近十年（2012-2021）全国各地高考数学真题分类汇编05 函数（教师版）

2012-2021十年全国卷高考真题分类精编函数（精解精析）

一、选择题

1.(2021年高考全国乙卷理科)设a=21n1.01,Z?=lnl.O2,C=7L04-1.贝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

解析：t7=21nl.01=lnl.012=In(1+0.01)2=In(1+2x0.01+0.012)>In1.02=/?,

所以

下面比较c与的大小关系.

2(Jl+4x-1-x

22

1+xJl+4x(l+x)Jl+4x

由于1+4X-(1+X)2=2x-x~=x(2-x)

所以当0<x<2时，l+4x—(l+x)2>0,即Jl+4尤>(l+x),/'(x)>0,

所以"％)在［。，2］上单调递增，

所以/(0.01)>/(0)=0,即21nl.01>—1,即a>c;

2h/l+4x-l-

令g(x)=In(1+2九)-J1+4%+1,则g(0)=0,g'(%)=-----——=_--------------

L1+2%(1+X)VT74^

由于l+4x-(l+2x)-=-4尤2,在x>0时,1+4X-(1+2X)2<0,

所以g'（x）<0,即函数g（%）在［0,+8）上单调递减，所以g（0.01）<g（0）=0,即皿1.02<Vk04—1,即

b<c;

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函

数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解

决的.

1—X

2.（2021年高考全国乙卷理科）设函数/（1）=——，则下列函数中为奇函数的是（）

1+X

A.B./（X-1）+1C./（X+1）-1D./（X+1）+1

【答案】B

1-Y2

解析：由题意可得/(%)=——=—1+——，

1+x1+%

对于A,y(x—1)—1=2—2不是奇函数；

对于B,7(X—1)+1=2是奇函数；

X

对于C,/(x+l)-l=——-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

x+2

对于D,y(x+i)+i=—2—,定义域不关于原点对称，不是奇函数.

x+2

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

3.(2021年高考全国甲卷理科)设函数“X)的定义域为R,了(％+1)为奇函数，/(X+2)为偶函数，当

9

xe[l,2]时，f(x)^ax2+b.若/⑼+/(3)=6,则/)

93..75

A.-----B.-----C.一D.-

4242

【答案】D

解析：因为/(X+1)是奇函数，所以/(—X+l)=—/(X+1)①;

因为〃x+2)是偶函数，所以〃x+2)=〃—X+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=-(4a+^),由②得：f(3)=f(l)=a+b,

因为/(€))+/(3)=6,所以一(4a+Z?)+a+/?=6a=—2,

令x=0,由①得：/(1)=—/(l)n/(l)=0nb=2,所以/(%)=—2*+2.

思路一：从定义入手.

所以一

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/(%)的周期T=4.

故选：D.

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简

便计算的效果.

4.(2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五

分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足

L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为

()(质"259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

解析：由L=5+lgV,当L=4.9时，lgV=-0.1,

_±II

则V=l(T°」=1010-------土0.8.

,^101.259

故选：C.

5.(2020年高考数学课标I卷理科)若2〃+log2a=4"+21og40则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

ab2b

【解析】设/(x)=2*+log2X,则/Xx)为增函数，m2+log2a=4+21og4b=2+log2b

a2b2i2/)

所以/(«)-f(2b)=2+log2a-(2+log22Z>)=2+log2b-(2+log22b)=log21=-l<0,

所以/(a)<"2。)，所以a<25.

b222b22fc

/(«)—/■(/)=2。+log2a-(2+log2Z^)=2+log2b—(2后+log2b)=2-2^-log2b，

当匕=1时，/(a)—/(/)=2〉0,此时/(a)>/(♦),有

当b=2时，/(a)-/(Z?2)=-l<0,此时/(a)</(/),有”力，所以C、D错误.

故选：B.

【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一

道中档题.

