2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题12 动点中的相似含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题12动点中的相似1．如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(16,0)和B(0,12)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是____.3．如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果，同时出发，用表示时间，那么当______时，以，，为顶点的三角形与相似．4．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝_____s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．5．如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______．6．如图所示，在矩形中，，，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿、向终点B，C方向前进，小虫P每秒走，小虫Q每秒走，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则_____秒．7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC边上与B、C不重合的任意一点，DQ⊥AP于点Q（1）判断△DAQ与△APB是否相似，并说明理由．（2）当点P在BC上移动时，线段DQ也随之变化，设PA＝x，DQ＝y，求y与x间的函数关系式，并求出x的取值范围．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？9．（2017四川省遂宁市）如图，直线与双曲线相交于A（-1，2）和B（2，）两点，与轴交于点C，与x轴交于点D．(1)求m，n的值；(2)在y轴上是否存在一点P，是△BCP与△OCD相似，若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，在中，，，点P从A点出发，沿着以每秒的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿以每秒的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）当时，求的值；（2）当x为何值时，；（3）是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出此时的长；若不存在，请说理由．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，动点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AC方向向C点运动，动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着CB方向向B点运动，如果M，N两点同时出发，当M到达C点处时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒，四边形AMNB的面积为S．（1）用含t的代数式表示：CM＝，CN＝．（2）当t为何值时，△CMN与△ABC相似？（3）求S和t的关系式（写出自变量t的取值范围）；当t取何值时，S的最小，并求最小值．12．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为秒（），连接．（1）用含的代数式表示；（2）若与相似，求的值．13．如图，在中，，，点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒.（1）当为何值时，与相似？（2）当时，请直接写出的值.14．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．15．如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点M的坐标为______，点N的坐标为_____；（2）当t为何值时，△MON与△AOB相似．16．如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？17．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．(1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为；(2)当△BPQ与△COQ相似时，求t的值；(3)当反比例函数y=（x>0）的图象经过点P、Q两点时．①求k的值；②点M在x轴上，点N在反比例函数y=的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值．专题12动点中的相似1．如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个【答案】3【分析】设AP为x，表示出PB=8-x，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：设AP为x，，，和PB是对应边时，与相似，，即，整理得，，解得，，和BC是对应边时，与相似，，即，解得，所以，当、4、时，与相似，满足条件的点P有3个．故答案为3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(16,0)和B(0,12)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是____.