河北省部分重点高中2023-2024学年高三年级上册普通高考模拟（12月）数学试题

绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的班级和姓名填写在答题纸上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无

效。

4.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若集合4={%,—3>0},贝N=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}

2.在递增的等比数列{a〃}中，若q—4=3,则公比q=（）

3.己知函数/■（耳=3'+%—6有一个零点x=%,则与属于下列哪个区间（）

4.如图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国煤炭进口走势图，每组数据中的增速是与上一年同

期相比的增速，则图中X的值约为（）

150.7180

当月进口fit（万吨）—当月增速（％）

全国煤炭进口月度走势图

A.90.2B.90.8C.91.4D.92.6

5.如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（）

x+1

B./(x)=

ex+1-1

X

C.f(x)=D./(%)=

(X+1)2

(x+吁

V2

6.已知离心率为——的椭圆/+=l（a〉6〉0）的左、右焦点分别为片，工，尸（%,%）是椭圆上位于第

2F

且cos/耳P&=—g,贝()

一象限的一点,

A/31A/3A/3

A.-----aB.一uC.-----aD.-----u

4232

7.已知对任意实数x,y,函数/(x)满足/■(»+l)=/(x+l)+/(y+l),则/'(x)()

A.有对称中心B.有对称轴

C.是增函数D.是减函数

8.已知半径为R的球中有一个内接正四棱锥，底面边长为a,当正四棱锥的高为/i时，正四棱锥的体积取得最

大值丫，贝I（）

A.h=2aB.h=—aC.h=aD.h=—a

22

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/（x）=lnx,则（）

A.是奇函数

B./（x）是增函数

C.曲线y=在x=e处的切线过原点

D.存在实数a，使得y="X）的图象与y=ax的图象关于直线y=龙对称

10.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x,y,设事件A="x+y=5"，事件&=

“y=%2"，事件4="x+2y为奇数”，则（）

A-尸（A）=：B.尸（4）='

c.A与人相互独立D.4与&相互独立

11.已知复数z。=l—i,z=x+yi（x,yeR）,则下列结论正确的是（）

A.方程|z-z0|=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆

B.方程|z-Zo|+|z-Zo|=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆

C.方程|z-z0|-卜-,=1表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支

D.方程z+；（z0+M=|2-20|表示的z在复平面内对应点的轨迹是抛物线

1,x<0,

12.已知定义：e：=《则下列命题正确的是（）

+[e\x>0,

A.V/?eR+,（e：）"=efB,若西,々^,贝期中=6产

C.VXGR,ln（e：+1）-W»ln2D.若则就+琉=钟丑

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若3cos2。-14cos。+7=0,贝！Icos2g=.

14.高三（1）班某竞赛小组有3名男生和2名女生，现选派3人分别领取数学、物理、化学竞赛资料，则至少

有一名女生的选派方法共有种.（用数字作答）

22

15.已知双曲线C：=—1=]〉0）的左、右焦点分别为片，F2,其右支上有一点P满足

ab

ZF｝PF2=60°,过点歹2向工的平分线引垂线交于点若叵”|=口，则双曲线。的离心率e=

16.在正四棱锥尸—A3CD中，底面ABC。的边长为2,APAC为正三角形，点M,N分别在PB,PD上,

S.PM=2MB,PN=2ND,过息A,M,N的截面交PC于点H,则四棱锥尸—的体积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知公差为d的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足4s“=〃（4+见+】+1）.

（1）证明：2an+d=2nd+1；

（2）若％=8,求-----1------1---1------.

a2a34""+i

18.（本小题满分12分）

己知函数/（%）=J^sin（ox+o）的部分图象如图所示，闸<1，且NACB=90。.

（1）求。与夕的值；

[7

（2）若斜率为卫丁的直线与曲线y=/（x）相切，求切点坐标.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥尸—ABCD中，QA_L平面ABCD,24=2,底面ABC。为直角梯形，ZBAD=9Q°,AB=2,

CD^AD=1,N是网的中点，点。分别在线段PD与AP上，且DM=2MP,AQ=〃QP.

（1）当；1=1时，求平面也N与平面DNC的夹角大小；

（2）若MQ〃平面P6C,证明：〃=1+23

已知XG[0,1),/(x)=er.

(1)证明：%+1<

1X

1+Y

(2)比较〃2龙)与^—的大小.

21.(本小题满分12分)

已知抛物线C："ZpxQo)上有一点尸(1,m)(加>0),F为抛物线C的焦点，E_?0,且

\EP\=42\PF\.

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点P向圆E：[x+gj+V=/(点尸在圆外)引两条切线，交抛物线。于另外两点A,8,求证:

直线AB过定点.

22.(本小题满分12分)

某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位

运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次

有」的概率再传给该运动员，有2的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第〃次

33

传球传给甲运动员的概率为p“.

(1)求心，-3；

(2)求pn的表达式；

⑶设q“=|2p"_],证明：(qM-^.)(sinqM-sinq^)<~.

i=l乙

数学参考答案及评分细则

题号123456789101112

答案CBBDDCBCBCDACDACAC

1.C解析：•••々AH-OOJ］,.,•低A）N={o,l,2,3}-故选C.

