2023-2024学年湖南省永州市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年湖南省永州市高二上册期末数学模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求.

1.下列直线经过第一象限且斜率为-1的是()

A.x+y+l=0B.x+y-l=0

C.x-y-\=0D.x-j^+1=0

【正确答案】B

【分析】根据题意利用直线方程的斜截式即可选出答案.

【详解】满足题意的直线方程通式为：y=-x+6nx+y-b=()e>0)

故选：B

2.已知a=(1,—2,—2),b—(2,2,1—w),且4_1_3，则"2=()

A.5B.4C.3D.2

【正确答案】D

【分析】利用向量垂直充要条件列出关于加的方程，解之即可求得用的值.

【详解】a=(1,-2,-2),3=(2,2,1-m)，且Z'B，

则a•6=0,贝！］2x1+2x(―2)—2(1-加)=。,解之得加=2

故选：D

Y21

3.若双曲线C：T—%=l(a>01>0)的虚轴长为8,渐近线方程为歹=±万工，则双曲

线C的方程为()

A.3=122

B,匕-匕=1

164416

c-y2-1

6416

【正确答案】C

【分析】根据虚轴、渐近线的定义求解.

26=8

b=4,所以双曲线方程为三—二

【详解】由题可得，2_J_解得，1，

Q=86416

a2

故选:c.

4.设数列｛%｝的前〃项和为S“，若q=l,a“+I=2S,+l(〃eN*),则生=()

A.27B.64C.81D.128

【正确答案】C

【分析】利用题给条件即可依次求得的，%,%，%的值.

【详解】数列｛%｝的前〃项和为S“，q=l,%+|=2S,,+l

则a2=2S]+1=2q+1=3,ay-1S2+1=2(<2(+a2)+l=9,

a4=2s3+1=2(。]+%+°3)+1=27,

a5=2s4+l=2(al+a2+a3+a4)+l=81.

故选：C.

5.如图，在四面体力BCD中，E,F,G,，分别是BC,CD,的中点，点”是EG

和a/的交点，对空间任意一点。都有方+砺+双+/=左的，则左=()

【正确答案】D

【分析】证明出四边形EFG”为平行四边形，M为EG中点，利用空间向量基本定理求

解即可.

【详解】E,F,G,，分别是BC,CD,。力的中点，

故.EHI/BD,EFHGH,

所以瓦RG,“四点共面，且四边形EFG”为平行四边形，

故M为EG中点，

因为a+方=2砺，0C+0D^20G^

所以万+历+反+历=2(历+而)=4<^7,

故4=4

故选：D

6.已知抛物线C的焦点为F,准线为/,过尸的直线机与C交于1、8两点，点力在/上的

....\AF\

投影为£>,若|/3|=忸q,则扇=()

35

A.—B.2C.-D.3

22

【正确答案】B

【分析】结合图像，分析出点〃为4。的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果.

【详解】过点8作,垂足为E,作BH工AD,垂足为“，如图，

又因为所以四边形8EO〃为矩形，所以忸©=QM，

因为|/可=怛0，BH1AD,所以点”为NO的中点,

所以|。叫=»司，故=*=2忸河,

由抛物线的定义可得|/F卜|4D|,|3尸|=忸同,所以可=2忸目，即回

|即=2.

故选：B.

7.已知♦(-3,0),3(1,0),7是圆O：X2+J?=上上的动点,则尸外接圆的周长的

最小值为()

15兀17%19K23兀

A.——B.---C.---D.

444~4~

【正确答案】C

【分析】根据题意确定圆O：/+^2=16和圆a：(x+iy+(y—a)2=/+4,

有公共点，结合圆与圆的位置关系列出不等式可求解.

【详解】Z8中点横坐标为x=—1,所以/8P外接圆的圆心在％=-1上，

设圆心为。(7,0,则半径为厂=/«="+42,

2

圆心距d=OO[=[a+1,

圆O]:(x+1)~+(y—a)~=+4,

又因为尸在圆。上，所以圆。与圆a有公共点，

所以47a2+4<y/a2+1<4+V«2+4,

11+144+，。2+4显然成立,

4-J/+44J—+1两边同时平方可得,

16+4+a2-8V4+a2<a2+b所以8“+」219,

所以14+片之12,所以72里,

88

当且仅当4+/,解得a=更叵时取得等号,

18广8

所以周长的最小值为2无x，=V,

84

故选:C.