【答案】（0，6）（8，0）（，0）【分析】根据题意可以分情况进行讨论：①,②,③,根据三种情况进而求出点P坐标.【详解】解：根据题意可以分情况进行讨论：①此时：,因为,进而得出,，②此时：,因为,进而得出,，③此时：,因为,进而得出,,故答案为：，，.【点睛】本题考查的是相似的知识点，解题关键在于对不同情况的讨论.3．如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果，同时出发，用表示时间，那么当______时，以，，为顶点的三角形与相似．【答案】或3【分析】分△OPQ∽△OAB与△OPQ∽△OBA两种情况进行分类讨论．【详解】∵在中，，，，∴OB2＝AB2−OA2，∴OB＝6，当△OPQ∽△OAB时，，即，解得x＝3；当△OPQ∽△OBA时，，即，解得x＝综上所述，当x＝3或时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似．故答案为：或3．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝_____s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．【答案】【分析】分△APQ∽△ABC、△AQP∽△ABC两种情况，列出比例式，计算即可．【详解】解：由题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（9﹣t）cm，∵当t=6÷2=3∴0≤t≤3∵∠PAQ＝∠BAC，∴当＝时，△APQ∽△ABC，∴＝，解得：t＝，当＝时，△AQP∽△ABC，∴＝，解得：t＝，∵3，故舍去综上所述：当t＝时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，故答案为：．【点睛】解此类题的关键是在运动中寻找相似图形，当运动的时间为t时，要用t来表示相关线段的长度，得出与变量有关的比例式，从而得到函数关系．解题时注意数形结合，考虑全面，做好分类讨论．5．如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______．【答案】或．【分析】先利用30º角直角三角形的性质求出斜边AB=4，再由勾股定理求直角边BC=2，当PA′∥AC和PA′⊥AB时两种情况证明三角形相似，利用相似，列出比例构造方程，求出AP即可【详解】解：在中，，，，，，∵将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，∴AP=A′P，设．①如图1中，当PA′∥AC时，，，，，，，∴；②如图2中，当PA′⊥AB时，，，∴，，，，∴，综上所述，满足条件的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，和相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质构造方程，利用方程解决问题是关键6．如图所示，在矩形中，，，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿、向终点B，C方向前进，小虫P每秒走，小虫Q每秒走，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则_____秒．【答案】2或5##5或2【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，从而解得所需的时间．【详解】解：①若，则，即，解得；②若，则，即，解得．故答案为：2或5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．二、解答题7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC边上与B、C不重合的任意一点，DQ⊥AP于点Q（1）判断△DAQ与△APB是否相似，并说明理由．（2）当点P在BC上移动时，线段DQ也随之变化，设PA＝x，DQ＝y，求y与x间的函数关系式，并求出x的取值范围．【答案】（1）△DAQ∽△APB，见解析；（2）y＝，2＜x＜2【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B＝90°，∠DAP＝∠APB，根据DQ⊥AP，得∠B＝∠AQD，即可证出△DAQ∽△APB；（2）根据△DAQ∽△APB，得，再把AB＝2，DA＝2，PA＝x，DQ＝y代入得出，y＝．根据点P在BC上移到C点时，PA最长，求出此时PA的长即可得出x的取值范围．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAP＝∠APB，∵DQ⊥AP，∴∠AQD＝90°，∴∠B＝∠AQD，∴△DAQ∽△APB；（2）∵△DAQ∽△APB，∴，∵AB＝2，四边形ABCD是正方形，∴DA＝2，∵PA＝x，DQ＝y，∴，∴y＝．∵点P在BC上移到C点时，PA最长，此时PA＝，又∵P是BC边上与B、C不重合的任意一点，∴x的取值范围是；2＜x＜2．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例求出函数关系式．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？【答案】（1）2秒或4秒；（2）秒或秒【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ=S△ABC列出方程求解；（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，则有或，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值．【详解】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的，由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，则×2x（6﹣x）=××8×6，解得：x=2或x=4．