2023届山东省泰安市泰山区泰安一中高三3月第一次高考模拟数学试题

2023届山东省泰安市泰山区泰安一中高三3月第一次高考模拟数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.等腰直角三角形BCD与等边三角形中，NC=90°,BD=6,现将△ABD沿80折起，则当直线40与平

面所成角为45°时，直线AC与平面45。所成角的正弦值为()

V3

已知函数/(x)(xeR)满足/⑴=1,且/'(x)<l,则不等式/(联耳<1g"的解集为(

患i而v?(2?

3.函数小)=呼的大致图象为，

4.某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成

样本，则这两个样本不变的数字特征是（）

A.方差B.中位数C.众数D.平均数

5.对于定义在R上的函数y=/（x）,若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（）

A./（%）在（—,0］上是减函数B./（X）在（（）,+/）上是增函数

C./（x）不是函数的最小值D.对于xeR,都有/（x+l）=〃l-x）

6.已知集合A={（x,y）|y=Jl—Y13={（x,y）|y=2x},则AB中元素的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

7.已知/（幻=/7-广"+工，则不等式/（幻+/（3-2均42的解集是（）

A.[1,+co)B.[0,+oo)C.(-oo,0]D.(-co,l]

8.函数/(x)=Asin(<yx+e)(A>0,0>0,|^|<y)的部分图象如图所示，则公。的值分别为（）

71兀

C.2,D.2,

T6

9.已知正三角形ABC的边长为2,。为边的中点，E、产分别为边A3、AC上的动点，并满足,司=2|。耳,

则£>E•。厂的取值范围是（）

A•弓］B.S心C.[-1,0|D.(-<»,0]

10.已知集合用={划―2<1<6},N={%|-3<x<log235},则MN=()

A.{x|-2<x<log235}B.{x|-3<x<log235)

C.{x|-3<x<6}D.{x|log235cx<6}

11.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直

角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30。，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不

计，取出“1.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）

A.134B.67C.182D.108

—,x>01

12.已知函数f(x)=<ex若函数g(x)=/(x)-%(x+R在R上零点最多，则实数k的取值范围是()

-X2-2x,x<0

221

A.(0,—)B.(-------,0)C.(------7=,0)D.(0,

3e3e27e

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

81

13.已知x,j>0,且二■一=1,则x+y的最小值为.

无y

14.在AA8C中，已知3=2A,AC=£BC，则A的值是.

15.已知函数/(x)=a\nx-hx2图象上一点(2,/(2)处的切线方程为y=-3x+2In2+2,贝］。+人=

16.正方体ABC。-44C2的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的

弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM.PN的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos3+〃cosA=0.

(1)求8；

(2)若b=4,求ABC的面积的最大值.

18.(12分)设函数/(x)=|x+2|-|2x-2|.

(1)解不等式

(2)记/(x)的最大值为M,若实数“、8、c满足a+b+c=M,求证：7«2+/?2+yjb2+c2+y]c2+a2>372•

,、Z7~-Q17—1

19.(12分)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足q=—l,a“＞0(〃22),S,,="M,〃eN*,各项均为正

6

数的等比数列也｝满足e=4也=包

(1)求数列的通项公式；

(2)若q,=ga,也，求数列｛cn｝的前n项和Tn

22

20.(12分)已知尸(0,-2),点A,B分别为椭圆E:=+《=l(a＞人＞0)的左、右顶点，直线8P交E于另一点

a，

QA4BP为等腰直角三角形，且仍。：口周=3:2.

(I)求椭圆E的方程：

(II)设过点P的直线/与椭圆E交于M,N两点，总使得NMON为锐角，求直线/斜率的取值范围.

21.(12分)AABC的内角A,民C的对边分别为,已知2Z?COS3=QCOSC+CCOSA.

(1)求的大小；

(2)若b=2,求A43C面积的最大值.

22.(10分)已知QER,函数/(x)=ln(x+l)-f+QX+2.

(1)若函数/(x)在[2,+8)上为减函数，求实数a的取值范围；

(2)求证：对(-1,+°。)上的任意两个实数X],》2，总有/[§玉+§工2/2§/(苞)+§/(无2)成立.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

设E为80中点，连接AE、CE,过4作AOLCE于点O,连接。。，得到NADO即为直线A。与平面BC£＞所成角

的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到NC4E即为直线AC与平面A8O所成角，进而求得其正弦值，得

到结果.

