湖北省随州市广水市西北协作区2024年八年级数学第二学期期末质量检测试题含解析

湖北省随州市广水市西北协作区2024年八年级数学第二学期期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．直线上两点的坐标分别是，，则这条直线所对应的一次函数的解析式为()A． B． C． D．2．下列等式一定成立的是（）A．-= B．∣2-=2- C． D．-=-43．下列数据特征量：平均数、中位数、众数、方差之中，反映集中趋势的量有（）个.A． B． C． D．4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm5．在矩形中，是的中点，，垂足为，则用的代数式表示的长为（）A． B． C． D．6．若x1、x2是x2+x﹣1＝0方程的两个不相等的实数根，则x1+x2﹣x1x2的值为（）A．+1 B．﹣2 C．﹣2 D．07．如图，在中，度.以的三边为边分别向外作等边三角形，，，若，的面积分别是8和3，则的面积是（）A． B． C． D．58．下列关系式中：y＝﹣3x+1、、y＝x2+1、y＝，y是x的一次函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．10．观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．当五个整数从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么这组数据可能的最大的和是_____________.12．如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与ABP相似，则BM＝_____．13．若一组数据1，3，5，，的众数是3，则这组数据的方差为______.14．函数的自变量x的取值范围______.15．若一组数据6，，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是__________．16．在菱形ABCD中，∠A=60°，其所对的对角线长为4，则菱形ABCD的面积是_______．17．方程2x+10-x=1的根是______18．如图，菱形ABCD的边长是4cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为__________.三、解答题(共66分)19．（10分）已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为：．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE＝CF；（3）求△AEF周长的最小值．20．（6分）已知矩形中，两条对角线的交点为．(1)如图1，若点是上的一个动点，过点作于点，于点，于点，试证明：；(2)如图②，若点在的延长线上，其它条件和(1)相同，则三者之间具有怎样的数量关系，请写出你的结论并证明．21．（6分）（1）如图，在平行四边形中，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点.①求证：四边形是平行四边形；②已知，求的长.（2）已知函数.①若函数图象经过原点，求的值②若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围22．（8分）如图，已知直线和上一点，用尺规作的垂线，使它经过点．（保留作图痕迹，不写作法）23．（8分）如图,矩形中,,对角线、交于点,的平分线分别交、于点、,连接.(l)求的度数；(2)若,求的面积；(3)求.24．（8分）如图，在中，，D在边AC上，且．如图1，填空______，______如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线于H，分别交直线AB、BC与点N、E．求证：是等腰三角形；试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．25．（10分）如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（，），C′（，）；（2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（，）．26．（10分）小明为了解政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1、图2.小明发现每月每户的用水量为5-35之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不会考虑用水方式的改变.根据小明绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：（1），小明调查了户居民，并补全图1；（2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？（3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】

利用待定系数法求函数解析式．【详解】解：∵直线y=kx+b经过点P（-20，5），Q（10，20），

∴，

解得，

所以，直线解析式为．

故选：A．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，是中考的热点之一，需要熟练掌握．解题的关键是掌握待定系数法．2、D【解析】分析：根据二次根式的运算一一判断即可.详解：A.故错误.B.故错误.C.,故错误.D.正确.故选D.点睛：考查二次根式的运算，根据运算法则进行运算即可.3、B【解析】

根据平均数、中位数、众数、方差的性质判断即可．【详解】数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数．故选B．【点睛】本题考查的是平均数、中位数、众数、方差，掌握它们的性质是解题的关键．4、D【解析】

根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，，，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，=3cm，根据勾股定理得，，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm.故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记.5、B【解析】

如图连接DH，根据面积和相等列方程求解.【详解】解：如图所示连接DH，AB=m,BC=4,BH=2，则矩形面积=4m,AH=,则矩形ABCD=三角形ABH+三角形AHD+三角形DHC，则4m=m+DE×+m,解得DE=.【点睛】本题考查勾股定理和矩形性质，能够做出辅助线是解题关键.6、D【解析】

根据韦达定理知x1+x2＝﹣1、x1x2＝﹣1，代入计算可得．【详解】解：∵x1、x2是x2+x﹣1＝0方程的两个不相等的实数根，∴x1+x2＝﹣1、x1x2＝﹣1，∴原式＝﹣1﹣（﹣1）＝0，故选：D．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理和整体代入思想的运用．7、D【解析】

先设AC＝b，BC＝a，AB＝c，根据勾股定理有c2＋b2＝a2，再根据等式性质可得c2＋b2＝a2，再根据等边三角形的性质以及特殊三角函数值，易求得S3＝×sin60°a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S1＝c2，从而可得S1＋S2＝S3，易求S1.【详解】解：如图，设等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'的面积分别是S3，S2，S1，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90度，∴c2＋b2＝a2，∴c2＋b2＝a2，又∵S3＝×sin60°a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S1＝c2，∴S1＋S2＝S3，∵S3＝8，S2＝3，∴S1＝S3−S2＝8−3＝5，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质、特殊三角函数值的应用．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．8、B【解析】