故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的；（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．当△PCQ与△ACB相似时，则有或，所以，或，解得t=，或t=．因此，经过秒或秒，△OCQ与△ACB相似；【点睛】本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．9．（2017四川省遂宁市）如图，直线与双曲线相交于A（-1，2）和B（2，）两点，与轴交于点C，与x轴交于点D．(1)求m，n的值；(2)在y轴上是否存在一点P，是△BCP与△OCD相似，若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点P有2个，即（0，﹣1）和（0，﹣3）．【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入反比例函数解析式求得k、b的值，然后将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，利用方程组求得它们的值；（2）需要分类讨论：，，由坐标与图形的性质以及等腰直角三角形的性质进行解答．（1）解：∵A（﹣1，2）和B（2，b）在双曲线（k≠0）上，∴k=﹣1×2=2b，解得b=﹣1，∴B（2，﹣1）．∵A（﹣1，2）和B（2，﹣1）在直线（m≠0）上，∴，解得：，∴m=-1，n=1；（2）在y轴上存在这样的点P，理由如下：①如图，过点B作交y轴于点P，∴△PCB∽△OCD，∵B（2，﹣1），∴P（0，﹣1）；②过点B作交y轴于点P，∴，由（1）知，，∴C（0，1），D（1，0），∴OC=OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴，∴（0，﹣3），∴这样的点P有2个，即（0，﹣1）和（0，﹣3）．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合应用．正确求出反比例函数和一次函数的解析式，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．本题还考查了动点问题，根据题意，找出动点的位置是解题的关键．10．如图，在中，，，点P从A点出发，沿着以每秒的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿以每秒的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）当时，求的值；（2）当x为何值时，；（3）是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出此时的长；若不存在，请说理由．【答案】（1）；（2）当x=时，PQ∥BC；（3）存在，AP的长为20cm或cm时，与相似.【分析】（1）当CQ=9时，可求出x，从而求出AP，即可求出BP，然后根据两个三角形两底上的高相等时，这两个三角形的面积比等于这两个底的比，即可解决问题；（2）由题可得AP=4x，CQ=3x，BP=20-4x，AQ=30-3x，若PQ∥BC，则有△APQ∽△ABC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）题目未指定相似的对应关系，应分两种情况讨论，由BA=BC得∠A=∠C，要使△APQ∽△CQB，只需，列出方程求解即可．同理：要使时，建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）当CQ=9时，则x=3，则AP=4×3=12cm，PB=20-12=8cm，∴；（2）由题可得AP=4x，CQ=3x，∵BA=BC=20，AC=30，∴BP=20-4x，AQ=30-3x，若PQ∥BC，则有△APQ∽△ABC，∴，∴，解得：x=，∴当x=时，PQ∥BC；（3）存在，理由如下：∵BA=BC，∴∠A=∠C，使与相似，有两种情况.I.要使△APQ∽△CQB，只需，此时，解得：x=，∴AP=4x=，II.要使，，，（舍或，，即：的长为或时与相似.【点睛】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解方程、两个三角形的面积比等于两个底的比等知识是解决本题的关键.11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，动点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AC方向向C点运动，动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着CB方向向B点运动，如果M，N两点同时出发，当M到达C点处时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒，四边形AMNB的面积为S．（1）用含t的代数式表示：CM＝，CN＝．（2）当t为何值时，△CMN与△ABC相似？（3）求S和t的关系式（写出自变量t的取值范围）；当t取何值时，S的最小，并求最小值．【答案】（1）CM＝6﹣t，CN＝2t；（2）t为3或1.2；（3）（t-3）2+27（0＜t＜6），t＝3，27【分析】（1）先由运动得出AM＝t，CN＝2t，继而得出CM，即可得出结论；（2）分两种情况，利用相似三角形得出的比例式建立方程求解，即可得出结论；（3）利用三角形的面积的差即可得出结论．