2023-2024学年河北省卓越联盟高一（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省卓越联盟高一（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列关系正确的是（）

A.ac{a,b,c}B.0e{0}C.{0,1}呈ND.CeQ

2.已知全集U=R,集合4={xG/V|-l<x<6},B={x\x2-5x+4<0},则4n（CyB）=（）

A.{1,4,5}B.{x|-1<x<1或4<x<6}

C.{0,5}D.{0,1,4,5}

3.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（）

A.每一个命题都能判断真假

B.存在一条直线与两条相交直线都平行

C.对任意实数a,b,若a<b,则a?<b2

D.存在xeR,使-/-尤+1=0

4.对于实数a,b,c,下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,贝H<〈B.若a>b,则ac?>be2

ab

3

C.若M>bf则a>bD.若|a|>\b\,则a>b

5.a\x-2\W1”是“xH1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知全集U=R,能表示集合4=（x\x2-x-2<0}与B={x|0<x<5}关系的Venn图是（）

7.已知集合M=((1,0)},则下列与M相等的集合个数为()

①造刈济：东

②{(%y)|y=V%-1+V1-%}：

@{%|%=(一？JneN};

(4){%|-1<%<2,xGN}.

A.0B.1C.2D.3

8.已知实数a>1,则a2-6a+6（）

1-a

A.有最小值2B.有最大值2C.有最小值6D.无最小值

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列结论正确的是（）

A.%2+2+号的最小值为2B.当尤>0时，/7+吉22

C.x+工的最小值为2D.当%>。时，<7+1+±7?2

XVx+l

10.设计如图所示的四个电路图，条件4：”开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则4是8的必要条件的图

A.0B.{x|a<x<—1]

C.{x\x<a或x>—1}D.R

12.已知全集U={04,2,3,4,5）,4是U的子集，当xe4时，x-1g4且x+1£4则称x为4的一个“孤立元

素”，则下列说法正确的是（）

A.若4中元素均为孤立元素，则4中最多有3个元素

B.若4中不含孤立元素，则4中最少有2个元素

C.若4中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合4共有9个

D.若4中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合4共有6个

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.命题p：£R,/+芯<0的否定为.

14.如图，坐标系中矩形04BC及其内部的点构成的集合可表示为.y八

C

-3-2-1O1x

15.若{a2,0,-1}={a,b,0},则a—b=.

16.若%>0,y>0,x2+y2=xy(x2y2+2),则工+工的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知集合力={x|(x+2)(8-x)>0},B={x|—3<x<6}.

⑴求4U(CRB)；

(2)若。={x|m+1WxW2m-1},C=(4CB),求实数m的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知集合A-{x\ax2+ax+1=0,xG/?).

(1)若4恰有一个子集，求实数a的取值范围；

(2)若4恰有一个元素，求实数a的取值集合.

19.(本小题12.0分)

已知a,b均为正实数.

(1)求证：竽〈了手；

(2)若一个直角△ABC的两条直角边分别为a,b,斜边c=2,求直角△4BC周长，的取值范围.

20.(本小题12.0分)

已知p：VxG{x|-1<%<1},x2+x—k<0,q：BxeR,x2+2kx+3/c+4<0.

(1)若rp成立，求实数k的取值范围；

(2)若p和q中至多有一个成立，求实数k的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知关于x的不等式％/-2kx-k+1>0的解集为M.

(1)若"=/?,求实数k的取值范围；

(2)若存在两个实数a,b,且a<0,b>0,使得M={x|x<a或x>b},求实数k的取值范围;

(3)李华说集合M中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由.

22.(本小题12.0分)

已知x>0,y>0,x+y—2=a(xy—3).

(1)当a=0时，求xy的最大值；

(2)当a=1时，求：①x+2y的最小值；②去+尚的最小值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：选项4因为a是集合{a,b,c}中的元素，所以ae{a,b,c},表示的符号不正确，故A错误;

选项&因为。是任何集合的子集，所以0a{0},表示的符号不正确，故B错误；

选项C：因为N中含有元素0、1,而且还有其它元素，所以{0,1}呈N,故C正确；

选项。：因为C是无理数，而Q是有理数集，所以QCQ，故。错误.

故选：C.

根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断，即可得到本题的答案.

本题主要考查了集合的表示法、元素与集合的关系、集合的包含关系等知识，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：集合4=(x&N\-1<x<6}={0,123,4,5},B=(x\x2-5x+4<0}={x|l<x<4},

则CuB={x|x>4或x<1},

An(CyB)={0,1,4,5).

故选：D.

根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解.

本题主要考查补集、交集的运算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：BD都是存在量词命题，不符合题意；

4是全称量词命题，根据命题的定义可知其正确.

C,是全称量词命题，当a=-2,b=-l时，其错误.

故选：A.

利用全称命题和特称命题的定义判断，全称命题要为真命题必须对所有的都成立即可.

