f））＜0成立,

所以广（X）在R上单调递减.

0<a<l

一*I

12

所以2解得泊",

“I>-l-(2iz-3)-iz

-4-2(2〃-3)-a2-2a-In1

所以”的取值范围是p|

故选：D

7.记函数/。）=$访［8+?）+仇。＞0）的最小正周期为7.若等＜T〈乃，且y=.f（x）的图

象关于点（段,2）中心对称，则/（口=（）

,35

A.1B.-C.-D.3

22

【正确答案】A

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

【详解】由函数的最小正周期T满足=＜7＜乃，得4〈生〈万，解得2＜。＜3,

33（0

又因为函数图象关于点（/,2）对称，所以厶乃MeZ,且〃=2,

所以0=+：仁后eZ,所以（y*,/（x）=sin（gx+（J+2,

所以佃=sin（21+2=L

故选：A

8.已知函数/（x）=若关于x的方程4尸（力-4/1/（力+2/1+3=0有5个不同的

2—1,x＞0,

实根，则实数2可能的取值有（）

873

A.-1B.—C.一:D.—

762

【正确答案】C

【分析】作出函数/（X）的图象，结合图象可知关于/*）的一元二次方程根的分布，根据一元

二次根的分布列出不等式求解即可.

＜

【详解】作出函数/（、）=/x~一+6「xx二0，的图象如下，

2-l,x＞0

因为关于X的方程4/2(x)-4廿(x)+22+3=0有5个不同的实根,

所以关于/(x)的一元二次方程有两个不同的根,

且满足一1<<(“<0,—9<力(»<-1,或-l<<(x)<0,厶(6=0,或一1<<(耳<0,

力(x)i

令，=/*),则4/一4"+22+3=0的两根满足T<4<0，时,

令8")=4/-4厶+24+3,

g(-9)>0382+327>0

37

g(-l)<0,即<62+7<0,解得-1<%<-丄.

2/1+3>026

g(0)>0

33

若4/一4力+24+3=0的两根满足T<4<0,厶=0,则右g此时厶=0或厶=—],不

符合要求，舍去,

71

若*4厶+22+3=。的两根满足7"。，"7,则一号此时”7或L”

合要求,

37

综上一5—1

故选：C

二、多选题

9.下列各式的值等于1的有()

A.sin2(-x-l)+cos2(x+1)

/、cos—+a

C.cos(-571)D.(2丿

sin(-37i4-tz)

【正确答案】AD

【分析】根据诱导公式以及同角关系即可结合选项逐一化简求解.

【详解】对于A,sin2(-x-l)+8s2(x+l)=sin2(x+l)+cos2(x+l)=l,故A正确，

对于B,sin=sin+2jr]=sin=-sin=-1，故B错误，

对于C,cos(-5兀)=8S5TI=COS兀=-1,故C错误，

(71)

cos一+a..

对于D,<2丿=-sine=-sine=J,故D正确，

sin(-3兀+a)sin(7t+a)-sina

故选：AD

10.欧拉公式(EulerFormula)即+1=0被数学家们称为“宇宙第一公式(其中无理数

e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669

676277240766303535475945713821785251664274•••),如果记e小数点后第八位上的数字为

机，则用是关于"的函数，记为〃?=/(").设此函数定义域(domain)为A,值域(range)

为B,则关于此函数，下列说法正确的有()

A."5)=8B.函数/(〃)的图像是一群孤立的点

C.〃是俄的函数D.BeA

【正确答案】ABD

【分析】根据加=/(〃)的定义可知A正确；由〃eN*可知B正确；根据函数定义可知C错

误；根据A=N*,weN*可知D正确.

【详解】对于A,e小数点后第5位上的数字为8,.•..45)=8,A正确；

对于B,.的图像是一群孤立的点，B正确；

对于C,由e的值可知：当m=8时，〃=3,5,7,…，不符合函数的定义，C错误；

对于D,由题意知：4=N*;又/neN*，D正确.

故选：ABD.

11.下到说法正确的是().

A.若函数的定义域为[0,2],则函数〃2x)的定义域为[0,4]

B.〃x)=露图象关于点(-2,1)成中心对称

C.嘉函数“、)=(■-3〃?+3)/”T在(0,用)上为减函数，则〃?的值为1

D.若x>0,则―—的最大值是-3

X

【正确答案】BCD

【分析】利用抽象函数定义域的求法可判断A选项；利用函数的对称性的定义可判断B选

项；利用裏函数的定义与单调性求出机的值，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选

项.

【详解】对于A选项，若函数的定义域为［0,2］,对于函数〃2x),则042x42,解

得04x41,

故函数〃2x)的定义域为［0,1］,A错;

~4—x4-1x+1x+1x+3.