【详解】解：（1）由运动知，AM＝t，CN＝2t，∵AC＝6，∴CM＝AC﹣AM＝6﹣t，故答案为：6﹣t，2t；（2）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，①当△CMN∽△CAB时，∴，∵AC＝6，BC＝12，∴，∴t＝3，②当△CMN∽△CBA，∴，∴，∴t＝1.2，即：t为3或1.2时，△CMN与△ABC相似；（3）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，∴S四边形AMNB＝S△ABC﹣S△CMN＝×6×12﹣×2t×（6﹣t）＝（t-3）2+27（0＜t＜6），当t＝3时，S四边形AMNB最小＝27【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查相似三角形的性质和三角形的面积的计算方法，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．12．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为秒（），连接．（1）用含的代数式表示；（2）若与相似，求的值．【答案】（1）；（2）t的值为或．【分析】（1）先根据运动速度求出CN的长，再根据直角三角形的性质求出AB和BC的长，然后根据线段的和差即可得；（2）先求出BM的长，再根据相似三角形的判定分和两种情况，然后根据相似三角形的性质求解即可得．【详解】（1）由题意得：；（2）由题意得：由相似三角形的判定，分以下两种情况：①当时在和中，，即解得②当时在和中，，即解得综上，所求的t的值为或．【点睛】本题考查了列代数式、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），依据相似三角形的判定正确分两种情况讨论是解题关键．13．如图，在中，，，点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒.（1）当为何值时，与相似？（2）当时，请直接写出的值.【答案】（1）当或时，与相似；（2）【分析】（1）与相似，分两种情况：当时，；当时,.分情况进行讨论即可；（2）通过求出P,Q运动的时间，然后通过作为中间量建立所求的两个三角形之间的关系，从而比值可求.【详解】（1）由题意得，，①当时

即

解得：.②当时

即

解得：，（舍去）综上所述，当或时，与相似（2）当时，∵和等高，∴此时运动的时间为1秒则∵和等高∴∴∴.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.14．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．【答案】作图见解析，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．【分析】由于点不确定，故分，，三种情况进行讨论．【详解】解：点的坐标为，，，，．如图，当时，，即，，，；当时，，即，解得，，；当时，，即，解得，；综上所述，点坐标为：或或．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．15．如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点M的坐标为______，点N的坐标为_____；（2）当t为何值时，△MON与△AOB相似．【答案】（1）（10-t，0）；（0，2t）；（2）当t=5s或2s时，△MON与△AOB相似．【分析】（1）根据路程＝速度×时间可求解；（2）分两种情形列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10−t）cm，∴N（0，2t），M（10−t，0）；故答案为：（10−t，0）；（0，2t）；（2）因为∠MON=∠AOB=90°当=时，△MON∽△AOB即=，解得t=5当=时，△MON∽△BOA即=，解得t=2所以当t=5s或2s时，△MON与△AOB相似．【点睛】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？【答案】的值是或【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解．【详解】解：当△PBQ∽△ABC时，，即，解得，经检验：是方程的解，当△PBQ∽△CBA时，，即，解得，经检验：是方程的解，∴的值是或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．17．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．(1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为；(2)当△BPQ与△COQ相似时，求t的值；(3)当反比例函数y=（x>0）的图象经过点P、Q两点时．①求k的值；②点M在x轴上，点N在反比例函数y=的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．【答案】(1)3(2)当△BPQ与△COQ相似时，t的值为或(3)①；②当以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（，0）【分析】（1）由点，的运动速度，可找出当时点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式可求出此时的面积；（2）由可知分两种情况考虑，①当时，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出值；②当时，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出值．综上，此问得解；（3）①由题意可得出点，的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于，的方程，解之即可得出结论；②由①可得出点，的坐标，分为边及为对角线两种情况考虑：当为边时，利用平行四边形的性质可求出值，进而可得出点的坐标，由点，重合可得出此种情况不存在；当为对角线时，利用对角线互相平分可求出的值，进而可得出点，的坐标．