本题考查全称命题和特称命题的定义以及真假判断，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：当a=l,力=一1时，4显然错误；

当c=0时，B显然错误；

因为y=/在R上单调递增，若.3>人3,则一定有a>b,C正确；

当a=-2,b=l时，。显然错误.

故选：c.

举出反例检验选项AB。，结合幕函数的单调性检验选项C.

本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：当|%-2|黄1时，可得久且XH3,可以推出成立，

反之，若可能x=3,不能推出-2|羊1.

所以“|x-2|H1"是"x#1”的充分不必要条件.

故选：A.

根据充分必要条件的概念，对两个条件进行正反论证，可得答案.

本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：x2-x-2<0,则有(x-2)(x+l)W0,-1W尤W2,

71={x|—1<x<2},又B—{x|0<%<5},

则两个集合有公共元素，4nB={x|0<x<2}.

故选：D.

确定集合4,再观察与集合B的关系即可.

本题考查集合的关系，属于基础题.

7.【答案】C

【解析［解：①{(x,y)|={(1,0)}与集合M的元素相同，①符合题意;

@{(x,y)|y=V%-1+V1-%}={(1,0)}与集合M的元素相同，②符合题意；

@(x|x=~neN}={0,—1}力M>③不符合题意；

(4){x|-l<x<2,xe/V}={1,0}丰M,④不符合题意.

即符合条件的有2个.

故选：C.

分别检验各选项中的元素是否为(L0)，即可判断.

本题主要考查了集合相等的判断，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：令1=£1—1,则(2=1+1,t>0,

则a2-6a+6=_(t+l)2-6(t+l)+6=_t2-4t+l=_«+工)+4V_2+4=2，

1-at£、U一

当且仅当t=l,即a=2时取等号.

故选：B.

令£=。-1,则。=£+1,t>0,代入到所求式子后进行变形，然后结合基本不等式可求.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

9.【答案】BD

【解析】解：对于4,因为/+2>0,所以％2+2+壶Q2+2)•京=2,

当且仅当产+2=壶，即/+2=1时取等号，

又好+222,所以/+2取不到1,所以M+2+金的最小值不为2,故A错误；

对于B,x>0时，C+盍22JQx盍=2,当且仅当x=1时等号成立，故8正确；

对于C,当丫=一1时，x+-=-2<2,所以x+工的最小值不为2,故C错误；

XX

对于0,因为*20,所以，子+1>0,所以c+1+2I(C+1)2,

Vx+1yjVx+1

当且仅当，/+1=/，即％=0时取等号，故。正确.

VX+1

故选：BD.

根据基本不等式及不等式求最值得条件即可判断4BD,通过举反例即可判断C.

本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题.

10.【答案】BC

【解析】解：对于4当灯泡L亮时，有可能开关S2闭合，不能推出开关51闭合，

此时4不是B的必要条件，故A项错误；

对于B,由于开关区与灯泡L是串联关系，故由“灯泡L亮”可以推出“开关Si闭合”，

此时4是B的必要条件，故8项正确；

对于C,由于开关工、52与灯泡L是串联关系，

当时灯泡L亮时，可得开关Si、S2均闭合，所以4是8的必要条件，故C项正确；

对于D,不论开关国是否闭合，灯泡L都是亮的，

故由“灯泡L亮”不可以推出“开关Si闭合”，即4不是B的必要条件，故。项错误.

故选：BC.

根据题意，可得4是B的必要条件，即“灯泡L亮”可推出“开关又闭合”，由此判断可得答案.

本题主要考查充分必要条件的定义及其判断等知识，属于基础题.

11.【答案】AB

【解析】解：a(x-a)(ax+a)>0,

则a?。—a)(x+1)>0,

当a=0时，不等式的解集为R,

当aKO时，不等式变形为(x-a)(x+1)20,

方程(x—a)(x+1)=0的根为x=a或x=-1,

当a<—1时，不等式的解集为{x|x<a或x>-1},

当a=-l时，不等式的解集为R,

当a>-l且aRO时，不等式的解集为{x|xS-1或x2a},

故4B错误，CD正确.

故选：AB.

将原不等式变形为a2Q-a)(x+l)20,再对a分类讨论，即可求解.

本题主要考查不等式的解法，属于基础题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4项，由题意，孤立元素不相邻，集合U中最多同时找出3个孤立元素，故A项正确；

对于8项，若4中只有1个元素，则必为孤立元素，故B项正确；

对于C项，易知这样的集合这有{0,2},{0,3},{0,4},{0,5},{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,5}共10个,

故C项错误；

对于。项，不含“孤立元素”且包含有4个元素的集合有{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},

{234,5}共6个，故。项正确.

故选：ABD.

由定义可得“孤立元素不相邻”可判断A项，结合逆否命题可判断B项，对于C项、。项分别依次列举即可.

本题主要考查元素和集合之间的关系，属于基础题.

13.【答案】VxG/?,x2+x>0

【解析】解：3xGR,/+x<0的否定为：Vxe/?,x2+x>0.

故答案为：Vxe/?.x2+x>0.

存在改任意，将结论取反，即可求解.