【详解】

设E为80中点，连接AE、CE,

由题可知AE_L8D,CE1BD,所以30,平面W，

过A作AOLCE于点0,连接。。，则AO_L平面8DC,

所以ZADO即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，

所以sinNAOO=^=9,可得AO=30，

2AD

在△AOE中可得。七=3,

又0C==BD=3,即点。与点C重合，此时有AC,平面8CQ,

2

过C作CELAE与点F,

又5。，平面AEC,所以B0_LCF,所以CF,平面45。，

从而角ZCAE即为直线AC与平面A3。所成角，sinZC4£=CE==走，

AE3733

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平

面角的定义，属于中档题目.

2、B

【解析】

构造函数g(x)=/(x)-X,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.

【详解】

设g(x)=/(x)-x,则函数的导数g'(x)=/(x)-l,Q/(X)<1,.•.g'(x)<o,即函数g(x)为减函

数，/(l)=l,.-.g(l)=/(l)-l=l-l=O,则不等式g(x)<0等价为g(x)<g⑴，

则不等式的解集为x>1,即/(x)<x的解为x>\,Qf(\g2x)<lg28,由心2》>i得igx>1或Igx<-1,解得x>10

或0<x<,，

10

故不等式的解集为(o,1)U(10,+8).故选：8.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力，是难题.

3、A

【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C,D；再由/（-g）<l判断A选项正确.

【详解】

排除掉c,D；

/（一》==\[eInV2,

InV2<lnVe=-,-Je<2>

2

.../（_；）=&ln及<1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法,

属于中档题.

4、A

【解析】

通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.

【详解】

由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.

本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50,所以（X“一百2没有改变,

22

根据方差公式S=1［（x1-x）++（夫-1）?］可知方差不变.

8

故选：A

【点睛】

本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5、B

【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可.

【详解】

由f(X+1)=/(1-X)得/(X)关于X=1对称，

若关于x=1对称，则函数/(X)在(0,+<»)上不可能是单调的,

故错误的可能是8或者是。，

若。错误，

则.f(x)在(-8,0]上是减函数，在/(x)在(0,+8)上是增函数，则/(0)为函数的最小值，与C矛盾，此时C也错误,

不满足条件.

故错误的是3,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.

6、C

【解析】

集合A表示半圆上的点，集合8表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.

【详解】

由题可知：集合A表示半圆上的点，集合3表示直线上的点，

联立y=J1—、与y=2x,

可得仄了=2%，整理得

即％=土且，

5

当》=一@时，y=2x<0,不满足题意；

5

故方程组有唯一的解[络,平.

I55)

„.R[(V526]

故=j—，^―>.

X),

故选：C.

【点睛】

本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.

7、A

【解析】

构造函数g(x)=/(x)-1,通过分析g(x)的单调性和对称性，求得不等式/3+/(3-2好42的解集.

【详解】

构造函数g(x)=/(x)-l=e，T-击+(x—l),

g(x)是单调递增函数，且向左移动一个单位得到A(x)=g(x+1)="-5+x,

〃(x)的定义域为R>且。(-x)=4-e*-x=-〃(x),

所以〃(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以g(x)图像关于(1,0)对称.

不等式.f(x)+/(3—2x)<2等价于/(同一1+〃3-2同一1W0,

等价于g(x)+g(3-2x)40,注意到g⑴=0,

结合g(x)图像关于(1,0)对称和g(x)单调递增可知x+3-2xW2nx21.

所以不等式/⑶+/(3-2%)<2的解集是［1,.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.

8、D

【解析】

由题意结合函数的图象，求出周期T,根据周期公式求出“，求出A,根据函数的图象过点求出9,即可求

得答案

【详解】

冬3T117T713"

由函数图象可知：-=—

41264

T=兀,

.,.②=2,A=\

函数的图象过点

/.1=sin^2x—+,

H7l_.71

<彳，则夕=工

故选。

【点睛】

本题主要考查的是y=Asin(5+。)的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周

期、最值，代入已知点坐标求出结果

9、A

【解析】

建立平面直角坐标系，求出直线A8:y=^(x+1),AC;y=-y/3(x-i)

设出点E(私百(根+1)),F(〃,—G(“—1)),通过|AE|=2|CT|,找出加与〃的关系.

通过数量积的坐标表示，将OE.。尸表示成，〃与〃的关系式，消元，转化成加或"的二次函数，利用二次函数的相关

知识，求出其值域，即为。£°尸的取值范围.

【详解】

以D为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为》轴建系，

设A((),君),8(-l,()),C(l,0),则直线A3:y=6(x+1),AC:y=-V3(x-l)

设点E(m,瓜m+1)),尸(〃，一G(〃-1)),-l<w<0,0<n<l

所以AE=(m,y/3m),CE=(〃-1,-百(〃-1))

由|AE|=2|CF|得加2=4(〃—1尸，即机=2(〃-1),

所以。石•。尸=〃?〃一3(加+1)5—1)=-4/+7/一3=-4(〃一一了+一，

816

由一1〈根=2(〃-1)<0及0<〃41,解得:4〃<1,由二次函数y=-4(〃—2)2+4的图像知，J],所以

2816216

OEQE的取值范围是•故选A.

