高考二轮复习理科数学课件选做满分大题2不等式选讲（选修45）

选做满分大题二不等式选讲(选修4—5)考情分析高考对不等式选讲要求不是太高,考查难度基本是中等偏易,考查热点是含有两个绝对值不等式的解法、利用绝对值三角不等式求最值,由绝对值不等式恒成立求参数范围,证明不等式的各种方法,近年来对柯西不等式考查的频率有所增加,应引起同学们的重视.绝对值不等式的应用是命题的热点.主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.备考策略1.复习含有绝对值不等式时,既要掌握含绝对值不等式的解法及去绝对值的基本思想,又要理解绝对值的几何意义,并能应用(1)|a±b|≤|a|+|b|;(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|证明不等式或求最值;2.解含绝对值的函数不等式及求此函数的值域或最值是复习的重点内容,要让学生熟悉这类问题的常用解法,要通过适当的练习确保得全分;3.复习不等式的证明时,要注重让学生掌握不等式的常用证明方法:比较法、综合法、分析法、放缩法,对应用柯西不等式证明不等式以及求最值问题,让学生了解并会用柯西不等式解决难度较小的问题即可.真题感悟2.(2021全国乙,理23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.解

(1)当a=1时,由f(x)≥6可得|x-1|+|x+3|≥6.当x≤-3时,不等式可化为1-x-x-3≥6,解得x≤-4;当-3<x<1时,不等式可化为1-x+x+3≥6,此时无解;当x≥1时,不等式可化为x-1+x+3≥6,解得x≥2.综上,原不等式的解集为(-∞,-4]∪[2,+∞).(2)若f(x)>-a,则f(x)min>-a.因为f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|(当且仅当(x-a)(x+3)≤0时,等号成立),所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>-a,即a+3<a或a+3>-a,3.(2020全国Ⅱ,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,当且仅当(x-a2)(x-2a+1)≤0时,等号成立.所以当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f(x)≥4.所以当a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).4.(2020全国Ⅲ,理23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥.5.(2023全国甲,文23)设a>0,函数f(x)=2|x-a|-a.(1)求不等式f(x)<x的解集;(2)若曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积为2,求a.知识精要1.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)性质:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,右等号成立,当且仅当ab≤0时,左等号成立.||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,左等号成立,当且仅当ab≤0时,右等号成立.(3)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:①|x|<a⇔-a<x<a;②|x|>a⇔x>a或x<-a.(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.误区警示去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏.误区警示利用基本不等式证明或求最值时,要注意满足的三个条件“一正二定三相等”,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.4.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(1)比较法:求差比较法,求商比较法.①求差比较法:由于a>b⇔a-b>0,a<b⇔a-b<0,因此要证明a>b,只要证明a-b>0即可;(2)分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.(3)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.(4)反证法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.(5)放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.5.柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.考点一求绝对值不等式的解例1(2023四川成都二模)已知函数f(x)=|x+1|+2|x-2|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式f(x+2)>f(x)的解集.规律方法含有绝对值不等式的解法(1)定义法;(2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式;(3)平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如|f(x)|<|g(x)|);(4)图象法或数形结合法;(5)不等式同解变形原理:即|x|<a(a>0)⇔-a<x<a,|x|>a(a>0)⇔x>a或x<-a,|ax+b|<c(c>0)⇔-c<ax+b<c,|ax+b|>c(c>0)⇔ax+b>c或ax+b<-c,|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).对点训练1(2020全国Ⅰ,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.例2(2023河南开封三模)已知函数f(x)=|x-a|+|x-b|.(1)若|a-b|>c,解不等式f(x)>c;(2)若b=1,且不等式f(x)<2-|a-2|的解集非空,求a的取值范围.解

(1)f(x)=|x-a|+|x-b|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|,∵|a-b|>c,∴f(x)>c恒成立,不等式f(x)>c的解集为R.(2)当b=1时,不等式f(x)<2-|a-2|的解集非空,即存在x使不等式f(x)=|x-a|+|x-1|<2-|a-2|成立,即f(x)min<2-|a-2|成立,∵f(x)≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,f(x)min=|a-1|,∴|a-1|<2-|a-2|,即|a-1|+|a-2|<2,规律方法|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法

解法1利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想解法2利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想解法3利用图象法,作出函数y=|x-a|+|x-b|和y=c的图象,结合图象求解对点训练2已知函数f(x)=|3x-a|+|x+1|.(1)若a=2,求不等式f(x)≤6x的解集;考点二函数不等式恒成立求参数范围例3(10分)已知函数f(x)=|x+2|-|x-6|.(1)求不等式f(x)<4的解集;(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≤x2+2x+m恒成立,求实数m的取值范围.【评分标准—找回丢分】

解:(1)由题意知

当x≤-2时,f(x)=-8<4恒成立;当-2<x≤6时,由2x-4<4得x<4,所以-2<x<4;当x>6时,f(x)=8,则f(x)<4无解.综上所述,不等式f(x)<4的解集为(-∞,4).5分【教师讲评—触类旁通】

分析1:在(1)中,既可以利用“零点分段法”求解也可以利用绝对值不等式的几何意义求解.分析2:在(2)中,通过分离参数将问题转化成求函数的最值问题,应用零点分段法去掉绝对值后再应用函数单调性求最值.分析3:函数不等式恒成立求参数范围问题一般有两种解法:一是利用函数思想转化为函数的最值问题;二是通过数形结合构造出两个函数,通过寻找临界状态得到参数的取值范围.对点训练3(10分)(2023陕西安康三模)已知函数f(x)=|2x+2|+|x-3|.(1)求不等式f(x)≤5的解集;(2)若∀x∈R,|a2-3a|≤f(x),求a的取值范围.(2)∵∀x∈R,|a2-3a|≤f(x),∴|a2-3a|≤f(x)min,6分由(1)知f(x)在(-∞,-1)内单调递减,在[-1,3)内单调递增,在[3,+∞)内单调递增,∴f(x)min=f(-1)=4,8分∴|a2-3a|≤4,∴-4≤a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.10分对点训练4(2023四川成都模拟预测)已知函数f(x)=|x+3|.(1)解不等式f(x)+|x-3|>8;(2)若f(x)≤m(|x-3|+|x+9|)在(-∞,+∞)内恒成立,求实数m的最小值.解

(1)因为f(x)+|x-3|=|x+3|+|x-3|,所以原不等式等价为|x+3|+|x-3|>8,当x≤-3时,不等式为-2x>8,解得x<-4;当-3<x<3时,不等式为6>8不成立,不等式无解;当x≥3时,不等式为2x>8,解得x>4.综上所述,不等式f(x)+|x-3|>8的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞).考点三不等式的证明例4(2023陕西宝鸡一模)已知a>b>c>0,求证:(2)a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.解题心得不等式证明的常用方法是比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.对点训练5(2019全国Ⅰ,理23)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.