本题主要考查全称命题和特称命题，属于基础题.

14•【答案】{(x,y)|{;

【解析】解：由图可得：-2<x40,且OWyWl.

故坐标系中矩形。ABC及其内部的点构成的集合可表示为{(x,y)|0)，

故答案为：{。，/1咚♦；()}•

根据图形即可得到变量的范围，进而求解结论.

本题主要考查集合的表示法，属于基础题.

15.【答案】2或-2

【解析】解：{。2,0,—1}={凡。,0}；

・•・a。0且b。0,

••考:;或脸」

・•・Q=1,b=—1或Q=-1,b=1；

故Q-b=2或-2.

故答案为：2或-2.

根据题意即可得出{，编或{，;二二；从而可解出a，b,即可求得结论.

本题主要考查集合相等的定义，列举法的定义，属于基础题.

16.【答案】2

【解析】解：由/+y2=2y2+2),可得(％-y)2=(盯)3,

两边同除以(孙>得G-Jy=七九

yx

又因为(工+-)2=(---)24-4--=xy+—>2Ixy•­=4,

Xxy/、yx，xyyxy\xy

当且仅当孙=白，即卜=:+匚或卜=:一匚时等号成立，

xy(y=2-yT31y=2+。

所以工+工N=2.

xy

故答案为：2.

先对已知等式进行变形，然后结合基本不等式可求.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)4={x|(x+2)(8—x)20}={x|—2SxW8},B={x|-3<%<6),

CRB={x\x<-3或x>6},

则AU(CyB)={x\x<-3或x>-2}；

(2)集合4={x|—2<x<8},B=(x|—3<x<6},/InB={x|—2<x<6},

若C=0,则m+1>2m=1,解得m<2；

m4-1<2m—1

若CH0,则?n+lN—2,解得24小工(，

2m—1<6

综上所述，实数m的取值范围为｛m|m芸｝.

【解析】(1)根据已知条件，结合补集、并集的定义，即可求解；

(2)结合集合的包含关系，并分类讨论，即可求解.

本题主要考查集合的运算，属于基础题.

18.【答案】解：(1)集合4恰有一个子集，则集合4是空集，

即关于x的方程ax?+ax+1=0无实数根.

当a=0时，1=0无解，满足题意；

当a*0时，4=a2—4a<0.解得0<a<4.

综上，实数a的取值范围是｛a[0<a<4｝.

(2)集合4恰有一个元素，

当a=0时，由(1)得集合4=0,不满足题意；

当a#0时，21=a2-4a=0,解得a=4或a=0(舍去).

所以实数a的取值集合为｛4).

【解析】(1)推导出集合4是空集，从而关于x的方程a/+ax+1=。无实数根，由此能求出实数a的取值范

围.

(2)当Q=0时，集合4=0,不满足题意；当aWO时，A=a2-4a=0,由此能求出实数a的取值集合.

本题考查子集定义、元素与集合的关系、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

19.【答案】解：(1)证明：由均值不等式可得，a2+b222ab,

则2(。2+2(a+匕>，

则的尤>(a+炉,

、2-4

又a,b均为正数，

则也<「亘，当且仅当a=b时等号成立；

2-N2

(2)依题意，a24-b2=c2=4,

由(1)可知，a+bS2]马口=2。，当且仅当a=b=/2时等号成立，

又Q+b>c=2,

则4<a+b+cS2，^+2,

即直角△ABC周长I的取值范围为(4,2，至+2].

【解析】⑴利用。2+八2血即可得证；

(2)利用(1)结合三角形三边的性质可得a+b的范围，进而得到周长1的取值范围.

本题考查均值不等式的运用，属于基础题.

20.【答案】解：(1)当-ip成立时，p不成立，

p：VxG{x|-1<%<1},x2+x<k,

当Vx6{x|-1<%<1}时，%2+xG{x|—%<2},

•••p成立时，k》2,「p不成立，k<2.

故实数k的取值范围为仅化<2).

(2)p和q中至多有一个成立，

考虑其反面：p和q均成立，

当q成立时，/=4/_4(3/c+4)》0,解得k<一1或k》4.

由(1)得，p成立时，/c>2.

p,q均成立时，由卜4-1或々/得人》生

(k)2.

故p,q至多有一个成立时，k<4.

综上，实数k的取值范围为仅化<4}.

【解析】(1)当->p成立时，p不成立，求出当Vx6{划一14x41}时，x2+%G{x|-1<%<2},即可得结

果.

(2)p,q均成立时，由H4一1或人》必得上》4.可得p,q至多有一个成立时，k<4.

(k>2.

本题主要考查复合命题的真假，属于基础题.

21.【答案】解：(1)不等式以2一2依一1+1>0的解集M=R,

①当k=0时，1>0恒成立，符合题意；

②当kHO时,则{黄=_轨(1i)<0,解得。<卜4

综上，实数k的取值范围为凶0<fc<1};

(2)因为不等式k/-2kx-k+1>0的解集为M