2024年山东省日照市东港区北京路中学中考数学一模试卷

2024年山东省日照市东港区北京路中学中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝2a5 C．（3a3）2＝9a6 D．a8÷a2＝a43．（3分）我市大力推进城市绿化发展，2023年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为（）A．2345×104 B．2.345×106 C．23.45×105 D．0.2345×1074．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD相交于点O，若AD＝1，则的值为（）A． B． C． D．6．（3分）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1）（正六边形），图2是其平面示意图，则∠1的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．60°7．（3分）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中（）A． B． C． D．8．（3分）公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，数学课上数学老师把该图放置在平面直角坐标系xOy中，此时正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，0），若反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过B，则k的值为（）A．12 B．15 C．18 D．219．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝（2，0），下列说法：①abc＞0；②a+b＝0；④若（﹣2020，y1），（2022，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；⑤b＞m（am+b），（其中m≠）；其中说法正确的是（）A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤10．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，C，G在同一条直线上，O是EG的中点，交BE于点H，连接FH交EG于点M；②△EHM∽△FHG；③＝﹣1；④（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）分解因式：ab2﹣ac2＝．13．（3分）如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°AB的长为半径，分别以点A，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和为．16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为﹣3，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上．三、解答题（本大题共8个小题，共72分）17．（8分）（1）计算：（﹣）3﹣|﹣2|+3tan30°﹣6+（2023﹣π）0；（2）先化简，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．18．（8分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）（n，﹣2）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出不等式的解集；（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请求出点P的坐标．19．（8分）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b，七年级成绩在80＜x＜90的数据如下（单位：分）：80ㅤ81ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ88ㅤ89c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表：年级平均数中位数众数方差七年级80.4mn141.04八年级80.4838486.10根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m＝，n＝；（2）下列推断合理的是；①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．20．（6分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为39米，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）21．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．23．（12分）【问题发现】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，使∠DAE＝90°，AD＝AE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为；【拓展延伸】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立；【归纳应用】（3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长．24．（12分）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C，点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（1＜m＜3）（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，连接BD，PB，若△PBD的面积为3，求m的值；（3）连接AC，过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，如果存在，请求出点P的坐标，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、既是轴对称图形，故A符合题意；B、D，是轴对称图形，故B；C、不是轴对称图形．故C不符合题意．故选：A．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝2a5 C．（3a3）2＝9a6 D．a8÷a2＝a4【解答】解：A、a3•a2＝a7+2＝a5，故本选项不符合题意；B、a2与a2不能合并，故本选项不符合题意；C、（3a2）2＝9a2，故本选项符合题意；D、a8÷a2＝a3，故本选项不符合题意．故选：C．3．（3分）我市大力推进城市绿化发展，2023年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为（）A．2345×104 B．2.345×106 C．23.45×105 D．0.2345×107【解答】解：2345000＝2.345×106．