6.(2020年高考数学课标I卷理科)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)

的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（%%）«=1,2,…,20）得到下面的散

点图：

由此散点图，在10P至40（之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程

类型的是（）

Ay=a+bxe.y-a+bx2C.y=a+bexD.y-a+b\nx

【答案】D

【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率》和温度x的回归方程类型的是y^a+b\nx.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

7.（2020年高考数学课标H卷理科）若2'-2丫<3一，-3-，贝I（）

A.ln（y-x+l）>0B.ln（j-x+l）<0c.ln|x-_y|>0D,ln|x-y|<0

【答案】A

解析：由2"—2'<3^—37得：T-yx<2y-yy,

令/⑺=21,

一y=2,为R上的增函数，y=3r为R上的减函数，.•./（，）为H上的增函数，

二x<y,

Qy-x>0,:.y-x+l>l,.,.ln（_y-x+l）>0,则A正确，B错误；

与i的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调

性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

8.（2020年高考数学课标H卷理科）设函数〃尤）=ln|2x+l|-ln|2尤-1|,贝4（x）（）

A.是偶函数，且在（；,+s）单调递增B.是奇函数，且在单调递减

C.是偶函数，且在（F,-g）单调递增D.是奇函数，且在（F,-g）单调递减

【答案】D

解析：由/(x)=ln|2x+l|—ln|2x—1|得/(%)定义域为卜关于坐标原点对称,

又/(-%)=111|1_21_111卜2工_1|=111小_1|_132彳+1]=_/(%),

・・•/(同为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，/(x)=ln(2j;+l)-ln(l-2x),

y=ln(l—2司在)上单调递减,

Qy=ln(2x+1)在上单调递增,

上单调递增，排除B；

当|寸,/(x)=In(-2x-1)-In(1-2x)=In~~~~=Inf1+2

2x-l

〃=1H------在一00,上单调递减，/(〃)=ln〃在定义域内单调递增,

2x-lI

根据复合函数单调性可知：/(%)在上单调递减，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，

根据/(-可与/(力的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单

调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

9.(2020年高考数学课标II卷理科)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200

份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工

作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿

者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,

则至少需要志愿者()

A.10名B.18名C.24名D.32名

【答案】B

解析：由题意，第二天新增订单数为500+1600—1200=900,设需要志愿者x名，

——>0.95,尤217.1,故需要志愿者18名.

900

故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

45

10.(2020年高考数学课标III卷理科)已知55<8。13<8.设。=log53,b=log85,c=logi38,贝U()

Aa<b<c5.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

解析：由题意可知b、ce(O,l),

<7^1og53^1g3lg81_(Ig3+lg8V=(Ig3+lg8V=(lg24Y<.

225

blog85lg5lg5(lg5)〔2J121g5JUgJ'

4

由Z?=log85,得8〃=5，由55<8。得85“<84,.,.5Z?<4,可得。<,；

4

由c=logi38,得13'=8，由134<8"得”“〈”“，；.5C>4,可得C>,.

综上所述，a<b<c.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性

的应用，考查推理能力，属于中等题.

11.(2020年高考数学课标III卷理科)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城.有学者根

K

据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/⑴(t的单位:天)的Logistic模型：/⑺=i+e-o_23(T3)，

其中K为最大确诊病例数.当/(/*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则「约为

()(Inl9=3)

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

解析：/(0=i+&53)，所以/('*)=]+eAf-K,则e。*-53)=19,

所以，0.23(f—53)=11119^3,解得/*a3+53b66.

170.23

故选：c.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

12.(2019年高考数学课标III卷理科)设/(九)是定义域为R的偶函数，且在(0,+")单调递减，则

()

【答案】C

【解析】/(%)是R上的偶函数，log3^=/(-log34)(log34).