综上，此问得解．（1）当时，点的坐标为，点的坐标为，，，．故答案为：3；（2）当运动时间为秒时，，，．与相似，，分两种情况考虑：①当时，，即，解得：，，经检验，，是原分式方程的解，符合题意，；②当时，，即，解得：，，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，；综上所述：当与相似时，的值为或．（3）①依题意，得：点的坐标为，点的坐标为．反比例函数的图象经过点、两点，，，．②由①可知：点的坐标为，点的坐标为．设点的坐标为，点的坐标为，．分两种情况考虑：当为边时，，，点的坐标为，此时点，重合，不符合题意，此种情况不存在；当为对角线时，，，点的坐标为，，点的坐标为，．综上所述：当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，．【点睛】本题考查了三角形的面积、相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）找出当时点，的坐标；（2）利用相似三角形的性质，找出关于的方程；（3）①利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出关于，的方程组；②分为边及为对角线两种情况，利用相似三角形的性质求出点，的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值．【答案】(1)(2)（11，4）(3)或或【分析】（1）将点C（8，0），B（0，6）代入解析式，待定系数法求二次函数解析式；（2）作DE⊥x轴于点E，证明△BOC∽△CED，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；（3）分为点M在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为△BON∽△CDM和△BON∽△MDC两种情况讨论；当点M在BC上时，分为△BON∽△MCD和△BON∽△DCM两种情况讨论，即可求解．（1）解：将C（8，0），B（0，6）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）如图，作DE⊥x轴于点E，∵C（8，0），B（0，6），∴OC＝8，OB＝6．∴BC＝10．∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，∴△BOC∽△CED．∴．∴CE＝3，DE＝4．∴OE＝OC+CE＝11．∴D（11，4）．（3）若点M在DA上运动时，，当△BON∽△CDM，则，即不成立，舍去；当△BON∽△MDC，则，即解得：（负值舍去）若点M在BC上运动时，CM=25-5t．当△BON∽△MCD，则，即∴，当3＜t≤4时，ON=16-4t．∴解得（舍去），当4＜t≤5时，ON=4t-16，无解；当△BON∽△DCM，则，即∴ON=30-6t；当3＜t≤4时，ON=16-4t，∴30-6t=16-4t，解得t=7（舍去）；当4＜t≤5时，ON=4t-16，∴30-6t=4t-16，解得，综上所述，以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，t的值为；或或．【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及相似三角形的性质与判定，熟知以上知识的应用是解题的关键．专题13二次函数中的相似1．在直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过、，与轴的正半轴相交于点，若（相似比不为．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求的外接圆半径；（3）在线段上是否存在点，使得以线段为直径的圆与线段交于点，且以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，为的中点．（1）求的值；（2）抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；3．如图，平面直角坐标系中，点、、在轴上，点、在轴上，，，，直线与经过、、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于．点为线段上一个动点（与、不重合），轴与抛物线交于点．（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，又与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点．（1）抛物线的表达式是；（2）四边形的面积等于；（3）问：与相似吗？并说明你的理由；（4）设抛物线的对称轴与轴交于点．另一条抛物线经过点与不重合），且顶点为，对称轴与轴交于点，并且以、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，求、的值．（只需写出结果，不必写解答过程）．5．如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．（1）求此抛物线的解析式．（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积．（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由．6．如图，在直角坐标系中，，且，．（1）分别过点、作轴的垂线，垂足是、．求证：；（2）求点的坐标；（3）设过、、三点的抛物线的对称轴为直线，在直线上求点，使得．7．如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点右侧），与轴交于点．（1）请说明、、的乘积是正数还是负数；（2）若，求这个二次函数的解析式．8．