8.如图，瑞典数学家科赫在1904年通过构造图形描述雪花形状.其作法是：从一个正三角

形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉

底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为

1.则图④中图形的面积为()

【正确答案】A

【分析】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为%、%、%、%，图形面积依次记

为岳、邑、S3、54)图形分别记为、M2,M3、M4,图形的边数分别记为N1、N2、

华、N4,易得N“=3X4"T,牝=已］,s“八—S”=2xN“xa\\，利用累加法可求

得S4的值.

【详解】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为q、的、。3、%，

图形面积依次记为岳、昆、S3、S”图形分别记为加;、M］、M3、M4,

图形的边数分别记为N|、N］、$、N4,

观察图形可知］"=；（〃=1,2,3）,且q=l,N“+1=4N,,（〃=1,2,3）,且N|=3,

由题意可知，数列｛N,,｝是首项为1,公比为4的等比数列，则N.=3-4"T,

1/1、〃T

数列｛6,｝是首项为1公比为一的等比数列，%=L,

3\3/

由图可知，图形用是在图形M”的每条边上生成一个小三角形（去掉底边），

共增加了N“个边长为a„+1的正三角形,

由累加法可得S4=£+（$2-Sj+（S3-邑丹⑸-邑）

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得

2分.

9.已知a,h,c为非零实数，则下列说法正确的是（）

A.2b=a+c,是a,b,c成等差数列的充要条件

B.6=4是a，b,。成等比数列的充要条件

C.若a,b,c成等比数列，则1,工成等比数列

abC

D.若a,b,c成等差数列，则,，［成等差数列

abC

【正确答案】AC

【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案.

【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出2b=a+c是a,b,c成等差数列的充要条件,

故A正确；

对于选项B：6=疝，即〃=ac，又〃，b,C为非零实数，所以根据等比中项即可证明

a,b,c成等比数列，

a,b,c成等比数列，只能证明/=ac，即6=疝是。，b,c成等比数列的充分不必要

条件，故B错误；

对于选项C：若a,b,c成等比数列，则〃=ac，则=-x~,则L1成等比

1b)acabc

数列，故C正确：

对于选项D：若q,b,c成等差数列，则2b=a+c,无法得到故D错误;

bac

故选：AC.

10.如图，一个底面半径为道的圆柱被与其底面所成的角为。的平面所截，截面为椭圆，

若6=60°,则()

A.椭圆的短轴长为2百

B.椭圆的离心率为也

2

22

C.椭圆的方程可以为土+匕=1

4812

D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2行-3

【正确答案】ABD

【分析】利用图中的几何性质即可求出a,b,c,即可判断A,B,C的正误，利用二次函数的性

质即可求出椭圆上的点到焦点的距离的最小值.

【详解】设椭圆的长半轴为。，短半轴为6,

由已知可知cos600=—＞解得a=26，

2。

：6=百，•••椭圆的短轴长为2百，故A正确；

则椭圆的标准方程为上+'=1,故C不正确；

123

Vc2=a2-b2=9'c—3＞e=—=—=^~，故B正确：

a2V32

椭圆上的一点为一(々,九),其中一个焦点坐标为尸(3,0)，且呼=3-a，

则吐「=伉一3『+y；=彳；一6/+9+3一段-6%+12卜2月Mx。＜273)

该抛物线的对称轴为x=4,故函数在区间上单调递减，

当飞=26有最小值，此时|P用二=21-1273=3?-12万+=(2^-3

即归;九"=2行一3,故D正确.

故选：ABD.

11.已知双曲线C：/—券=i的左、右焦点分别为F2,过点马作直线与双曲线。的

右支交于A,B两点，若/6/8=90°,则()

A.|J^|=V5-1B.点A的横坐标为坐

C.直线的斜率左=±±且D.6的内切圆的面积

2

S=(6-2灼兀

【正确答案】ABD

【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出|4周、周，即可判断A,再由等面积法求

出小/，代入双曲线方程求出X”，即可判断B,再求出直线的斜率，即可判断C,利用直

角三角形即内切圆的性质求出内切圆的半径，即可判断D

【详解】由双曲线C：匕=1可得〃=162=2/2=3，

2

|力用一|/周=24=2

盟卜氐1

如图所示，由题意知＜|公6|=2。=2百，解得，',故A正确;

|"『+»父=忸月p\AF,\=y/5-1

在Rt鸟中，由等面积法知:周=；|£用|”|，解得|”|=亚，

代入双曲线方程得x：=l+[=g,又因为点A在双曲线的右支上，故肛=半，故B正确;

\AFJ\V5-13-V5

由图知当点A在第一象限，k=tan//^E=H=，一=—^一,

AF\AF^V5+12

由对称性可知，若点A在第四象限，则乜.=一三卫，故C不正确；

伤2

设6的内切圆为P,圆尸切/耳,45,8耳于己。,。，连接PE,PD,PC

易得PE1AF^PD1AB,PC1BFt,

\PE\=\PD\=\PC\,\A^=\AD\\EF^=|西网=\CB\,

四边形力。尸石是正方形，

故ABFX的内切圆半径

〃=；（|期|+|明-忸周）

=；（|9|+|/用+|叫卜忸片|）=；（6+1+6-1-2）=有-1,

对应面积为兀.（指-1『=（6-2斯）兀，故D正确.

