【讲与练】高中物理人教版(2019)选择性必修1：1.5 弹性碰撞和非弹性碰撞课时2碰撞中动量与能量的关系学案

课时2碰撞中动量与能量的关系学习目标1．能用动量守恒及能量守恒分析问题。2．学会把物理多过程拆分成几个过程，并能明确他们之间存在着哪些联系。知识点1三种碰撞类型的判断三种碰撞类型即为弹性碰撞、完全非弹性碰撞和一般碰撞，三种碰撞动量均守恒，判断的关键是看碰撞前后的能量关系，如果碰撞前后系统动能守恒，为弹性碰撞；如果碰后两个物体一起运动，速度相等，则碰后动能损失最大，为完全非弹性碰撞。1．碰撞遵守的规律(1)动量守恒。(2)机械能不增加，即碰撞结束后总动能不增加，表达式为Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′。(3)速度要合理①两物体同向运动，碰前_v前<v后__，碰后_v前′≥v后′__。②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向肯定至少有一个改变或速度均为零。2．求解碰撞问题常用的三种方法(1)解析法：碰撞过程，若从动量角度分析，系统的动量守恒；若从能量角度分析，系统的动能在碰撞过程中不会增加；从物理过程考虑，题述的物理情景应符合实际情况，这是用解析法处理问题应遵循的原则。(2)临界法：相互作用的两个物体在很多情况下，皆可当作碰撞处理，那么对相互作用中两个物体相距“最近”、相距“最远”这一类临界问题，求解的关键都是速度相等。(3)极限法：处理碰撞问题时，有时我们需要将某些未知量设出，然后根据实际情况将未知量推向极端，从而求得碰撞的速度范围。知识点2三种临界模型模型分类特点及满足的规律弹簧模型弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统满足动量守恒、机械能守恒：m1v0＝(m1＋m2)v共，eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)(m1＋m2)veq\o\al(2,共)＋Epm弹簧处于原长时弹性势能为零，系统满足动量守恒、机械能守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2，eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)，v1＝eq\f(m1－m2,m1＋m2)v0，v2＝eq\f(2m1,m1＋m2)v0eq\f(1,4)光滑圆弧轨道模型最高点：m与M具有共同水平速度，系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒：mv0＝(M＋m)v共，eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)(M＋m)veq\o\al(2,共)＋mgh子弹打木块模型(同滑块滑板模型)子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同，子弹位移为木块位移与木块厚度之和。系统动量守恒、能量守恒：mv0＝(m＋M)v，FfL相对＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v2典例剖析典例1如图所示，在水平面上依次放置小物块C和A以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m，曲面劈B的质量M＝3m，劈B的曲面下端与水平面相切，且劈B足够高，各接触面均光滑。现让小物块C以水平速度v0向右运动，与A发生碰撞，碰撞后两个小物块粘在一起又滑上劈B。求：(1)C、A碰撞过程中系统损失的机械能；(2)碰后物块A与C在曲面劈B上能够达到的最大高度。解析：(1)小物块C与A发生碰撞粘在一起，由动量守恒定律得mv0＝2mv，解得v＝eq\f(1,2)v0，碰撞过程中系统损失的机械能为E损＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(2m)v2，解得E损＝eq\f(1,4)mveq\o\al(2,0)。(2)当A、C滑上B至最大高度时，A、B、C系统在水平方向上具有相同的速度v1，根据动量守恒定律，有mv0＝(m＋m＋3m)v1，从A、C碰撞后到在B上达到最大高度h的过程，根据能量守恒定律，有2mgh＝eq\f(1,2)×2mv2－eq\f(1,2)×5m×veq\o\al(2,1)，解得h＝eq\f(3v\o\al(2,0),40g)。答案：(1)eq\f(1,4)mveq\o\al(2,0)(2)eq\f(3v\o\al(2,0),40g)典例2一质量为m1的物体1以v0的初速度与另一质量为m2的静止物体2发生碰撞，其中m2＝km1，k<1。碰撞可能为弹性碰撞、完全非弹性碰撞以及一般碰撞。碰撞后两物体速度分别为v1和v2。假设碰撞在一维上进行，且一个物体不可能穿过另一个物体。物体1碰撞后与碰撞前速度之比r＝eq\f(v1,v0)的取值范围是(B)A．eq\f(1－k,1＋k)≤r≤1 B．eq\f(1－k,1＋k)≤r≤eq\f(1,1＋k)C．0≤r≤eq\f(2,1＋k) D．