［命题意图］该试题考查集合的补集与交集运算，数学能力思维方面主要考查运算思维与抽象思维.

532

2.B解析：由题得％=4£=3,<23—=dyCi"—tZj=―,联立可得q=3或q=—§（舍），故选B.

［命题意图］该试题考查等比数列的运算，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查运算思维、变换思维、方

程思想等.

3.B解析：由题知/（x）在R上单调递增，=6—5.5<0,/（1）=-2<0,\||=33—4.5,又

33—4.52>0,故选B.

［命题意图］该试题考查零点存在定理和二分法，数学能力思维方面主要考查转化思想和特值思想.

3958—2055

4.D解析：由题得增速X%=-------------x100%-92.6%,故选D.

~2055

［命题意图］该试题考查统计知识，是高考热点，数学能力思维方面主要考查数形结合和拓展思维.

5.D解析：对于A,函数/（x）的定义域为（YO,—3）（—3,—2）（―2,—l）l（一1,+°°）,A不正确；对于B,

/⑼WO,B不正确；对于C,结合题中图象，/（4）=||>/（3）=||>/（2）=|,C不正确，故选D.

［命题意图］该试题考查函数的图象及其性质，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查特值思想与数形结合

思想.

6.C解析：设|尸娟=根（根>a）,则归阊=2〃一根，由6=，=#^,得2c=6a,由余弦定理得

\2

223a(

2299

3a=m+(2a-m^+-m(2a-m^,解得加=万〃或加二,(合)，则Jx0+a+=丁’联立椭

~T7

圆方程解得故选C.

［命题意图］该试题考查椭圆的定义与性质，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查静态思维与迁移思维.

7.B解析:Q=y=l,得/（2）=/（2）+/（2）,二（（2）=0；令x=y=T,得42）=2/（0）=0,二

/(0)=0；令y=-l,得y(l—x)=/(x+l)+/(O)=/(l+x),.../(%)的图象关于直线关于x=l对称,

故选B.

［命题意图］该试题考查抽象函数的性质，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查赋值思维与抽象思维.

8.C解析：设球心到底面的距离为％,则/z=A+x,a=史-声,；.V=|(R+x『(R—x),则

n=/氏+力(尺+%)(2尺_2%)«31尺+%+尺+；+24—2J,当且仅当尺+%=2尺—2x,即x=g时取

4R4R

等号，此时人=——，a=——，即/z=a,故选C.

33

［命题意图］该试题考查球内接正棱锥的最值问题，是高考的常考点，数学能力思维方面主要考查建模思维与化

归思维

9.BCD解析：根据函数性质可得A错误，B正确；对于C,f'(x)=~,在x=e处的切线斜率为工，切线方

xe

程为y—l=—e),即*=a，显然过原点，C正确；当a=e时，y=/(x)的图象与y=优的图象关于

e

直线y=X对称，D正确，故选BCD.

［命题意图］该试题考查函数的奇偶性、单调性，导数的几何意义以及反函数等，数学能力思维方面主要考查运

算思想和数形结合思想.

41

10.ACD解析：满足事件A的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种情形，其概率尸(4)=去=§A正

确；满足事件人的有(1,1),(2,4)共两种情形，其概率P(4)=L,B不正确；尸(4)=！，满足事件

182

4A的有(i，4)，(3,2)共两种情形，P(AA)='=P(A)P(A)，c正确；满足事件的只有(1，

18

1)一种情形，P(4A)=L=P(4)P(A),D正确，故选ACD.

36

［命题意图］该试题考查古典概型以及事件的相互独立性，是高考常考点之一，数学能力思维方面主要考查分类

思维和运算思维.

1LAC解析：由复数模的几何意义知A正确；由椭圆的定义知2a＞闺月但2=，-故B不正确；同

理由双曲线的定义知C正确；对于D,由复数的几何意义知Z在复平面内对应点到两定点的距离相等，轨迹

是直线，故D不正确，故选AC.

［命题意图］该试题考查复数模的几何意义、共辗复数等，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查跳跃思维

与认知思维.

12.AC解析：对于A,显然正确；对于B,令占=一1,%=2,则e：1-琉=©2,e^1+X2=e,错误；同理D也

错误；对于C,当%<0时，ln（e：+l）—±=ln2—2>ln2，成立，当%>0时，

''22

X（X%、

ln（e：+1）—土=ln（e*+1）-Ine?=lnJ+e，>ln2,正确，故选AC.

2\）

［命题意图］该试题考查新情境、新定义下的数学知识的应用.是高考热点题目，数学能力思维方面主要考查创新

思维和探索思维.

71

13.一一解析：由已知得6cos92。—3—14cos6»+7=0,解得cosd=—或cos6>=2（舍），故

93

7

cos28=2cos~9。一1=——.

