数学中考一轮复习专题15 二次函数的图象及其性质 课件

2022年中考数学一轮复习15二次函数的图象及其性质

考点课标要求考查角度1二次函数的意义和函数表达式通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义．常以选择题、填空题的形式考查二次函数的意义和函数解析式的求法，部分地市以解答题的形式考查．2二次函数的图象和性质①会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；②会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴．常以选择题、填空题的形式考查二次函数图象的顶点、对称轴、最值、抛物线的平移、二次函数与方程的关系等基础知识，以解答题、探究题的形式考查二次函数综合能力．中考命题说明知识点1：二次函数的概念

知识点梳理1.二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x

的二次函数．y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式．知识点1：二次函数的概念

知识点梳理2.二次函数的解析式：

二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）（3）两根式（交点式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)．如果没有交点，则不能这样表示．知识点1：二次函数的概念

知识点梳理3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c．（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．典型例题知识点1：二次函数的概念

【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.【考点】二次函数的定义.【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．A.y=3x-1是一次函数；B.y=ax2+bx+c不一定是几次函数；C.s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D.不符合二次函数定义．故答案为：C．典型例题【例2】（4分）（2019·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为________．【答案】

y＝(x－2)2＋1．【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式即可．【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．知识点1：二次函数的概念

知识点梳理知识点2：二次函数的图象和性质1.二次函数的图象：二次函数的图象是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线．（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线

，顶点是（

，）．当a>0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值．（2）抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．知识点梳理2.二次函数图象的画法：五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；（2）求抛物线y=ax2+bx+c

与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D．将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．知识点2：二次函数的图象和性质知识点梳理3.二次函数的性质：

二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a＞0时，抛物线开口向上，

a＜0时，抛物线开口向下；b与对称轴有关：对称轴为

；c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．知识点2：二次函数的图象和性质典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【例3】（3分）（2021•江西5/23）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象开口向上，对称轴x=＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象开口向上，对称轴x=＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．典型例题【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．知识点2：二次函数的图象和性质【例4】（4分）（2021•上海3/25）将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，以下错误的是（

）A．开口方向不变

B．对称轴不变

C．y随x的变化情况不变

D．与y轴的交点不变典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【解答】解：A、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．B、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．C、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，抛物线的性质不变，自变量x不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．D、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：D．典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【例5】（3分）（2021•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b），可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【解答】解：∵点（1，-b）在第一象限．∴-b＞0．∴b＜0．∵二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）．∴-b=a-b+c．∴a+c=0．∵a≠0．∴ac＜0．∴一次函数y=bx-ac的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识．关键在于判断b、-ac的正负性．典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【例6】（4分）（2021•福建10/25）二次函数y=ax2-2ax+c(a＞0)的图象过A（-3，y1），B（-1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（

）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】观察图像可知，y1＞y4＞y2＞y3，再结合题目一一判断即可．典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【解答】解：如图，由题意对称轴x=1，观察图像可知，，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【例7】（3分）（2021•山西10/23）抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（

）A．y=3(x+1)2+3 B．y=3(x-5)2+3 C．y=3(x-5)2-1 D．y=3(x+1)2-1【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，直接利用二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”．【解答】解：根据题意知，将抛物线y=3(x-2)2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y=3(x-5)2-1．故选：C．典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【例8】（3分）（2021•通辽10/26）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（

）典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【分析】在Rt△APQ中，利用勾股定理可求出PQ2的长度，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三种情况找出y关于x的函数关系式，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△APQ中，∠QAP=90°，AP=AQ=x，∴PQ2=2x2．当0≤x≤3时，AP=AQ=x，

∴y=PQ2=2x2；当3≤x≤4时，DP=x-3

，AP=x，

∴y=PQ2=32+32=18；当4≤x≤7时，CP=7-x，CQ=7-x，

∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2-28x+98．故选：C．典型例题知识点2：二次函数的图象和性质【例9】（12分）（2021•安徽22/23）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．(1)求a的值；(2)若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；(3)设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．典型例题知识点2：二次函数的图象和性质（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∵a＝1＞0，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1，结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，∴y1＞y2．【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为

，∴a＝1．典型例题知识点2：二次函数的图象和性质（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（

，m），B（

，m），∴AB＝

，联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（

，m），D（

，m），∴CD＝

，∴

．知识点3：二次函数的最值

知识点梳理二次函数的最值：（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当

时，

．（2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看

是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当

时，

；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax22+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax12+bx1+c

；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大=ax12+bx1+c

，当x=x2时，y最小=ax22+bx2+c

．典型例题知识点3：二次函数的最值

【例10】（5分）（2021•安徽14/23）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝

；（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是

．【分析】（1）把点（﹣1，m），直接代入抛物线解析式，即可得出结论；（2）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值．典型例题知识点3：二次函数的最值

【解答】解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．

故答案为：0．（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，∴

，∴抛物线顶点的纵坐标

，∵

＜0，∴n的最大值为2．故答案为：2．典型例题知识点3：二次函数的最值

【例11】（10分）（2021•重庆B卷25/26）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．典型例题知识点3：二次函数的最值

（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)沿射线AD平移

个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．知识点3：二次函数的最值

典型例题【分析】（1）直接代入点A，B坐标即可；【解答】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得

，∴

，∴y=x2-3x-4．典型例题知识点3：二次函数的最值

【分析】（2）作PE∥y轴交直线AD于E，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；（2）当x=0时，y=-4，∴点C（0，-4），∵点D与点C关于直线l对称，∴D（3，-4），∵A（-1，0），∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，典型例题知识点3：二次函数的最值

设