2024年广东省汕头市金平区汕樟中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省汕头市金平区汕樟中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品2．（3分）在下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．x2﹣2xy+y2＝0 C．（x+3）（2x﹣5）＝0 D．x3+x+1＝03．（3分）直线y＝bx+c（bc≠0）关于原点对称的直线为（）A．y＝cx+b B．y＝﹣bx+c C．y＝﹣bx﹣c D．y＝bx﹣c4．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．5．（3分）下列关于二次根式的计算，正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（）A．c＜ B．c＜ C．c＞ D．c＞7．（3分）下列各式计算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．2a2×2a2＝2a4 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（4ab+1）（4ab﹣1）＝16a2b2﹣18．（3分）如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（）A． B．4cm C． D．6cm9．（3分）如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C的坐标为（）A． B． C． D．（2，2）10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣1）．已知点A在（﹣4，0）与（﹣3，0）之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线x＝﹣2．下列结论中正确的个数是（）①abc＜0；②；③；④若三点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）均在函数图象上，则y3＞y2＞y1；⑤若a＝﹣1，则△ABD是等边三角形．A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）计算：×＝．12．（3分）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，则∠BAF＝．13．（3分）不等式组的解是．14．（3分）小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小聪与小明出发min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是m/min．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解下列一元二次方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．17．（8分）已知＝2，求（+）÷的值．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，已知A（1，1），B（3，2），C（2，4）．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（2）作出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，作出平移后的△A3B3C3．19．（9分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC＝BC，求证：BC是⊙O的切线．20．（9分）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．AC＝BC．（1）求证：CD＝BE；（2）若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．21．（9分）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求证：DE2＝AE•FE；（3）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．23．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）和B（4，0）交y轴于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，在第一象限有一点M，到O点距离为2，线段BN与BM的夹角为45°，且BN＝BM，连接CN，求CN的长度；（3）对称轴交抛物线于点D，交BC交于点E，在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线手点P，动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．2．解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，故A不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；C、方程整理得2x2+x﹣15＝0是一元二次方程，故C符合题意；D、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故D不符合题意．故选：C．3．解：直线y＝bx+c（bc≠0）关于原点对称的直线为y＝bx﹣c．故选：D．4．解：A、＝，不是最简二次根式，故此选项错误；B、，是最简二次根式，故此选项正确；C、＝2，不是最简二次根式，故此选项错误；D、＝，不是最简二次根式，故此选项错误．故选：B．5．解：A、无法合并，选项错误，故A不符合题意；B、，选项错误，故B不符合题意；C、，选项正确，故C符合题意；D、，选项错误，故D不符合题意；故选：C．6．解：由题意可知：Δ＝9﹣4c＜0，∴c＞，故选：D．7．解：a2+a2＝2a2，故选项A错误，不符合题意；2a2×2a2＝4a4，故选项B错误，不符合题意；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C错误，不符合题意；（4ab+1）（4ab﹣1）＝16a2b2﹣1，故选项D正确，符合题意；故选：D．8．解：∵DE⊥AB，E为AB的中点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，∵∠C＝90°，∴∠B+∠BAD+∠CAD＝180°﹣∠C＝90°，∴∠B＝∠CAD＝30°，∵∠C＝90°，AD＝3cm，∴CD＝AD＝cm，由勾股定理得：AC＝＝＝（cm），∴AB＝2AC＝3cm，∴BE＝AE＝AB＝（cm），故选：A．9．解：过C作CD⊥OA于D，如图：则∠ODC＝90°，∵四边形OABC是菱形，∴OC＝OA＝4，∵∠AOC＝60°，∴∠OCD＝90°﹣∠AOC＝30°，∴OD＝OC＝2，∴CD＝＝＝2，∴点C的坐标为（2，2），故选：A．10．解：∵图象的开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴的交点为（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵抛物线的对称轴为﹣2，∴﹣＝﹣2，∴b＝4a＜0，∴abc＜0，∴①符合题意，∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∵a＜0，∴4c＞，∴②不符合题意，由题意得：y＝ax2+bx+c＝ax2+4ax﹣1＝a（x+2）2﹣4a﹣1，∵当y＝0时，较小的一个根为﹣﹣2，∴﹣﹣2＜﹣3，解得a＜﹣，∴③不合题意，∵点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）中，到对称轴直线x＝﹣2距离最大的是（1，y3），到（﹣2，y2）在对称轴上，∴y2＞y1＞y3；∴④不合题意，当a＝﹣1时，抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+3，∴D（﹣2，3），取y＝0，得﹣（x+2）2+3＝0，解得x1＝﹣﹣2，x2＝﹣2，∴A（﹣﹣2，0），B（﹣2，0），∴AD＝BD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形，∴⑤符合题意，∴符合题意的有①⑤，故选：A．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：原式＝＝3；故答案为：3．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∵∠BAD＝90°．∵∠ADB＝26°，∴∠ABD＝90°﹣26°＝64°．∵AE∥BD，∴∠BAE＝180°﹣64°＝116°，∴∠BAF＝∠BAE＝58°．故答案为：58°．13．解：解不等式x﹣1≥2，得：x≥3，解不等式2x﹣2＜10得：x＜6，则不等式组的解集为3≤x＜6，故答案为：3≤x＜6．14．解：（1）由图象可得，小聪与小明出发25min相遇，故答案为：25；（2）由图象可得，小聪的速度为：4500÷56.25＝80（m/min），则小明的速度为：4500÷25﹣80＝180﹣80＝100（m/min），故答案为：100．15．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2∴PB的最小值是2．故答案为：2．三．解答题（共8小题，满分75分）16．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，x1＝5，x2＝﹣1；（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4），（x﹣4）2﹣10（x﹣4）＝0，（x﹣4）（x﹣4﹣10）＝0，x﹣4＝0或x﹣4﹣10＝0，x1＝4，x2＝14．17．解：∵已知＝2，∴x＝3y，∴（+）÷＝＝＝＝1．18．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形；（3）如图所示，△A3B3C3即为所求作的三角形．19．证明：∵PC＝BC，∴∠CPB＝∠CBP，而∠APO＝∠CPB，∴∠CBP＝∠APO，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO＝90°，而OA＝OB，∴∠A＝∠ABO，∴∠CBP+∠ABO＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．20．证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，又∵∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，（2）∵△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝a，AD＝CE＝b，∴DE＝DC+CE＝a+b，∴S梯形ADEB＝（AD+BE）•DE＝（a+b）（a+b），∵S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴，化简得：a2+b2＝c2．21．解：（1）把A（a，2）的坐标代入y＝﹣x，即2＝﹣a，解得a＝﹣3，∴A（﹣3，2），又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y＝﹣；（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，当m＝﹣3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝﹣2，由图象可知，若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．22．（1）证明：连接OD，如图1，∵DE⊥CF，∴∠DEC＝∠DEF＝90°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠ODB．∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，又OD为⊙O的半径．∴DE是⊙O的切线；（2）证明：连接BF，AD，OD，如图2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AFB＝90°，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∴点E是CF的中点，∴EF＝CE∠ADC＝90°，∴△ADE∽△DCE，∴，∴DE2＝AE•CE，∴DE2＝AE•FE；（3）解：过点O作OG⊥AF于点G，如图3，∴∠OGE＝∠OGA＝90°，AG＝GF＝AF，又∵∠DEG＝∠ODE＝90°，∴四边形OGED为矩形，∴OG＝DE，OD＝GE，∵OD＝OA＝5，设EF＝x，AG＝GF＝5﹣x，则OG＝DE＝AF﹣2＝10﹣2x﹣2＝8﹣2x．在Rt△O