已知，如图二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，点，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点．（1）求二次函数的解析式并写出点坐标；（2）点是中点，点是线段上一动点，当和相似时，求点的坐标．9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交点（1）求抛物线的解析式以及顶点的坐标；（2）若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想；（3）在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线与轴相交于、，与轴相交于点，过点作轴，交抛物线点．（1）求梯形的面积；（2）若梯形的对角线、交于点，求点的坐标，并求经过、、三点的抛物线的解析式；（3）点是直线上一点，且与相似，求符合条件的点坐标．11．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过点和点，点是抛物线与轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点在抛物线的对称轴上，能使的周长最小，请求出点的坐标；（3）若直线与线段交于点（不与点，重合），则是否存在这样的直线，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数的图象与轴分别交于、两点（点在点的左边），以为直径作，与轴正半轴交于，点为劣弧上一动点，连接、两弦相交于点，连接，，（1）求点的坐标；（2）若的半径为3时，求的值；（3）请探索当点运动到什么位置时，使得与相似，并给予证明．13．如图，抛物线经过，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标．14．如图，已知抛物线经过点、点，与轴交于点．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）点在抛物线上，过点且与轴平行的直线与直线交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；（3）当时，作的角平分线，交抛物线于点．①求点和点的坐标；②在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线（且与轴分别交于、两点，点在点左边，与轴交于点，连接，过点作交抛物线于点，0为坐标原点．（1）用表示点的坐标，；（2）若，连接，①求出点的坐标；②在轴上找点，使以、、为顶点的三角形与相似，求出点坐标；（3）若在直线上存在唯一的一点，连接、，使，求的值．16．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，二次函数的图象为．（1）向上平移抛物线，使平移后的抛物线经过点，求抛物线的表达式；（2）平移抛物线，使平移后的抛物线经过点、两点，抛物线与轴交于点，求抛物线的表达式以及点的坐标；（3）在（2）的条件下，记中点为，点为抛物线对称轴上一点，当与相似时，求点的坐标．17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线、、为常数且经过原点和，且对称轴为直线（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线上是否存在点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设抛物线与轴的另一交点为，点在抛物线上，满足，若是直线下方的抛物线上且到的距离最大的点，试求出所有满足的点的坐标（点、、分别与点、、对应）．18．如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点．且．（1）求的值和抛物线的解析式；（2）已知过点的直线交抛物线于另一点．若点在轴上，以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，的外接圆半径等于．（直接写答案）19．已知：二次函数的图象与轴交于，与轴交于点，（1）求该二次函数的关系式；（2）求点的坐标，并判断的形状，说明理由；（3）点是该抛物线轴上方的一点，过点作轴于点，是否存在，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知：如图，抛物线的顶点坐标是，与轴的交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若，，是（1）中抛物线上的点，，垂足为，．①求点的坐标；②试判定以为直径的圆与轴有怎样的位置关系，并说明理由．专题13二次函数中的相似1．在直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过、，与轴的正半轴相交于点，若（相似比不为．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求的外接圆半径；（3）在线段上是否存在点，使得以线段为直径的圆与线段交于点，且以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）（相似比不为，，又，，，点，，设图象经过、、三点的函数解析式是，则：，解得，，，这个函数的解析式是；（2）（相似比不为，．又，是外接圆的直径．；（3）点在以为直径的圆上，，①当时，点在的中垂线上，点是的中点，是的中点．，点，，即；②当时，△，，点，即．③当时，点显然不能在线段上．综上，符合题意的点存在，有两解：，或1．2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，为的中点．（1）求的值；（2）抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，．．（2）抛物线的解析式为．可求抛物线与轴的交点，．可求点的坐标．