故选：ABD

12.在长方体相C。一44GA中，AB=BC=2AA=2,E,E为的两个三等分点,

点尸是长方体力BCD-44Goi表面上的动点，则（）

3

A.而.而的最小值为‘B.而.而的最大值为2

4

C.NE尸E的最小值为30。D.NEPE的最大值为90。

【正确答案】BD

【分析】建立空间直角坐标系，得到瓦尸点的坐标，分析出尸位于长方体的四个侧面时情

况相同，尸位于长方体的上下两个平面时情况相同，分两种情况进行求解出而.而，得到

最值，并分析出NE/小'的最大值，举出反例得到C错误.

【详解】以/为坐标原点，分别以为x,〉,z轴，建立空间直角坐标系，

因为Z8=8C=2/4=2,所以8（2,0,0）,Q（0,2,1）,

—1——--2——(421、<242、

不妨设BE=：BDi，BF=}BDi，故同彳,；,F,

33<333；<333)

由对称性可知：P位于长方体的四个侧面时，所处情况相同，

不妨设尸(0,%")，加w[0,2],“€[0,1],

——<421W242)88、2

J1IJPE-PF――,——m,——n•—,——m,——n=—H-----2m+m24-----n+n2

(333八333J999

1______3

故当加=1,"=-时，pE.pp的最小值为一，此时

24

当〃=0或2,〃=0或1时，而.而的最大值为2,

由对称性可知：P位于长方体的上下两个平面时，所处情况相同,

不妨设P（s,f,0）,se[0,2]"e[0,2],

8c28c22

——2s+s+——2t+t+—

999

=(S-1)2+(-1)2,

故当s=l,z=l时，丽.师的最小值为0,

当s=0或2,/=0时二方.而的最大值为2,

综上：而•丽的最小值为0,而.而的最大值为2,A错误，B正确;

因为而.而的最小值为0，故cosDEPF的最小值为0,

因为可，所以NEP尸的最大值为90。，D正确；

当点尸与点8重合时，此时NEPE=0。，C错误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知直线x+y—2=0与圆％2+丁=8交于A,8两点，则|幺8|=

【正确答案】2G

【分析】求出圆心到直线的距离d,再由M@=2/2一储计算可得.

【详解】圆d+V=8的圆心坐标为（0,0）,半径r=2立，

|0+0-2|厂

圆心到直线x+y-2=0的距离d=l/'=<2,

Vl2+12

所以=2^Jr2-d2=2,（2匈2一（匈2=2瓜.

故26

ana为偶数

14.已知数列｛。“｝满足：a”wZ,%=1,。“+1=<255，则％=

3a〃+1,—为奇数.

【正确答案】1或8

【分析】根据递推关系，对巴分奇偶即可逐项求解得.

【详解】①若4为偶数，则由4=1可得%=£=>。3=2,

若生为偶数，则由。3=2可得生=3-=>。2=4,进而/=与=>%=8或者

4=34+1=。］=1,均满足要求，

若生为奇数，则由%=2可得%=34+1=>%=；，不符合要求，舍去，

②若%为奇数，则由%=1可得。4=3%+1=生=0,不符合要求，舍去，

综上q=8或q=1,

故1

15.《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下

底市，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，,

BB]CC,,0"均与曲池的底面垂直，且14=2,每个底面扇环对应的两个圆的半径分

另UX2,对应的圆心角为90。，则直线/片与49所成角的余弦值为.

4

A

1

CD

答案[2^2##—Vio

[JI

1010

【分1建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线z4与4A所成角的余弦值.

【说】延长48交CD于。，过点O作OT，平面ABCD,

以C原点，分别以O。，OA,。7所在直线为x,〃z轴建立空间直角坐标系.

贝心2,0),4(0,2,2),5,(0,1,2),£),(2,0,2),

则7=(0,-1,2),4^=(2,-2,0),

2A/10

则C

272x75-10

V10

则直

lo"

L

------>

CDX

故二

16.已知双曲线C：二一占=l（a>0,6>0）的左、右顶点分别为A、B,尸是C在第一象

a2b~

限的图象上的点，记N尸=,NPBA=0,N4P8=y,若tana+tan/?+4tany=0,

则双曲线。的离心率e=.