对于B选项，对任意的戸-2,/(-4-x)+/(x)=-----------+------=------+------=2,

-4—x+2x+2x+2x+2

故函数f(x)的图象关于点(—2,1)对称，B对;

对于C选项，若累函数=(>-3m+3)/1在(0,y)上为减函数,

nv-3/〃+3=1

解得m=l,C对;

3m-4<0

对于D选项,若x>0,'--=l-fx+—-=-3,

4

当且仅当x=—=>%=2时，等号成立，D对.

x

故选：BCD.

12.已知函数f(x)=sin〃x+cos"x(〃£N)则下列说法正确的是()

A.〃=1时，〃力的最大值为0

B.〃=2时，方程〃x)=2sinx+卜inx|在［0,2可上有且只有三个不等实根

C.I=3时,/("为奇函数

D.〃=4时，/(x)的最小正周期为

【正确答案】AD

【分析】A中，利用辅助角公式化简/(x),由正弦型函数最值求法可知A正确；B中，分

别在xe[O,可和工«兀,2司的情况下化简方程，根据sinx的值可求得方程根的个数，知B错

误；C中，由奇函数定义可知C错误；D中，利用同角三角函数关系和二倍角公式化简可得

〃X)=4COS4X+],由余弦型函数最小正周期求法可知D正确.

44

【详解】对于A,当〃=1时，f(x)=sinx+cosx=0sin(x+：),则的最大值为0,

A正确；

对于B,当〃=2时,/(x)=sin2x+cos2x=l,则方程为2sinx+卜inx|=l；

当X£[0,7r]时，2sinx+|sin=2sinA,+sinx=3sinx=1,贝ijsinx二;,

此时存在后€(0,看)，使得sinx()=g,且sin(7t-Xo)=g；

当X£(7C,2TI]时，2sinx+kinx|=2sinx-sinx=sinx=l,此时方程无解；

・・J(x)=2sinx+kinx|在[0,2可有且仅有两个不等实根，B错误；

对于C,当〃=3时，/(x)=sin3x+cos3x,

贝iJ/(-x)=sii?(—x)+cos3(—x)=-sin3x+cos3xK-/(x),\/(x)不是奇函数，C错误;

对于D,当〃=4时,

/(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)-2sin2xcos2x=1-^sin22x

(1-cos4x1/3

=1--------------=—cos4x+一,

444

\/(X)的最小正周期7=9亍TT=IT.D正确.

故选：AD.

关键点点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合应用问题，解题关键是能够将函

数化简为丫=Asin(cox+8)或产Acos(ox+e)的形式，结合正弦函数和余弦函数的性质来进

行求解.

三、填空题

13.tana=2，则sir/a+sinacosa-cos,an.

【正确答案】1

【分析】根据齐次式，利用弦切互化即可求解.

【详解】

.4./.2->\i.1sin2(z-cos2tz+sinacosa

sina+sinacosa-cos4a=Isin-a+cos-allsin'a-cos-a)+sinacosa=---------------------------------

'八'sin-a+cos-a

taira-l+tancr_4-1+2_

tan2a+l4+1

故1

14.写出一个同时满足下列两个条件的函数/(x)=.

①对气,工2e(0,+oo),有『(3々)=/&)+/(*2)；

②当xe(4,+oo)时，/(刈>1恒成立.

【正确答案】1映2》(答案不唯一)

【分析】由〃x)满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可

得答案.

【详解】解：因为由/(x)满足的两个条件可以联想到对数函数，

当f(x)=k>g2尤时，

对我,々e(0,+℃)，/(与刍)=log2axjAlogzX+bg?9=/(与)+/他)，满足条件①；

当xw(4,+a))时,/(x)>log24=2>l,满足条件②.

故log/(答案不唯一)

15.若定义在R上的函数/(x)满足：当,区^时，/(-sinx)+2/(sinx)=3sinxcosx,且

/(x+2)=/(x),则/(g)=.

【正确答案】-1.44

【分析】将一x代入已知等式，结合正余弦函数的奇偶性可构造方程组求得

/(sinx)=3sinxcosx,结合cosx2O可化简得到f(sinx)=3sinx->/l-sin2x：利用周期性可

知所求函数值为/[?)，令sinx=-1即可求得结果.

【详解】当时，

f(―sin(-力)+2f(sin(-x))=/(sinx)+2/(—sinx)=-3sinxcosx；

/(-sinx)+2f(sinx)=3sinxcosx

由＜得：/(sinx)=3sinxcosx,

/(sinx)+2/(-sinx)=-3sinxcosx

当Ww］时，cosx>0,「.cosx=Jl-siYx，**•/(sinx)=3sinx-Vl-sin2x；

/(x+2)=/(x),

令sink-(贝丫仁/一装乂信二36

25

故答案为•-第

关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够灵活应用正余弦

函数的奇偶性，采用构造方程组的方式求得/(sinx),利用周期性将自变量转化到的

范围内即可.