故选：B．4．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看易得是1个长方形（中间下面有一个小长方形）和一个三角形组成．故选：B．5．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD相交于点O，若AD＝1，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴，∵AD＝1，BC＝3．∴＝．故选：B．6．（3分）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1）（正六边形），图2是其平面示意图，则∠1的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．60°【解答】解：如图2，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝AF＝EF，∠BAF＝，∴∠ABF＝∠AFB＝＝30°，同理∠EAF＝30°，∴∠2＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故选：B．7．（3分）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中（）A． B． C． D．【解答】解：∵大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，∴小烧杯的容积是大烧杯与小烧杯顶部齐平时下部容积的，∴注满小烧杯的所需时间是大烧杯下部注水时间的，∴小烧杯、大烧杯内水面的高度差y随加水时间x变化的图象可能是选项C．故选：C．8．（3分）公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，数学课上数学老师把该图放置在平面直角坐标系xOy中，此时正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，0），若反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过B，则k的值为（）A．12 B．15 C．18 D．21【解答】解：∵A的坐标为（﹣1，0），∴设B（2，n），n﹣4），∵反比例函数y＝（x＞0，C两点，∴k＝6n＝（3+n）（n﹣4），整理得n5﹣4n﹣12＝0，解得n＝7或n＝﹣2（舍去），∴k＝3n＝18，故选：C．9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝（2，0），下列说法：①abc＞0；②a+b＝0；④若（﹣2020，y1），（2022，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；⑤b＞m（am+b），（其中m≠）；其中说法正确的是（）A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为，∴，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＜8，故①错误；∵b＝﹣a＞0，∴a+b＝0，故②正确；∵抛物线过点（8，0），∴4a+2b+c＝0，故③错误；∵抛物线的对称轴为，∴点（﹣2020，y1）与点（2021，y1）对称，∵a＜5，2021＜2022，∴y1＞y2，故④正确；当时，函数有最大值，当x＝m时，y＝am4+bm+c，∵，∴，即，故⑤正确．故选：B．10．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，C，G在同一条直线上，O是EG的中点，交BE于点H，连接FH交EG于点M；②△EHM∽△FHG；③＝﹣1；④（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE．故①错误；∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，∴OH＝OG＝OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，∵EF＝FG，∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，∴△EHM∽△FHG，故②正确；∵△BGH≌△EGH，∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO∥BG，∴△DHN∽△DGC，∴，设EC和OH相交于点N．设HN＝a，则BC＝2a，则NC＝b，∴，即a2+4ab﹣b2＝0，解得：a＝（﹣5+）b）b（舍去），则﹣7，∴﹣1，故③正确；∵△BGH≌△EGH，∴EG＝BG，∵HO是△EBG的中位线，∴HO＝BG，∴HO＝EG，设正方形ECGF的边长是2b，∴EG＝2b，∴HO＝b，∵OH∥BG，CG∥EF，∴OH∥EF，∴△MHO∽△MFE，∴，∴EM＝OM，∴﹣1，∴﹣8，∵EO＝GO，∴S△HOE＝S△HOG，∴＝﹣1．故④错误．故其中正确的结论是②③．故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x＞﹣1．【解答】解：∵x+1＞0，∴x＞﹣4．故答案为：x＞﹣1．12．（3分）分解因式：ab2﹣ac2＝a（b+c）（b﹣c）．【解答】解：原式＝a（b2﹣c2）＝a（b+c）（b﹣c），故答案为：a（b+c）（b﹣c）13．（3分）如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是m≤0且m≠﹣1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣8x+1＝0有两个实数根，∴，解得：m≤0且m≠﹣5．故答案为：m≤0且m≠﹣1．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°AB的长为半径，分别以点A，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE45°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°，由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，故答案为45°．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和为8．【解答】解：不等式组整理得：，解得：a﹣3≤x≤2，∵不等式组至少有4个整数解，即﹣6，0，1，3，∴a﹣5≤﹣1，解得：a≤7，分式方程去分母得：2a﹣4y＝6y﹣2﹣y﹣1，解得：y＝，∵分式方程解为非负数，∴≥6且，解得：a≥﹣且a≠6，∴a的范围是﹣≤a≤5且a≠1，则整数解为﹣1，7，2，3，3，之和为8．故答案为：8．16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为﹣3，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上．【解答】解：对于y＝﹣x2﹣3x+8，当y＝0时2﹣8x+4＝0，解得：x6＝﹣4，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣4，0），对于y＝﹣x3﹣3x+4，当x＝﹣7时，∴点D的坐标为（﹣3，4），作点D关于y轴对称的点T，则点T（2，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，最小值为线段TN的长．