由图知，点在轴下方的直线上时，是钝角三角形，不可能与相似，所以点一定在轴上方．此时与有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：①当时，由于为的中点，此时为的中点，可求点坐标为．②当时，，解得：．如图（2）过点作轴，垂足为，．是的中点，，由勾股定理得：，，，由勾股定理得：的坐标为，3．如图，平面直角坐标系中，点、、在轴上，点、在轴上，，，，直线与经过、、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于．点为线段上一个动点（与、不重合），轴与抛物线交于点．（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，，，，，，设函数解析式为，，解得，经过、、三点的抛物线的解析式为：（2），；所以直线；联立，解得，，，；设点坐标为，，则；；由条件容易求得，，若以、、为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形；①以为直角顶点，为斜边；，即：，解得，（不合题意舍去），；②以为直角顶点，为斜边；，即：，解得，（不合题意舍去），故存在符合条件的点，且点坐标为，或，．4．如图，已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，又与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点．（1）抛物线的表达式是；（2）四边形的面积等于；（3）问：与相似吗？并说明你的理由；（4）设抛物线的对称轴与轴交于点．另一条抛物线经过点与不重合），且顶点为，对称轴与轴交于点，并且以、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，求、的值．（只需写出结果，不必写解答过程）．【解答】解：（1）设的解析式为，由图象可知：过，，三点．解得：抛物线的解析式为．（2）．抛物线的顶点的坐标为；过作轴于，由图象可知：，，，；令，则，解得，，则．；；．（平方单位）．（3）如图，过作于，则．．，又；，；在和中，，，；，，．．（4）①当，，此时点的坐标可能为，，．②当，，此时点的坐标可能是，，，，综上所述可得出、的值．，，，，，，．5．如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．（1）求此抛物线的解析式．（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积．（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线过和，解得（2）令，，解得，，，，，过点作轴于，则为等腰直角三角形令，则，点在抛物线上，解得，（不符合题意）四边形的面积；（3）假设存在，．轴于点，．在中，．在中，设点的横坐标为，则①点在轴左侧时，则（ⅰ）当时，有，即解得（舍去）（舍去）（ⅱ）当时有即解得：（舍去），②点在轴右侧时，则（ⅰ）当时有，解得（舍去），（ⅱ）当时有即解得：（舍去），，，存在点，使以、、三点为顶点的三角形与相似点的坐标为，，，．6．如图，在直角坐标系中，，且，．（1）分别过点、作轴的垂线，垂足是、．求证：；（2）求点的坐标；（3）设过、、三点的抛物线的对称轴为直线，在直线上求点，使得．【解答】（1）证明：，且，，，，，；（2）解：分别作轴，轴，垂足分别是、；，，而，；又，；，则，，所以点（3）解：，纵坐标相同，抛物线的对称轴为直线，当点在直线上且距距离为2时，与面积相等，点的坐标为，或，．7．如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点右侧），与轴交于点．（1）请说明、、的乘积是正数还是负数；（2）若，求这个二次函数的解析式．【解答】解：（1）由于抛物线过，因此．根据图形有：，，因此，．，即、、的乘积是负数．（2），，，，即，即点坐标为．设抛物线的解析式为．由于抛物线过点，因此，．因此抛物线的解析式为．8．已知，如图二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，点，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点．（1）求二次函数的解析式并写出点坐标；（2）点是中点，点是线段上一动点，当和相似时，求点的坐标．【解答】解：（1）由题可得：，解得：，二次函数的解析式为．点在抛物线上，，点的坐标为．（2）过点作于点，如图，点，点，，，，，．点为的中点，．令得，解得：，，点为，．①若，则，，解得：，，点的坐标为；②若，则，，，，点的坐标为，．综上所述：点的坐标为或，．9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交点（1）求抛物线的解析式以及顶点的坐标；（2）若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想；（3）在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式是：，把代入得：，解得：，，，答：抛物线的解析式是，顶点的坐标是．（2）线段与线段之间的数量关系是．证明：过作轴于，过作轴于，，，为的中点，，，，，由勾股定理得：，过作轴于，则，，由勾股定理得：，，（已求出），．（3）坐标轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，点的坐标是，，．10．如图，抛物线与轴相交于、，与轴相交于点，过点作轴，交抛物线点．（1）求梯形的面积；（2）若梯形的对角线、交于点，求点的坐标，并求经过、、三点的抛物线的解析式；（3）点是直线上一点，且与相似，求符合条件的点坐标．【解答】解：（1），当时，，解得：，，当时，，，，，轴，点的纵坐标也是，把代入得：，解得：，，点的坐标是：，，．所以梯形的面积是8．（2）由抛物线的对称性有，过作于，，，，，设：经过、、三点的抛物线的解析式为：，把代入解得：，所以经过、、三点的抛物线的解析式是：，即．