形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案．【详解】解：函数y＝﹣3x+1，，y＝x2+1，y＝中，y是x的一次函数的是：y＝﹣3x+1、y＝，共2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．9、B【解析】

先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出一次函数与x轴的交点坐标，然后找出一次函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：把（0，3）代入得b＝3，所以一次函数解析式为，当y＝0时，即，解得x＝1，所以一次函数与x轴的交点坐标为（1，0），由函数图象可得，当x＜1时，y＞0，所以关于x的不等式的解集是x＜1．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标的取值范围．10、D【解析】

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】A.是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；

C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意；

D.是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意，

故选D.【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.二、填空题(每小题3分,共24分)11、21.【解析】已知这组数据共5个，且中位数为4，所以第三个数是4；又因这组数据的唯一众数是6，可得6应该是4后面的两个数字，而前两个数字都小于4，且都不相等，所以前两个数字最大的时候是3，2，即可得其和为21，所以这组数据可能的最大的和为21.故答案为：21.点睛：主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．12、2或【解析】

先利用等角的余角相等得到∠ABP＝∠CBM，利用相似三角形的判定方法得到当时，△BAP∽△BCM，即；当时，△BAP∽△BMC，即，然后分别利用比例的性质求BM的长即可．【详解】如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，∵PB⊥BF，∴∠PBM＝90°，∵∠ABP+∠CBP＝90°，∠CBP+∠CBM＝90°，∴∠ABP＝∠CBM，∴当时，△BAP∽△BCM，即，解得BM＝2；当时，△BAP∽△BMC，即，解得BM＝，综上所述，当BM为2或时，以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似．故答案为2或．【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解．13、2【解析】

先根据众数的概念得出x=3，再依据方差的定义计算可得．【详解】解：∵数据1，3，5，x的众数是3，∴x=3，则数据为1、3、3、5，∴这组数据的平均数为：，∴这组数据的方差为：；故答案为：2.【点睛】本题主要考查众数和方差，解题的关键是根据众数的概念求出x的值，并熟练掌握方差的定义和计算公式．14、x<-2【解析】

二次根式有意义的条件就是被开方数大于等于1；分式有意义的条件是分母不为1．【详解】根据题意得：－x－2＞1，解得：x＜﹣2．故答案为x＜﹣2．【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为1；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．15、4【解析】

因为其余各数均出现一次且众数为3，所以，x=3;然后从小到大，排序即可确定中位数.【详解】解：其余各数均出现一次且众数为3，所以，x=3，原数据从小到大排序为：3，3，4，5，6，所以，中位数为4【点睛】解答本题的关键是确定x的值，即灵活应用中位数概念.16、8．【解析】

直接利用菱形的性质结合勾股定理得出菱形的另一条对角线的长，进而利用菱形面积求法得出答案．【详解】如图所示：∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，其所对的对角线长为4，∴可得AD=AB，故△ABD是等边三角形，则AB=AD=4，故BO=DO=2，则AO=，故AC=4，则菱形ABCD的面积是：×4×4=8．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键．17、x=3【解析】

先将-x移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=9，求出x的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.【详解】解：整理得：2x+10=x+1，方程两边平方，得：2x+10=x2+2x+1，移项合并同类项，得：x2=9，解得：x1=3，x2=-3，经检验，x2=-3不是原方程的解，则原方程的根为：x=3.故答案为：x=3.【点睛】本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.18、8【解析】∵在菱形ABCD的边长为4，点E是AB边的中点，DE⊥AB，∴AE=AB=2，AD=4，∠AED=90°，∴DE=，∴S菱形ABCD=AB·DE=.故答案为：.三、解答题(共66分)19、（1）AE＝EF＝AF；（2）详见解析；（3）6．【解析】

（1）结论AE＝EF＝AF．只要证明AE＝AF即可证明△AEF是等边三角形；（2）欲证明BE＝CF，只要证明△BAE≌△CAF即可；（3）根据垂线段最短可知；当AE⊥BC时，△AEF的周长最小；【详解】（1）AE＝EF＝AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°∵BE＝EC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，∵∠EAF＝60°，∴∠CAF＝∠DAF＝30°，∴AF⊥CD，∴AE＝AF（菱形的高相等）∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．故答案为AE＝EF＝AF；（2）证明：如图2，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF（ASA）∴BE＝CF．（3）由（1）可知△AEF是等边三角形，∴当AE⊥BC时，AE的长最小，即△AEF的周长最小，∵AE＝EF＝AF＝2，∴△AEF的周长为6．【点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．20、(1)证明见解析；(2)，证明见解析【解析】