【正确答案】2

【分析】设点2（相,〃），则〃?〉0,〃>0,且牛—乌=1,分析可得tana=A^,

cib

tan（i=-kPB,tany=-tan（a+6），根据tana+tan夕+4tan/=0可求得双曲线C的

离心率的值.

2222

【详解】设点尸（加,〃），则〃?>0,〃>0,且4—%=1,可得机2=/+宁，易知

点4（-40）、B（a,o）,

〃n

期以，tancc=kpA—,tan0——kPB~~

m+am-a

22

Qnn£

।tanatan4=--,~r=--—

则m-aana2

cnn2na八

tana+tan胃=-------------=----z-----w0,

m+am-am-a

tan…ngi)=Tan(a+止一:二院舞tan«+tan/?

tanatany9-1

2na

加2

1+7

2na42na

tana+tan/?+4tany=一222=0

所以,m-a^h~m2-a2

1+—

4?i------

b~，则1+4'=4，可得e=Jl+J=2.

所以,

1+—a1ya2

a

因此,双曲线。的离心率为e=2.

故答案为.2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.如图，在正方体NBCD-44GA中，E为。2的中点.

（1）证明：直线8。〃平面ACE；

（2）求直线与平面ZCE所成角的正弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

【分析】（1）先利用中位线定理证得8口〃£。，再利用线面平行的判定定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，分别求出国与平面ZCE的法向量从而利用空间向量夹

角余弦的坐标表示即可得解.

【小问1详解】

连接直线80,设直线8。交直线ZC于点。，连接E。，如图，

因为在正方体Z3CD-44Goi中，底面/BCD是正方形，所以。为8。中点,

又因为E为。。的中点，所以BD0EO,

又因为EOu平面ZCE,BRa平面4CE,

所以直线8R〃平面力CE.

【小问2详解】

根据题意，以D4为x轴，。。为y轴，。"为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图,

不妨设正方体48。。一44G〃的棱长为2,则〃（0,0,2）,Z（2,0,0）,C（0,2,0）,

£(0,0,1),

故西=(0,—2,2),就=(-2,2,0),通=(—2,0,1),

/、AC-n=0—2x+2y—0

设平面/CE的法向量〃=(”z),则＜一

AEn=0—2x+z=0

令x=l,则y=l,z=2,故〃=(1,1,2),

设直线CD,与平面ACE所成角为。，则sin0=|cos（西

所以直线CD,与平面ZCE所成角的正弦值为

6

18.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,且用=25,4=2q+L

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）令c“=%+2"，,求数列｛%｝的前〃项和T„.

【正确答案】(1)an=2M-1

22

(2)T„=n2+--4n——

"33

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项,

（2）根据分组求和，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解.

【小问1详解】

,.15a.+10（y=25

设数列｛%｝的首项为q,公差为d,由题意得jq+1'

解得：d=2,ai-1

所以%=2n-1

【小问2详解】

因为C“=2〃-1+22“T

32,,-|

所以7；=c,+c2+---+c„=［1+3+---+（2/?-1）］+（2+2+---+2）

一（1+2〃-1）〃31-4"）_岛242

21-433

19.已知抛物线C：/=2px（p>0）的焦点为尸，点尸［0，0）在C上，且|PO|=|P尸］（。

为坐标原点）.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点（。,0乂。<0）的直线与抛物线C交于点/,8两点，若由+函为定值，求实

数”的值.

【正确答案】（1）y2=4x

（2）a=-\

【分析】（1）由|PO|=|PR|先表示出P点坐标，代入抛物线。的方程求P,得出抛物线C

的标准方程；

（2）设过（氏0）的直线为了=左（》-。）仕W0）,与抛物线C的方程联立，得出韦达定理及

11

判别式大于零，把韦达定理代入内+罚为定值，求出实数。的值.

\AF\\BF\

【小问1详解】

已知点网飞,@在c上，且司，/则点尸在线段o尸的中垂线上，即

尸］，句，把点尸代入抛物线C的方程_/=2内，则2=。，P>0，

解得p=2,所以抛物线C的标准方程为j?=4x.