I4J

32

log34>1=2°>2_3>22>0,又/(%)在(3+8)单调递减，f(log34)</2J</^2

(3A(2\/1、

故选c

I4)

【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性,考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力.由

已知函数为偶函数，把/log1^,/^2-2(_2\

3f2与，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解

决本题的关键.

13.(2019年高考数学课标111卷理科)函数丁=二^二在［-6,6］的图像大致为()

'V+

A.JL,,Jr

IT

K

【答案】B

2x3,则(2(—x)3二=—所以是奇函数,

【解析】设,=/(%)=/人/-x)==—_2/(x),/(x)

2X+2~x2r+2*2X+2~X

图象关于原点成中心对称，排除选项C.又/(4)=-1二。8,排除选项A、D,故选B.

24+2-4

【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本题较

易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶

性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。

14.(2019年高考数学课标全国II卷理科)设函数/(%)的定义域为R,满足f(x+l)=2f(x)，且当1e(0,1]

Q

时，f(x)=x(x-l).若对任意工£(ro,加],都有f(x)--,则加的取值范围是()

A.f-oo,21.f-oo,!,

Bc.D.

I4」I3.

【答案】B

【解析】；Xe(0,l］时，f(x)=x(x-l),f(x+l)=2f(x),：.f(x)=2/(x-l),即/(元)右移1个单

位，图像变为原来的2倍.

Q

如图所示：当2<xW3时，f(x)=4f(x-2)=4(%-2)(%-3),令4(x—2)(x—3)=—§,整理得：

2788

9x-45%+56=0,I.(3x-7)(3x-8)=0(舍)，，玉=耳，x2=-,/.xG(-oo,m］时，

77

成立，即mW—,me—oo—故选B.

33

(说明：以上图形是来自@正确云)

【点评】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析

出临界点位置，精准运算得到解决.

易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，

需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力.

15.(2019年高考数学课标全国II卷理科)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背

面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地

面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗

日L点的轨道运行.4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为月球质量为A/2,

地月距离为R,4点到月球的距离为广，根据牛顿运动定律和万有引力定律，厂满足方程:

M,M,,„M,、r,,._.,3a3+3a4+a5.

------\+—^=(K+rx)T.设na=一.由于a的值很n小，因此在近似计算中：——®3a33,

(2)2/IJR3R(l+«)2

则r的近似值为)

【答案】D

【解析】由a=二得。火=厂.将其代入到必2+牛=（氏+厂）”中，可得磐=0+0「叫，

R（7?+r）2/）R3«2（1+02

M_(1+«)3-13a3+3a4+a5

2a2^3a3,

%(1+«)2(l+a『

【点评】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立a的方程，解方程、近似计

算.题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学

式子的变形及运算求解能力的考查.由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确

理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错.

16.（2019年高考数学课标全国I卷理科）函数/（幻=上吐=在［-办扪的图象大致为（）

cosx+x

【答案】D

解析：显然/（X）为奇函数，故排除A,当/（幻在y轴右侧开始取值时，/（X）>0,排除C,

八sin1+1I,,、加八4•小小、

又/（1）='~—->1,/（^）=~2->0,故选D-

COS1+171-1

17.（2018年高考数学课标III卷（理））函数丫=-犬+f+2的图象大致为（）

【答案】D

选D.

18.（2018年高考数学课标U卷（理））己知了（无）是定义域为（-w,+8）的奇函数，满足了（l-x）=/（l+x）.若

/（1）=2,则/⑴+X2）+"3）+L+/（50）=（）

A.-50B.0C.2D.50

【答案】C

解析：因为了（X）是定义域为（-00,+8）的奇函数，且满足了（I-尤）=/（l+X）,

所以/(I-(x+1))=/(l+(x+l)),即/(T)"(x+2)，所以f(x)=-f(x+2)，fix+4)=-f(x+2)=f(x),

因此/(x)是周期函数且T=4.