216

【点睛】

本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用.

10、A

【解析】

根据对数性质可知5<log235<6,再根据集合的交集运算即可求解.

【详解】

v5<log235<6,

集合M={%|-2<%<6},

由交集运算可得Mr>N={x\-2<x<log235).

故选：A.

【点睛】

本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.

11、B

【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.

【详解】

解：设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,，走，

22

则小正方形的边长为且-2小正方形的面积S=(立一=1--,

122)2

22

则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为

«(1-0.866)x500=0.134x500=67'

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.

12、D

【解析】

将函数的零点个数问题转化为函数y=/(x)与直线y=z(x+；)的交点的个数问题，画出函数y=/(x)的图象，易知

直线y=k(x+g)过定点,0),故与/(X)在X<()时的图象必有两个交点，故只需与/(X)在x>()时的图象有两个

交点，再与切线问题相结合，即可求解.

【详解】

由图知y=f(x)与y=Z(x+g)有4个公共点即可,

即左e(0,左切)，当设切点(毛,％),

%'1

1

k

2&

【点睛】

本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

818x

处理变形x+y=x(—+—)+y=—+—+y结合均值不等式求解最值.

【详解】

81,

x,j>0,且F^■—=1,

xy

r,818x、。3后

则x+y=x(f1—)+y=—"।----1-y>3V8=1,

xyxy

8x

当且仅当一=—=y时取等号，此时x=4,y=2,取得最小值1.

xy

故答案为：1

【点睛】

此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.

【解析】

根据正弦定理，由AC=JiBC可得sinB=&sinA，由8=2A可得sin3=sin2A,将sin8=EsinA代入求解即

得.

【详解】

AC=y/3BC>:.h=\/3a>即sinB=KsinA，

B=2A,sin2A=A/3sinA，则2sinAcosA=bsinA,

sinA0>cosA->Ae(0,^),则A=2

26

故答案为：?

6

【点睛】

本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基础题.

15、1

【解析】

求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得。力.

【详解】

由题意f'(x)=--2bx,

x

•••函数图象在点(2J⑵处的切线方程为y=-3x+21n2+2,

@—4〃=—3a=2

2解得百

ciIn2—4-h——6+2In2+2

:.a+b=3.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础,

16、[0,2]

【解析】

由弦MN的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出PMPN，即可由忖。|范围求得PM.PN

的取值范围.

【详解】

连接P。，如下图所示:

设球心为。，则当弦MN的长度最大时，MN为球的直径，

由向量线性运算可知

PM-PN=（PO+OM）（PO+ON）

=PO+POON+OMPO+OMON

^PO2+PO（ON+OM）+OMON

正方体ABC0—44G。的棱长为2,则球的半径为1,ON+OM=Q,OMON=-1,

所以PO2+PO（ON+OM）+OMON

2

=P0-1，

而百]

2

所以P。--le[0,2],

即PM-PNe[0,2]

故答案为：[0,2].

【点睛】

本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)B=Z兀(2)生^

33

【解析】

(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得cosB=-',即可求得B;

2

(2)由余弦定理借助基本不等式可求得ac<y，即可求出ABC的面积的最大值.

【详解】

(1)(a+2c)cosB+bcosA=0,(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,

所以(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,

所以sin(A+B)+2cosBsinC=0,

sin(A+B)=sinC,cosB=——,

2

2

0<B<7T9B=-n.

3

(2)由余弦定理得〃=/+。2-2。。*卜3).42+。2+比=16234,

:.ac<~,当且仅当a=c=延时取等，

33

.0_1.116G_46

..Snr——acsinBW—x—x——----•

A"。22323

所以A3C的面积的最大值为逑.

3

【点睛】

本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形面积的最值问题，难度较易.

18、(1)(-00,-3]O-1,|

(2)证明见解析

【解析】

⑴采用零点分段法：x<—2、-2<x<\,x>l,由此求解出不等式的解集；

(2)先根据绝对值不等式的几何意义求解出”的值，然后利用基本不等式及其变形完成证明.