（1）过作于点，根据矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质进行推导即可得证结论；(2)先猜想结论为，过作于点，根据矩形的判定和性质、角平分线的性质进行推导即可得证猜想．【详解】解：证明：（1）过作于点，如图：∵，∴四边形是矩形∴，∴∵四边形是矩形∴，且互相平分∴∴∵，∴∵∴∴∴，即．(2)结论：证明：过作于点，如图：同理可证，∵，∴∴，即．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段．的和差等知识点，适当添加辅助线是解决问题的关键．21、（1）①详见解析；②13；（2）①m=3；②【解析】

（1）①只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；

②只要证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN=即可解决问题；

（2）①根据待定系数法，只需把原点代入即可求解；

②直线y=kx+b中，y随x的增大而减小说明k＜1．【详解】（1）①ABCD是平行四边形,又，∴DN∥BM，∴四边形是平行四边形；②解：∵四边形BMDN是平行四边形，

∴DM=BN，

∵CD=AB，CD∥AB，

∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，

∵∠CEM=∠AFN=91°，

∴△CEM≌△AFN（AAS），

∴FN=EM=5，

在Rt△AFN中，CM=；（2）①，∵函数图象经过原点代入解析式，即m-3=1,m=3;②根据y随x的增大而减小说明k＜1，即：解得：∴的取值范围是：.【点睛】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22、见解析【解析】

根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【详解】解：如图所示．【点睛】本题考查了作图-基本作图，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．23、（1）75°；（2）；（3）【解析】

（1）由矩形的性质可得AB∥CD，AO=CO=BO=DO，由角平分线的性质和平行线的性质可求BC=BE=BO，即可求解；

（2）过点H作FH⊥BC于F，由直角三角形的性质可得FH=BF，BC=BF+BF=1，可求BH的长，由三角形面积公式可求△BCH的面积；

（3）过点C作CN⊥BO于N，由直角三角形的性质可求BC=BF+BF=BO=BE，OH=OB-BH=BF-BF，CN=BC=BF，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AB∥CD，AO=CO=BO=DO，

∴∠DCE=∠BEC，

∵CE平分∠BCD

∴∠BCE=∠DCE=45°，

∴∠BCE=∠BEC=45°

∴BE=BC

∵∠BAC=30°，AO=BO=CO

∴∠BOC=60°，∠OBA=30°

∵∠BOC=60°，BO=CO

∴△BOC是等边三角形

∴BC=BO=BE，且∠OBA=30°

∴∠BOE=75°

（2）如图，过点H作FH⊥BC于F，

∵△BOC是等边三角形

∴∠FBH=60°，FH⊥BC

∴BH=2BF，FH=BF，

∵∠BCE=45°，FH⊥BC

∴CF=FH=BF

∴BC=BF+BF=1

∴BF=，∴FH=，∴S△BCH=×BC×FH=；（3）如图，过点C作CN⊥BO于N，

∵△BOC是等边三角形

∴∠FBH=60°，FH⊥BC

∴BH=2BF，FH=BF，

∵∠BCE=45°，FH⊥BC

∴CF=FH=BF

∴BC=BF+BF=BO=BE，

∴OH=OB-BH=BF-BF

∵∠CBN=60°，CN⊥BO∴，∴，∴.【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．24、（1）36，72；（2）①证明见解析；②CD=AN+CE，证明见解析.【解析】

（1）根据题意可得△ABC，△BCD，△ABD都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，然后利用三角形的内角和即可得解；（2）①通过“角边角”证明△BNH≌△BEH，可得BN=BE，即可得证；②根据题意可得AN=AB﹣BN=AC﹣BE，CE=BE﹣BC，CD=AC﹣AD=AC﹣BD=AC﹣BC，则可得CD=AN+CE.【详解】解：（1）∵BD=BC，∴∠BDC=∠C，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠A=∠DBC，∵AD=BD，∴∠A=∠DBA，∴∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，∴∠A=36°，∠C=72°；故答案为36，72；（2）①∵∠A=∠ABD=36°，∠B=∠C=72°，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵BH⊥EN，∴∠BHN=∠EHB=90°，在△BNH与△BEH中，，∴△BNH≌△BEH（ASA），∴BN=BE，∴△BNE是等腰三角形；②CD=AN+CE，理由：由①知，BN=BE，∵AB=AC，∴AN=AB﹣BN=AC﹣BE，∵CE=BE﹣BC，∴AN+BE=AC﹣BC，∵CD=AC﹣AD=AC﹣BD=AC﹣BC，∴CD=AN+CE.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.25、（1）画图见解析；B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2