又/(1)+f(2)+”3)+L+"50)=12[/(1)+/(2)+f(3)+/(4)]+/(1)+/(2),

且/(2)=/(I+1)=/(1-1)=/(0)=0,/(3)=f(-l),f(4)=f(0)=0,所以f(l)+f(2)+f(3)+f(4)=0,

所以f(D+f(2)+八3)+L+f(50)=f(l)+f(0)=f(l)=2,故选C-

19.(2018年高考数学课标II卷(理))函数/(耳=一二的图象大致为()

【答案】B

解析：因为X/0,〃一幻=展兑=_/(x),所以了(无)为奇函数，排除A；/(l)=e-->0,排除D；

xe

因为-(X)=(♦+e-e*)•2x=(x2)e*+(x+2)eT,当彳>2时，:(x)>0,函数单调递增，

XX

排除C.故选B.

e\(x<0)

20.(2018年高考数学课标卷I(理))已知函数/(%)=')、,g(%)=/(%)+尤+〃.若g(x)存在

Inx,(x>0)

2个零点，则。的取值范围是()

A.[—1,0)B.[0,+co)C.[—1,+co)D.[1,+co)

【答案】C

解析：由g(x)=0得/(%)=-%-a，作出函数/(%)和y=-x-a的图象如图

当直线y=—x—。的截距—即aN—1时，两个函数的图象都有2个交点,即函数g(x)存在2

个零点，故实数。的取值范围是[-1,+8),故选C.

21.(2017年高考数学新课标I卷理科)设羽y,z为正数，且2工=3丫=5)则()

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yc.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

【答案】D

【解析】令2"=3〉=5'=左，则x=k>g2k,y=log3k,tz=log5k

3ylg231g左lg8

2x_2lgklg5=用竺<1,则2x<5z,故选D.

-

5zlg251gkIg32

【考点】指、对数运算性质

【点评】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的x,y,z,通过

作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和。与1的对

数表示.

22.(2017年高考数学新课标I卷理科)函数/(X)在(-8,+«>)单调递减,且为奇函数.若/⑴=-1,则满

足——2)<1的x的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】D

【解析】因为/(X)为奇函数且在(—8,4W)上单调递减,要使-1</(x)<1成立,则x满足—1WXW1,

所以由一IWX—2W1得1WXW3,即使——2)<1成立的x满足1WXW3,选D.

【考点】函数的奇偶性、单调性

【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若

/(九)在H上为单调递增的奇函数,且/(%)+/(%)>0,则西+%2>°，反之亦成立.

23.(2017年高考数学课标HI卷理科)已知函数/(X)=x2-2%+。(j1+二+1)有唯一零点，则。=

()

111,

A.---B.-C.—D.1

232

【答案】C

【解析】法一：f(x)=0^x2-2x=-a(ex-x+e1-"),设g(x)=e^1+e'-x,

2(x-l)_,

e

当g'(x)=0时，x=l,当x<l时，gr(x)<0,函数g(x)单调递减；当x>l时，gr(x)>0,函数

g(x)单调递增，当x=l时，函数取得最小值g⑴=2,设入(％)=犬—2%,当x=l时，函数取得

最小值T,若一。>0,函数人(%)和ag(x)没有交点，当一a<0时，—ag⑴=久⑴时，函数人(九)

和ag(x)有一个交点，即一ax2=-l,所以a=g,故选c.

法二：由条件，f(x)^x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得：

所以/(2-,即x=l为/(尤)的对称轴

由题意，/(%)有唯一零点，.../(%)的零点只能为％=1即/(1)=仔—24+a(e-+eT+i)=0

解得a=~~

2

【考点】函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想

【点评】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解,通过解方程即可得出参数的范

围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得

问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.

24.（2017年高考数学课标III卷理科）某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了

2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位:万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小,变化比较平稳

【答案】A

【解析】观察折线图,每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少,故选项A说法错误；

折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,故选项B说法正确；

每年的接待游客量七、八月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月，故选项C说法

正确；

每年1月至6月的折线图比较平稳，月接待游客量波动性较小，而每年7月至12月的折线图不平稳，波

动性较大,故选项D说法正确.