【小问2详解】

设过（。,0）的直线为J=比（工一。）（左中0）,Z（X1,凹），B（x2,y2）

2_4

联立《、，得％2/一(2。左2+4)x+%%2=0,

y=k[x-a)'7

则A=(2ak2+47-4a2k4=16ak2+16>0，BPak2+l>0>

2ak2+4c42

且$+=2tz4——，王》2—a

~ie-k2

1,1_1,1X1+X2+2—X,+X2+2_2a+2+/

\AF\\BF\为24

+1X2+I(x,+l)(x2+l)X,X2+X]+X2+12a+a+l+

k2

11

因为西卡国为定值’

所以2a+2=2a+/+1,a<0>解得a=-l或a=l(舍去)

当a=-l,左w(—l,0)U(0,l)时A>0,

11

所以当y\AyF百\+=\BF\为定值时，a=-l.

20.如图，在三棱锥P—Z8C中，AB1BC,平面尸48_L平面Z3C,AB=BC=2,

尸/=6，PB=1.

（I）证明：PZ_L平面P8C；

7T

（2）若点。在线段4C上，直线PO与直线BC所成的角为一，求平面。8尸与平面C8P

4

夹角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

277

【分析】（1）由勾股定理证明241P8,由已知面面垂直证明线面垂直，再到线面垂直,

从而证得结果；

冗

(2)建立空间宜角坐标系，由直线PD与直线8c所成的角一，求得。点坐标，再求平面

4

08P与平面C8P的法向量，得出两平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

证明：在尸中，因为力8=2,尸6=1,。/=、回，

所以/父二尸无+尸/，所以以1PB,

因为力313C,平面PAB±平面4SC,平面PABc平面ABC=AB,BCu平面ABC,

所以8cl平面P48,

因为尸Zu平面尸Z6,所以BC上P4,

又PA±PB,PBcBC=B,PB,BCu平面PBC,

所以平面尸8c.

【小问2详解】

以8为坐标原点，8/为x轴正方向，8c为y轴正方向，过8垂直于平面/8C的直线为z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系8-孙z,

由题意得8(0,0,0),Z(2,0,0),C(0,2,0),平面P/8J.平面力8C,平面尸/8c平面

ABC=AB,过点尸作尸〃J.Z8于点〃，则P〃_L平面Z8C,PH=—,HB=~,

22

咦呼，

__ULU--(1'

所以，4c=(—2,2,0),SC=(0,2,0),BP=-,0,y-,

设点。/£)=44C(4,

贝ijAD=(一24,24,0)=(x-2,y,z),

所以x=2-2%,y=2A,2=0,

所以点。坐标为(2—24,240),

3_

所以。p24—,-24,

2

解得见

2

所以点。坐标为(1,1,0),则8。=(1,1,0).

设平面尸的法向量为％=(x”弘,zj

1,也

BP-n-0=011m、

则《}2、+2“I—，取X1=l,可得〃]=

BD-n=0''3

x芭+乂=07

因为_L平面CBP,

——3c<3

所以平面CB尸的一个法向量为4=-,0,-^-,所以

7

COS（〃1,P/）2_22手

1+1+.'93-F

----1----

44

所以平面DBP与平面C8P夹角的余弦值马区.

7

21.设数列｛%,｝的前〃项之积为北，且满足27；=1—a“(〃eN*).

1

(1)证明：数列〈，是等差数列，并求数列｛《,｝的通项公式;

1一4

(2)记S“=邛+以+…+12,证明：s“<；.

2〃一1

【正确答案】(1)证明见解析，an=-------

2M+1

(2)证明见解析

Z，〃=i1

1-U

【分析】(1)法一：根据氏=＜T„、。，得到%=-_■二，变形后得到

广，〃221-%

4-1

1「一=1(〃22),证明出结论，并求出通项公式:

1一%1

法二：由题目条件得到21=1一楙"(〃之2),得到＜5＞以3为首项，以2为公差的等差

I。[1

数列，求出1=-------，进而求出q=―匕，并证明出数列——、是等差数列；

2//+12M+1[l-a„

(2)利用放缩法得到窗＜黑一止^|，裂项相消法求和，得到S〃＜；.

【小问1详解】

方法一：当〃=1,得〃]=1,

3

当“22时，2%电…=1一。”①

2%。2…6I=1一%-1②

1—Q

两式相除可得：an=-~~J

1—3

变形为：——一=1(〃》2),

1-4

13f13

因为;一=彳，所以——卜是以士为首项，1为公差的等比数列.

1-a,22

13,

所以^—=7+(〃-1)

[~an2

2〃一1

化简可得见=-----

2〃+1

法二：因为…%，27；=1-a“(〃eN*),

所以27；=1-若(〃22)

11

即--------2(M>2)

]I、

令加=1,则(=一，--3

3T.

所以以3为首项，以