理由如下：当点E与点M不重合，点F与点N不重合时，根据轴对称的性质可知：DE＝TE，∴DE+EF＝TE+EF，根据“两点之间线段最短”可知：TE+EF+AF＞AT，即：TE+EF+AF＞TN+AN，∵AF＝AN＝2，∴TE+EF＞TN，即：DE+EF＞TN，∴当点E与点M重合，点F与点N重合时．∵点T（3，8），0），∴OH＝3，TH＝6，∴AH＝OA+OH＝7，在Rt△ATH中，AH＝7，由勾股定理得：，∴．即DE+EF为最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共72分）17．（8分）（1）计算：（﹣）3﹣|﹣2|+3tan30°﹣6+（2023﹣π）0；（2）先化简，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【解答】解：（1）（﹣）2﹣|﹣2|+7tan30°﹣60＝（﹣）﹣（3﹣﹣2＝（﹣）﹣2+++1＝﹣；（2）＝•＝＝，∵﹣2＜a＜3，a＝﹣5或1时，∴a可以是0或3，当a＝0时，原式＝．18．（8分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）（n，﹣2）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出不等式的解集；（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）将（2，3）代入，解得k＝6，∴反比例函数解析式为y＝．∴﹣2n＝6，解得n＝﹣3，所以点B坐标为（﹣4，﹣2），把（﹣3，﹣3），3）代入y＝ax+b得：，解得，∴一次函数解析式为y＝x+1；（2）由图象可得当x＜﹣3或0＜x＜2时式；（3）设点P坐标为（m，4），把y＝0代入y＝x+1得6＝x+1，解得x＝﹣1，∴点E坐标为（﹣3，0）．∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE＝×3PE+PE，∴PE＝10，即，解得m＝3或m＝﹣5．∴点P坐标为（4，0）或（﹣5．19．（8分）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b，七年级成绩在80＜x＜90的数据如下（单位：分）：80ㅤ81ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ85ㅤ88ㅤ89c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表：年级平均数中位数众数方差七年级80.4mn141.04八年级80.4838486.10根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m＝83，n＝85；（2）下列推断合理的是①；①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．【解答】解：（1）把七年级30个学生的成绩从小到大排列，排在第15和第16个数分别是81，故中位数m＝；七年级30个学生的成绩中出现次数最多的是85，故众数n＝85．故答案为：83；85；（2）由题意可知，样本中两个年级数据的平均数相同，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；若八年级小明同学的成绩是84分，等于八年级成绩的中位数，故②说法错误；故答案为：①；（3）600×＝340（名），答：估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名．20．（6分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为39米，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）【解答】解：过点A作AD⊥PQ，垂足为D，由题意得：AD＝CE，AC＝DE，∵斜坡AP的坡度为1：2.8，∴＝＝，∴设AD＝5x米，则DP＝12x米，在Rt△ADP中，AP＝＝，∵AP＝39米，∴13x＝39，解得：x＝3，∴AD＝15米，PD＝36米，∴AD＝CE＝15米，设AC＝DE＝y米，∴PE＝DP+DE＝（36+y）米，在Rt△BPE中，∠BPE＝45°，∴BE＝PE•tan45°＝（36+y）米，在Rt△ABC中，∠BAC＝76°，∴BC＝AC•tan76°≈2y（米），∵BC+CE＝BE，∴4y+15＝36+y，解得：y＝7，∴BC＝2y＝28（米），∴古塔BC的高度约为28米．21．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣6x2+800x﹣27500，所以y＝﹣5x6+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣8（x﹣80）2+4500，∵a＝﹣5＜8，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500；即销售单价为80元时，每天的销售利润最大．22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．【解答】①证明：如图，连接OB，∵BD为⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵点B为的中点，∴，∴∠CAB＝∠BAE，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠CAB＝∠OBA，∴OB∥AD，∴∠D＝90°，∴BD⊥AD；②解：如图，连接CE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵∠AEC＝∠ABC，∴，∴，∵AC＝9，∴EC＝12，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝90°，∴，∴⊙O的半径为．23．（12分）【问题发现】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，使∠DAE＝90°，AD＝AE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为相等；【拓展延伸】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立；【归纳应用】（3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长．【解答】解：（1）相等，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE，故答案为：相等；（2）成立，理由：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，∴，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABC＝∠ACE；（3）如图2，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∵AD＝DE，∴∠D