故选A.

【考点】折线图

【点评】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线,我们称这条

折线为本组数据的频率折线图,频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组

距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.

421

25.（2016高考数学课标III卷理科）已知a=,》=4二，c=25§,则（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

422122

【解析】因为a=2§=43>45=b,c=25J=5§>4§=a,故选A.

26.（2016高考数学课标III卷理科）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温

和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15。C.B点表示四月的平均最低气温

约为5°c.下面叙述不正确的是（）

A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20。C的月份有5个

【答案】D

【解析】由图可知0℃均在阴影框内，所以各月的平均最低气温都在0°C以上,A正确；由图可知在七月

的平均温差大于7.5℃,而一月的平均温差小于7.5℃,所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正

确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5°c,基本相同,c正确；由图可知平均最高气温高

于20℃的月份有3个或2个，所以D不正确.故选D.

X+]

27.(2016高考数学课标H卷理科)已知函数/(x)(X£R)满足/(—x)=2—/(%),若函数y=——与

%

m

y=/(x)图像的交点为(国,%),(々，％)，…，(/，%)，则2%+%)=()

Z=1

A.0B.mC.2mD.4m

【答案】B

x+]

【解析】y=:一的图像的对称中心为(0,1)

x

又函数/(%)(%eR)满足/(一%)=2-7(%),所以y=/(x)图像的对称中心为：(0,1)

mm1nm

所以2(%+%)=2%+=0+不'2=〃2,故选B

z=lz=li=\2

【点评】零点代数和问题系属研究对称性，确定交点的个数即可获解.

28.(2016高考数学课标I卷理科)若a>b>l,0<c<l,贝I()

cccc

(A)a<b(B)ab<ba(C)a10gzlc<blogac(D)logac<10gzlc

【答案】C

【解析】对A：由于0<c<l,..•函数y=在R上单调递增，因此A错误；

对B：由于一1<。一1<0,...函数y=x'T在。,+co)上单调递减，

：.a>b>l^>ac~A<bc~l<»bac<abc,B错误；对C：要比较alog^c和blog”c,只需比较

aInc―6Inc广…Inc-Inc,

-----和-----，只需比较-----和-----,只需blnb和alna

InZ?Inablnbalna

构造函数/(x)=xlnMx>l),贝U/'(x)=lnx+l>l>0,/(尤)在(l,+oo)上单调递增，因此

f(a)>f(b)>0alna>blnb>0―--<---

alnablnb

IncInc

又由0<c<l得IncvO,-------<-------oblog。c<alog^c,C正确

alnab]nb〜j

IncInc

对D:要比较log.C和log/,只需比较——和——

InaInZ?

而函数y=Inx在(1,+oo)上单调递增，故a>Z?>l=lna>lnb>。=---<----

InaInb

又由0<c<l得lnc<0,...巫Agolog.ologbC,D错误

Inamp

故选c.

29.(2016高考数学课标I卷理科)函数y=2/一别在［-2,2］的图像大致为()

【解析1】函数y=2x2-eM在［-2,2］上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为

/⑵=8-e2,0<8-/<1,所以排除A,3选项；当xe［0,2］时，y=4x-/有一零点，设为

/(/+2)=3%，当xe(O,Xo)时，/(x)为减函数，当芯6朝⑵时，/(x)为增函数.故选D.

【解析2】/(2)=8-e2>8-2.82>0,排除A

/(2)=8-e2<8-2.72<L排除B

%>0时，/(x)=2f—//(可=4］—当时，f(x)<jx4-e0=0

因此/(%)在单调递减，排除C故选D.