四、双空题

16.如图，单位圆被点A，4，，4分为12等份，其中4(1,0).角a的始边与x轴的非负半轴

重合，若4的终边经过点4，则cosa=；若sina=sin[a+gj,则角a的终边

与单位圆交于点.(从4,4，，》中选择，写出所有满足要求的点)

【分析】求出终边经过A,.则对应的角a和i的关系.

【详解】著=看，所以终边经过4则a=(i-1)e(l#i12,/?Z)

角a的始边与x轴的非负半轴重合，若a的终边经过点4,则。=胃27r,

2冗兀1

mkAcosa=cos—=-cos—=——

332

••（兀）.•兀.兀口n

sm<2=sina+—sma=sinacos—+cosasin—,即

I3丿33

1rr兀卄4兀

sina=sina•一+cosa-----tana=「.a=一取a=—

2233

（）（（

即/=,•-1^1#/•12」駆）i=3或色=i-12,，駆）i=9

经过点4,A,

故-；；A,A,

五、解答题

17.已知命题P：玉^e卜L1],片—%—。是假命题.

（1）求实数机的取值集合8；

（2）设不等式（x-3«）（x-。-2）<0的解集为4,若xeB是xeA的必要不充分条件，求实数”

的取值范围.

【正确答案】（1）3=（2,48）

【分析】（1）由题意得到M是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题,

由此得解；

（2）先由必要不充分条件的性质得到集合A是集合B的真子集，再分类讨论得到解集A,

从而列不等式求得。的取值范围.

【详解】（1）因为命题P：玉。目-1,1],片-毛-，”20是假命题，

所以命题-1P：Vxe[—1,—x—m<0是真命题，

所以〃7>X?—X在xe[—1,1]上恒成立，

令"x"/一x（—14x41）,则/（x）开口向上，对称轴为x=g,

所以“X）在-11）上单调递减，在，/上单调递增，

又〃T=(-1)J(-1)=2,41)=F—1=O,所以〃x)1rax=/(T)=2,

所以加>2,即〃?e(2,+8),故8=(2,十》).

(2)因为xeB是xeA的必要不充分条件，

所以集合A是集合B的真子集，又8=(2,田)，

因为(x—3a)(x—a—2)<0对应的方程(x—3a4x—a—2)=0的根为x=3。或x=a+2,

当3a>a+2,即a>l时，由(x-3a)(x—a-2)<0得a+2<x<3a,贝ljA=(a+2,3a),

所以a+222,则aNO,故a>l；

当3a=a+2,即a=l时，由(x—3a)(x-a—2)<0得(彳—丫<0,显然xe0,即A=0,满

足题意；

当3a<a+2,即a<l时，由(x-3a)(x-a-2)<0得3a<x<a+2,则A=(3a,a+2),

22

所以3aN2,则。2—，故：4a<l；

33

2「2、

综上：a>—,即ae-»+°°j.

18.已知函数/(x^x-q,«eR,若f(l)=T

⑴求。值；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并用定义给岀证明；

⑶用定义证明“X)在区间(0,+巧上单调递增.

【正确答案】(l)a=2；

(2)奇函数，理由见解析；

(3)证明见解析.

【分析】(1)将给定自变量及对应函数值代入计算即可.

(2)利用奇偶函数的定义直接判断作答.

(3)利用函数单调性定义，按步骤推理作答.

【详解】(1)函数f(x)=x-£中，因为/⑴=—1,则有1—a=—i,解得a=2,

所以a=2.

2

(2)由(1)知，函数/(x)=x——是奇函数，

x

222

函数/(X)=X定义域为(-00，。)(0,4-00),f(—X)=-x-----=-(x—)=—/(X),

X-XX

2

所以函数/(x)=x—-是奇函数.

X

222

=X-

(3)Vx,X2G(0,4-00),且，/(王)一/(/2)=%-------------(*2-----------)(1-1------------),

百x2百W

因为0<%<%2，则%一工2<°，再入2>0，即有/'(3)-/(工2)<0，因此。(%)<。(电)，

所以/(X)在区间(o,y)上单调递增.

19.记,ABC的内角A,B,C的对边分别为","c,已知—%A+1=sin2c

1-V2cos/11+COS2C

(1)若8=7,求C；

o

I»-n兀兀［、一sinC_屮r->-»

(2)右,求一^的氾围.

_64JsinB

57r

【正确答案】(1)五

/?R+近

(2)72,---------

【分析】（1）利用二倍角、辅助角和两角和差公式化简已知等式可求得sin（c-：］=g,结

合C的范围可求得结果；

（2）由应sin8=&sin［c-；］可知C=B+工或C=2-8,结合B的范围可确定

I4丿44

C=B+；,利用两角和差公式化简得到包£=立+变.丄，由tan8的范围可求得结果.