【详解】

(1)当％<-2时，不等式为一x—2+2x—222x—l,解得x<-3

当一时，不等式为x+2+2x—2之2%—1,解得一1〈尤<1

当x>l时，不等式为x+2—2x+2N2x—1,解得l<x4|

•••原不等式的解集为(―g,-3]u-1,|

(2)/(x)=|-^+2|-|2X-2|=|X4-2|-|X-1|-|X-1|<|(X+2)-(X-1)|-|X-1|=3-|X-1|<3

(x+2)(x—1)>0

当且仅当41八即1=1时取等号，

x-l=O

，/(x)max=3,a+b+c=3

,：a2+b2>2ab,：.2[a2+b2)>(a+bY,

：^cr+b2>—(a+b)(当且仅当a时取“=”)

2

同理可得病N也3+c)，y/c2+a2>^(c+a)

；•Jq2+12+“2+c，2+Jc，2+/>y/2(a+b+c)

yla2+b2+y/b2+c2+7c2+a2>372(当且仅当a=〃=c=l时取“=”)

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式证明不等式，难度一般.(1)常见的绝对值不等式解法：零点分段

法、图象法、几何意义法；(2)利用基本不等式完成证明时，注意说明取等号的条件.

19、(1)勺=3〃一4；勿=2"(2)7；,=(3n-7).2"+7

【解析】

(1)由S”二标"+i-9〃T化为=6Sn+9〃+],利用数列的通项公式和前“项和的关系，得到｛4｝是首项为1,

6

公差为3的等差数列求解.

(2)由(1)得到q,=(3〃-4>2"T,再利用错位相减法求解.

【详解】

(1)s"=""「"Li可以化为%:=6S.+9〃+1,

.•.a,：=6S,i+9(〃-1)+1,

•,•4+，-42=6q+9(〃之2),

，%+；=(4,+3)2,

又Q〃22时，an>0

■■”"+i=a”+3(,22)

.■•数列｛4｝从生开始成等差数列，

n2一9几—1

4=-1,代入S〃二用

6

得心=2,%—4=3

.•・｛。,,｝是首项为1,公差为3的等差数列，

=3〃-4,

b｝=a2=2,b3=a4=8,bn=2”.

(2)由⑴得c“=(3〃—4>2"T,

7；,=-1-2°+2-2'+?+(n-)."L

27；,^-1-^'^2-22+?+(n-)•”,

•••两式相减得

-7；,=-1+3(2|+22+?--+2,,-1)-(3«-4)-2,,,

=T+6(2"T_1)_(3〃_4>2",

.•工=(3〃-7>2"+7.

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式和前〃项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20、(I)]+y=l；(U)—2,—惇,2).

【解析】

3

(I)由题意可知：由PQ=—QB,求得。点坐标，即可求得椭圆E的方程；

2

(II)设直线丁=丘一2,代入椭圆方程，由韦达定理，由/>0,由NMON为锐角,则OM.ON>0，由向量数量

积的坐标公式，即可求得直线/斜率的取值范围.

【详解】

解：（I）根据题意AA8P是等腰直角三角形

..a=29

・•・3（2,0）,

设Q（q,y°）由俨。:依耳=3:2

3

得PQ=]QB

,6

%=不

则4

了「

代入椭圆方程得从=i

2

，椭圆E的方程为土+y=l

（II）根据题意，直线/的斜率存在，可设方程为y=依-2

设”（不，凶）N（w，%）

y=Ax-2

由＜尤2,得（1+442）X2—16阮+12=0

7）’

由直线/与椭圆E有两个不同的交点则/〉0

即（-162）2-4x12x0+4-）＞0

得公〉：

161

玉+々

~1+4k2

又

12

%々=1+4公

ZMON为锐角则cosAMON>0

/.OM•ON>0xxx2+y%>0

X%2+y%=X%2+（例-2）（依2_2）=（1+左2）西工2—2左（X+%2）+4>0

rr乙»122\6k「

即（1+左“）------2k-----+4A>0

,,1+4/v1+4/7

.•"2<4②

由①②得且<%<2或一2〈人〈一正

22

故直线/斜率可取值范围是-2,-亭日,2）

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考

查计算能力，属于中档题.

21、（1）—；（2）-^3•

【解析】

（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得cosB=；,根据Be（0,万）可求得结果；（2）

利用余弦定理可得a2+c2-ac=4,利用基本不等式可求得（。。）皿=4,代入三角形面积公式可求得结果.

【详解】

（1）由正弦定理得：2sin8cos6=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）

A+B+C=7r.'.sin（A+C）=sinB,又8£（0,»）/.sinB0

..2cosB=L即COS3=L

2

由8«0,乃）得：B=1

（2）由余弦定理/?2=/+/-2accosB得：a2+c2-ac=4

又/+。2>2ac（当且仅当。=c时取等号）/.4=。2+。2—

即（ac）=4

\/max

三角形面积S的最大值为：-X4sin5=^5

2

【点睛】

本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不

等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.

22、(1)]一叫，(2)见解析

【解析】

(1)求出函数的导函数，依题意可得/'(x)VO在xw[2,+8)上恒成立，参变分离得」一在xe[2,”)上

恒成立.设h(x)=2x———,求出/i(x),