30.(2015高考数学新课标2理科)如图，长方形A8CD的边A3=2,BC=1,。是A5的中点，点P沿

着边BC,与ZM运动，^ZBOP=x.将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数/(幻，则

y=/(x)的图像大致为)

【答案】B

解析：由已知得，当点P在边上运动时，即OWx〈工时，PA+PB=Vtan2x+4+tanx；当点P

4

在边上运动时，即工Vx〈也,xw工时，PA+PB=J(——―1)2+1+.(―+1)2+1,当

442VtanxVtanx

x=-时，PA+PB=242；当点P在A。边上运动时，即—<X<71时，

24

PA+PB=Vtan2x+4-tanx,从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线％=工对称，且

2

,且轨迹非线型，故选B.

考点：函数的图象和性质.

l+log2(2-x),x<l,

31.(2015高考数学新课标2理科)设函数/(%)=<,/(-2)+/(log12)=()

2v-1,x>l,2

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

解析：由己知得了(—2)=l+log24=3,又log212〉1,所以/(log?12)=2*27=2*6=6,故

/(-2)+/(log212)=9,故选C.

考点：分段函数.

32.(2014高考数学课标1理科)如图，圆0的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角X的始边为射线

OA,终边为射线OP,过点P作直线的垂线,垂足为M,将点/到直线OP的距离表示为x的函

数/(x),则y=/(x)在［0,万］上的图像大致为()

AB

CD

【答案】B

解析：如图：过M作MD±OP于D,贝IjPM=sinx,0M=|cOSx|,在RtbOMP中，MD=

0M>PMcosx.sinx..,

-----------=JuL=cosxsin%

OP11'

1

=Jsin2H,f(x)=fsin2H(0<x<〃)，选B.

2

考点：(1)函数图像的应用(2)倍角公式的应用(3)数形结合思想

难度:B

备注:高频考点

33.(2014高考数学课标1理科)设函数/(X),g(X)的定义域都为R,且/(X)是奇函数，g(X)是偶函数,则

下列结论正确的是()

A.f(X)g(X)是偶函数B.I/U)1g(X)是奇函数

C.于(x)1g(x)1是奇函数D.1f(x)g(x)1是奇函数

【答案】C

解析：设F(x)=/(x)|g(x)|,则F(-x)=/(-x)|g(-x)|，:/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

F(-x)=—/(x)|g(x)|=-F(x),F(x)为奇函数,选C.

考点：(1)函数奇偶性的判断(2)函数与方程的思想

难度:A

备注:概念题

34.(2013高考数学新课标2理科)设a=log36,b=log510,c=log714,则()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

解析：a=1H-----—,Z?=1H------,c=1H------,显然a>b>c

log23log25log27

考点：(1)2.5.1对数式的化简与求值；(2)2.5.2对数函数的图象与性质

难度：B

备注：高频考点

35.(2012高考数学新课标理科)设点P在曲线y=；e」，点。在曲线y=ln(2x)上，则|P0最小值为

()

A.l-ln2B.72(1-In2)C.l+ln2D.72(1+In2)

【答案】B

解析：由反函数的概念可知：函数y=与函数y=ln(2x)互为反函数，图象关于y=x对称

1"

11x121

而函数y=—e"上的点P(x-e)到直线y=%的距离为d=r

22A/2

设函数g(x)=；e*—x,则g'(x)=；H—1,令g'(x)=O解得x=ln2

初判断知：g(x)=3"-x在x=ln2处取得最小值

g(%)min=1-1n2

1—ln2

由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为22皿=V2(1-In2).

考点：(1)2.5.4反函数及应用；(2)8.2.3距离公式的应用；(3)3.2.4导数与函数最值.

难度：C

备注：高频考点

36.(2012高考数学新课标理科)已知函数/(x)=-----——，则y=/(x)的图象大致为()

ln(x+l)-x

【答案】B

解析：设g(x)=ln(l+x)-x

贝1Jg'(x)=-/匚

1+X

.-.g(x)在(-1,0)上为增函数，在(0,+8