4sin822tanB

・、4/八u-V2sinA+1sin2C㈤V2sinA+l2sinCeosCsinC

【详解】（1）由工~7=-------=-------------得：——7=--------=----------1-------=--------,

1-V2cosA1+cos2C1-V2cosAl+2cos~C-lcosC

/.V2sinAcosC+cosC=sinC-V2cosAsinC，

即VlsinAcosC+V2cosAsinC=V2sin（A4-C）=sinC-cosC,

/.V2sinB=>/2sin,二sin（c-：）=g,

.c--e（----C--=-5兀

"414」2丿一,46解得.Cp

（2）由（1）知：&sin8=&sin（C-：）,

71713兀57tit,7K

BeA+Ce——A,-----A

6,4T'T212

:8=<^_工或8=兀_（<?_2]=次_（7,即C=B+工或C="_B；

4I4丿444

Be他用，.•.当C4-B时，八|\,對，不合题意，.•.C=B+二,

64J4L12」4

sinfB+—sin+—cosyr

.sinC=I4丿二22二夜V21,

sinBsinBsinB22tanB

sinC£正痴+夜

sinB'2

20.已知函数/（工）二-25吊21；-5-1一268$213+引+6+13>0,0〈0〈兀）£2

⑴求〃x)的最小正周期和单调增区间；

⑵若xe'l工］时，方程)(句=加有解，求实数，"的取值范围.

(3)将函数f(x)的图象向左平移三个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

再向上平移一个单位，得到函数g(x)的图象.填写下表，并用“五点法”画出g(x)在［0,2可上

的图象.

7T7113兀

XH---

6~6~

02兀

g（x）

TTjr

【正确答案】⑴最小正周期75单调递增区间为-彳+A,+E(荘Z)

⑵卜疯2]

(3)表格和图象见解析

【分析】(1)根据相邻两个对称轴之间距离为半个最小正周期可得T;利用二倍角和辅助角

公式化简得到/(x)=2sin(2ox+0-方｝由最小正周期和正弦型函数奇偶性的定义可求得

8少,由此可得"X)=2sin2x；利用整体代换的方式，令£+2航42xq+2E(keZ)即

可解得单调递增区间；

(2)根据正弦型函数值域的求法可求得f(x)的值域，即为机的取值范围;

(3)根据三角函数的平移和伸缩变换原则可求得g(x),根据五点法可补全表格，并描点得

到g(x)图象.

【详解】(1)相邻两个对称轴之间的距离为?\/(X)的最小正周期7=兀；

f(x)=cose-2s-9-l-^3cos(2cox+(p)+\=sin(2sr+0)-6cos(2GX+e)

=2sinl+I,

2兀

T=----=71,解得：69=1,/.=2sinI2x4-^-^-L

2co

/(X)为奇函数，:.(p-^=k.Tt(k&i),解得：9=1+E(keZ),

0<°<兀,:.(p=三,=2sin2x-

jrrr兀,，，兀

令-;+2EW2x《+2E(荘Z),解得:——+—+lat^kGZ),

44

■jr-jr

\/(X)的单调递增区间为一w+E，w+E(kwZ).

.兀5兀t-7C57c

(2)当XW-7,7n时，2xw-~»-,/.sin2xG，WJ/(x)e[-73,2];

6O1122Jo

•.・若方程〃X)=m有解，则机的取值范围为[-疯2].

(3)向左平移已个单位长度得：y=2sin2卜+1=2sin(2x+幫,

将y=2sin(2x+3|横坐标伸长到原来的2倍得：y=2sin(x+J

将)，=2sin(x+；J向上平移一个单位得:g(x)=2sinX+—兀+11

6丿

补全表格如下:

7T7T7137c1371

XH---712冗

662~2T

兀5n47t1l7t

X027c

i~6T

g(x)231-112

则g(x)在［0,2可上的图象如下图所示:

21.2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉

姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制,

但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防

护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间

T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个,

得到如下观测数据:

MD123456L

y(万个)L10L50L250L

若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过x(xeN")个单位时间T的关系有两个函数模

型y=px2+q与y=kax{k>0,a>1）可供选择.

（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.（参考数据：

垂）«2,236,76x2.449,1g2«0.301,lg6«0.778）

【正确答案】（1）选择函数>伏>0,。>1）更合适，解析式为y=2•（逃尸

（2）11个单位

【分析】（1）将x=2,y=10和x=4,y=50分别代入两种模型求解解析式，再根据x=6时

的值估计即可；

（2）根据题意2（石），210000,进而结合对数运算求解即可.

【详解】（1）若选丫=/对+虱0>0）,将x=2,y=10和x=4,y=50代入得

10

p=一

4p+夕=103

，解得

16〃+q=5010

q=~

102