（3）当点在的右侧，当时，，，，设，，由勾股定理得：，（此时舍去），，，；当时，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，当点在的左侧，由题意有钝角钝角，此时不存在．所以符合条件的点坐标是和，．11．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过点和点，点是抛物线与轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点在抛物线的对称轴上，能使的周长最小，请求出点的坐标；（3）若直线与线段交于点（不与点，重合），则是否存在这样的直线，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：直线，当时，，当时，，，，，把代入得：，，顶点坐标是，答：抛物线的解析式是，顶点坐标是．（2）解：根据对称由，得到的坐标是，作关于对称轴（直线的对称点，连接交直线于，则为符合条件的点，的坐标是，设直线的解析式是，把、的坐标代入得：，解得：，，，把代入得：，答：的坐标是．（3）解：存在，分两种情况：①，此时，，点坐标为：，；②当与不平行时，，可求得，此时直线的解析式为：，点的坐标为：，答：存在，当时，直线的函数表达式是，点的坐标是，；当与不平行时，直线的函数表达式是，点的坐标是．12．已知二次函数的图象与轴分别交于、两点（点在点的左边），以为直径作，与轴正半轴交于，点为劣弧上一动点，连接、两弦相交于点，连接，，（1）求点的坐标；（2）若的半径为3时，求的值；（3）请探索当点运动到什么位置时，使得与相似，并给予证明．【解答】解：（1）由抛物线的解析式可得对称轴为：；由于、是抛物线与轴的交点，且是的直径，由抛物线和圆的对称性知：．（2）若的半径为3，则，；则抛物线的解析式为：；故．（3）当点运动到劣弧的中点时，与相似；证明：如图；是劣弧的中点，；又是的直径，，．13．如图，抛物线经过，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标．【解答】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．将，代入，得，解得，此抛物线的解析式为；（2）存在．如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，当时，，．又，①当，在抛物线上，，，，，即．解得，（舍去），．②当时，，即．解得，（均不合题意，舍去）当时，，当时，，，①或②，把代入得：，，解得：第一个方程的解是（舍去）（舍去），第二个方程的解是，（舍去）求出，，则，当时，，．①或，则：，，解得：第一个方程的解是（舍去），（舍去），第二个方程的解是（舍去），，时，，则，综上所述，符合条件的点为或或，（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．过作轴的平行线交于．由题意可求得直线的解析式为．点的坐标为．，，，当时，面积最大，．14．如图，已知抛物线经过点、点，与轴交于点．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）点在抛物线上，过点且与轴平行的直线与直线交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；（3）当时，作的角平分线，交抛物线于点．①求点和点的坐标；②在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线经过点、点，，解得，抛物线对应的函数表达式为；（2）由抛物线可得，，，直线为：，设点的坐标为，则，，四边形的面积面积面积，，当时，，点坐标为；（3）①过点作轴于，，，，，，平分，，，即轴，当时，，解得，，，，，直线为：，当时，解得，，当时，，；②直线，直线，，，在直线上存在满足条件的点，设，由题可得，，，（ⅰ）如图所示，当时，，即，解得，；（ⅱ）如图所示，当时，，即，解得，．综上所述，点的坐标为或．15．如图，已知抛物线（且与轴分别交于、两点，点在点左边，与轴交于点，连接，过点作交抛物线于点，0为坐标原点．（1）用表示点的坐标，；（2）若，连接，①求出点的坐标；②在轴上找点，使以、、为顶点的三角形与相似，求出点坐标；（3）若在直线上存在唯一的一点，连接、，使，求的值．【解答】解：（1）当时，，点的坐标为．故答案为：；（2）①，抛物线的解析式为．当时，，则点，；当时，，，则点，点，，．，，，，即．设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，联立，解得：或，点的坐标为；②过点作轴于，如图1，则，，，．，．Ⅰ．若，则．，，，，，点的坐标为，即，；Ⅱ．若，则，，，点的坐标为，即，；综上所述：满足条件的点坐标为，或，；（3）直线上存在唯一的一点，使得，以为直径的圆与直线相切于点，圆心记为，连接，如图2，则有，．当时，，则点，当时，，解得，，则点，，，，，，，．，，，，，，解得：．16．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，二次函数的图象为．（1）向上平移抛物线，使平移后的抛物线经过点，求抛物线的表达式；（2）平移抛物线，使平移后的抛物线经过点、两点，抛物线与轴交于点，求抛物线的表达式以及点的坐标；（3）在（2）的条件下，记中点为，点为抛物线对称轴上一点，当与相似时，求点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，抛物线经过点，，，抛物线的解析式为；（2）设抛物线的解析式为，抛物线经过点、，，解得：，抛物线的解析式为．当时，，故点的坐标为；（3）过点作轴于点，则有，，．的坐标为，．点为中点，．在中，，，，，，．若点在点的下方，则，由与相似可得或为，与三角形内角和矛盾，该情况不存在．点必在点的上方．①若，如图1，则，，点的坐标为；②若，如图2，则，，点的坐