eq\f(1,1＋k)≤r≤eq\f(2,1＋k)解析：若物体发生弹性碰撞，则系统满足动量守恒和机械能守恒，即m1v0＝m1v1＋m2v2，eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)，联立解得eq\f(v1,v0)＝eq\f(1－k,1＋k)；若物体发生完全非弹性碰撞，碰撞后两物体速度相等，根据系统动量守恒，有m1v0＝(m1＋m2)v1，则物体1碰撞后与碰撞前速度之比eq\f(v1,v0)＝eq\f(m1,m1＋m2)＝eq\f(1,1＋k)，综上可得eq\f(1－k,1＋k)≤r≤eq\f(1,1＋k)，选项B正确。典例3如图所示，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C。B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)。设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短。求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中：(1)整个系统损失的机械能；(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。解析：(1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得mv0＝2mv1，①此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE。对B、C组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得mv1＝2mv2，②eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝ΔE＋eq\f(1,2)×(2m)veq\o\al(2,2)，③联立①②③式得ΔE＝eq\f(1,16)mveq\o\al(2,0)。④(2)由②式可知v2<v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为Ep，由动量守恒定律和能量守恒定律得mv0＝3mv3，⑤eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－ΔE＝eq\f(1,2)×(3m)veq\o\al(2,3)＋Ep，⑥联立④⑤⑥式得Ep＝eq\f(13,48)mveq\o\al(2,0)。答案：(1)eq\f(1,16)mveq\o\al(2,0)(2)eq\f(13,48)mveq\o\al(2,0)典例4如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上A点从静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点。已知小车质量M＝3m，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。则(B)A．全程滑块水平方向相对地面的位移为R＋LB．全程小车相对地面的位移大小为s＝eq\f(R＋L,4)C．小车运动过程中的最大速度vm＝eq\r(2gR)D．μ、L、R三者之间的关系为R＝4μL解析：小车与滑块组成的系统在水平方向上动量守恒，设全程小车相对地面的位移大小为s，则滑块水平方向相对地面的位移x＝R＋L－s，由动量守恒定律得meq\f(x,t)－Meq\f(s,t)＝0，即0＝Ms－m(R＋L－s)，解得s＝eq\f(R＋L,4)。因此，全程滑块水平方向相对地面的位移为R＋L－s＝eq\f(3,4)(R＋L)。滑块从A点开始滑到B点时，小车速度最大，系统能量守恒且在水平方向上动量守恒，mgR＝eq\f(1,2)mv′2＋eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,m)，mv′＝Mvm，联立解得vm＝eq\r(\f(gR,6))。滑块最后恰好停在C点，对系统在全过程中应用能量守恒，mgR＝μmgL，解得R＝μL。故选B。典例5如图所示，质量为M的木块静置于光滑的水平面上，一质量为m、速度为v0的子弹水平射入木块且未穿出。设木块对子弹的阻力恒为F，求：(1)射入过程中产生的内能为多少？木块至少为多长时子弹才不会穿出？(2)子弹在木块中运动了多长时间？解析：(1)以子弹和木块组成的系统为研究对象，据动量守恒定律可得mv0＝(m＋M)v，解得v＝eq\f(mv0,m＋M)动能的损失ΔE＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v2＝eq\f(Mmv\o\al(2,0),2(M＋m))，损失的动能转化为内能。FL＝eq\f(Mmv\o\al(2,0),2(M＋m))，解得L＝eq\f(Mmv\o\al(2,0),2F(M＋m))。(2)以子弹为研究对象，设子弹在木块中运动时的加速度大小为a，则F＝ma由牛顿运动定律和运动学公式可得t＝eq\f(v－v0,－a)＝eq\f(Mmv0,(M＋m)F)。答案：(1)eq\f(Mmv\o\al(2,0),2(M＋m))eq\f(Mmv\o\al(2,0),2F(M＋m))(3)eq\f(Mmv0,(M＋m)F)1．(多选)质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ。初始时小物块停在箱子正中间，如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为(BD)A．eq\f(1,2)mv2 B．eq\f(1,2)·eq\f(mM,m＋M)v2C．eq\f(1,2)NμmgL D．NμmgL解析：两物体最终速度相等，设为v1，由动量守恒得mv＝(m＋M)v1，系统损失的动能为ΔEk＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)(m＋M)veq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)·eq\f(mM,m＋M)v2，系统损失的动能转化为内能，故ΔEk＝Q＝NμmgL。2．(多选)水平地面上有两个物体在同一直线上运动，两物体碰撞前后的速度—时间图像如图所示(其中一个物体碰后速度变为0)。下列说法正确的是(BC)A．t＝0时，两物体的距离为1mB．t＝2.5s时，两物体的距离为4.5mC．两物体间的碰撞为完全弹性碰撞D．碰撞前，地面对两个物体的摩擦力大小不相等解析：由v－t图像知，两物体相向运动，均做匀减速运动，t＝1s时相碰，可知t＝0时，两物体的距离为Δx＝eq\f(1,2)×(4＋6)×1m＋eq\f(1,2)×(2＋6)×1m＝9m，故A错误；t＝2.5s时，两物体的距离为Δx′＝eq\f(1,2)×6×(2.5－1)m＝4.5m，故B正确；设碰前速度为正值的物体的质量为m1，速度为负值的物体的质量为m2。由动量守恒可知，碰后原来速度为正的物体的速度变为0，则m1×4＋m2(－2)＝m2×6，解得m1＝2m2；由能量关系：碰前E1＝eq\f(1,2)m1×42＋eq\f(1,2)m2×(－2)2＝8m1＋2m2＝18m2，碰后E2＝eq\f(1,2)m2×62＝18m2，则两物体间的碰撞为完全弹性碰撞，故C正确；碰前速度为正值的物体受到的摩擦力f1＝m1a1＝m1×eq\f(6－4,1)＝2m1，速度为负值的物体受到的摩擦力f2＝m2a2＝m2×eq\f(6－2,1)＝4m2＝2m1＝f1，故D错误。3．在冰壶比赛中，球员手持毛刷擦刷冰面，可以改变冰壶滑行时受到的阻力。如图(a)所示，蓝壶静止在圆形区域内，运动员用等质量的红壶撞击蓝壶，两壶发生正碰。若碰撞前、后两壶的v－t图像如图(b)所示。关于两冰壶的运动，下列说法正确的是(B)A．两壶发生弹性碰撞B．碰撞后两壶相距的最远距离为1.1mC．蓝壶受到的滑动摩擦力较大D．碰撞后蓝壶的加速度大小为0.1m/s2解析：设碰后蓝壶的速度为v，碰前红壶的速度v0＝1.0m/s，碰后红壶的速度为v0′＝0.4m/s，取碰撞前红壶的速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得mv0＝mv0′＋mv，解得v＝0.6m/s；碰撞前两壶的总动能为Ek1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝0.5m，碰撞后两壶的总动能为Ek2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)′＋eq\f(1,2)mv2＝0.26m<Ek1，所以两壶碰撞为非弹性碰撞，故A错误；根据碰前红壶的v－t图线可知红壶的加速度大小为a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(1.2－1.0,1)m/s2＝0.2m/s2，所以蓝壶速度减为零的时刻为t＝eq\f(1.2,0.2)s＝6s，v－t图线与t坐标轴围成的面积表示位移，则碰后两壶相距的最远距离为x＝eq\f(0.6×5,2)m－eq\f(0.4×2,2)m＝1.1m，故B正确；根据v－t图线的斜率表示加速度，知碰后红壶的加速度比蓝壶的加速度大，两壶质量相等，所以红壶受到的滑动摩擦力比蓝壶的大，故C错误；碰后蓝壶的加速度大小为a′＝eq\f(0.6,6－1)m/s2＝0.12m/s2，故D错误。故选B。4．如图所示，质量为M的eq\f(1,4)光滑圆弧轨道半径为R，静止在光滑水平面上，质量为m的小球以一定的初速度v0向右运动，若小球恰能滑到eq\f(1,4)圆弧轨道顶端，求v0的大小。答案：eq\r(\f(2(M＋m)gR,M))解析：当小球滑到eq\f(1,4)圆弧轨道顶端时，两物体水平速度相等，设为v，系统水平方向动量守恒，则mv0＝(M＋m)v，①系统能量守恒，则eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mgR＋eq\f(1,2)(M＋m)v2，②联立①②式得v0＝eq\r(\f(2(M＋m)gR,M))。5．如图，水平轨道的右端固定一半径为l的竖直光滑半圆轨道，其直径BC竖直。水平轨道上质量分别为3m、m的两小物块P、Q将原长2l的轻弹簧压缩l后由静止释放。已知P、Q两物块与水平轨道间的动摩擦因数之比为1︰3，释放两物块时弹簧的弹性势能为Ep＝6mgl，物块与弹簧不粘连，物块Q与水平轨道右端B的距离为5l，已知物块Q到达B点时对轨道的压力大小为FNB＝7mg，重力加速度为g。求：(1)物块Q运动到C点时对轨道的压力大小FNC及最后落到水平轨道上的位置与B点的距离x；(2)物块Q运动到B点时物块P的速度大小v；(3)物块P向左运动的距离L。答案：(1)mg2eq\r(2)l(2)eq\f(1,3)eq\r(6gl)(3)5l解析：(1