9

［命题意图］该试题考查倍角公式以及一元二次方程，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查方程思想和运

算思想.

14.54解析：由题得选派方法共有（€：；蜡+€：；（^）人：=54种.

［命题意图］该试题考查排列组合知识，数学能力思维方面主要考查分类思想和抽象思维.

15.-y-解析:延长巴H交可尸于点0,贝！I国Q|=b,•••/耳尸工=60。，=则国4=2a,

NFQF?=120。，在心中，由余弦定理得4c2=4/+廿+2ab，即2。=3》，则e=J1+（1=半.

［命题意图］该试题考查双曲线的定义与性质、余弦定理，数学能力思维方面主要考查方程思想和拓展思维.

16.—解析:如图，连接班）,交AC于点。，平面4VW交PC于点H,交PO于点G,：=

9

PN=2ND,：.PG=2GO,即点G是的重心，也是AB4c的重心，是PC的中点，

PC±AH,•：PC±BD,PCLMN,又AHMN=G,PCX平面AMHN,故

T71r.rr1ATTHT4^/6

VvP-AMHN=—3•PHe—2•AHeA*/7V=---9-•

［命题意图］该试题考查截面问题、线面垂直、求几何体体积以及三角形重心的性质等，数学能力思维方面主要

考查空间想象以及逻辑推理.

p

17.解：(1)当〃=1时，4sl=。]+。2+1，即2〃i=d+l,

:・c1tl=q+(〃-l)d=](d+l)+(〃-l)d,即2c1rl+d=2〃d+1.

(2):生=8,二.16+d=6d+l,解得d=3,an=3n—lf

-1_1_lp_______

anan+i(3〃-1)(3〃+2)3(3〃-13n+2y

111£11111

---------1-----------F,••H-------------------1------------1-...+

a2a3”AA+I35583n-l3〃+2

=lfl__11n

3(23n+2)2(3n+2)

［命题意图］该试题考查数列的性质、等差数列的定义与性质、裂项求和等，数学能力思维方面主要考查变换思

维和跳跃思维.

18.解：（1）如图，过点C向x轴引垂线交于点。，

由正弦曲线的性质知AT>=306,

由射影定理知CD?=而CD=6,：.3=3DBDB,

DB=1,

2JI兀

T=4=——,解得①二—

a)2

由/[g)=0,得£+9=2左〃(左eZ),当左=0时，夕=—

(2)由⑴知/(x)=^/^sin1x-/〈X)=1»cos(1x-

令/(x)=*",二c°s［5x—=，则gx—?=2k乃±?(keZ),

.,.工=4左或1=4左+1(左62),

其切点坐标为4左或4左+1,j左wZ).

［命题意图］该试题考查三角函数的图象与性质、射影定理、导数的几何意义等，数学能力思维方面主要考查探

索思维和拓展思维.

19.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则。(1,0,0)，C(l,l,0),3(0,2,0),P(0,0,2).

当4=1时，Mp0,lj,N(0,罩),

则MN=1_g,l,o1,

DN=(-1,1,1),C7V=(-l,0,l).

设平面"DN的法向量为切=(x,y,z),平面DNC的法向量为〃=(。,瓦。),

-gx+y=0且-x+y+z=0,—a+c=0S.—a+b+c=0,令y=l,a=l,

则拓=(2,1,1),n=(1,0,1),

：.C°S"G=—=2,

\/V6xV22

平面又DN与平面DNC的夹角大小为30°.

(2)证明：设M(无由。得(1—=x',—y',2—z'),

：.M

同理由AQ=〃QP,得Q[O,O,=1L,o,._2£

I1+/7yI1+Jll+〃1+2,

PB=(O,2,-2),BC=(1,-1,O),设平面Q3C的法向量为。=(%,%,zj,

2%—2zi=0且%=0,令%=1,则p=(1,1,1),

/.p-MQ=Q,则一一―+^———=0,即〃=1+24.

1+21+〃1+2

［命题意图］该试题考查空间向量中的求夹角、线面平行等问题，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查创

新思维和数形结合思想.

20解：(1)证明：要证％+1</(%)«」一，即证x+l<e'Y」一

1X1X

设/z(%)=e"—%—1,”(x)=e'—1,

由”(九)>0,得光>0；由/z'(x)v0,得xvO,

:.7z(x)在％=0处取得最小值,BP>^(0)=0,Aex>x+1.

当xw[0,1)时，:e*2x+1,用一x代替尤，得匕一”21—%>0,

.1.er<-^―,结论成立,

1-x

：.不等式x+l</(x)<-^―成立.

1X

(2)V/(2x)=e2\由题即证e"(l—力与右(1+力的大小，

令g(兄)=1(1—%)—(1+%),1g，(%)二%(匕-"—e)

当xe°，；]时，er—eTO,，g(九)单调递减，

[+尤

•••g(O)=O,g(x)vo,BPex(l-x)<e^(l+x),即有e2y——,得证.

1-X

［命题意图］该试题考查利用导数证明不等式，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查构造思想和等价变换.

21.解：（1）由