山东省泰安市2022-2023学年高二年级上册期末数学试题

高二年级考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

I.若直线4：丁=丘+1与直线4：y=3x平行，则实数人的值为（）

11

A.—B.-C.---D.3

333

【答案】D

【解析】

【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数％的值.

【详解】因为直线4：^=辰+1与直线4：y=3x平行，

所以两直线斜率相等，即4=3.

故选：D.

2.已知等差数列｛4｝的首项4=3,公差d=2,则%=（）

A.7B.9C.11D.13

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.

【详解】因为等差数列｛4｝的首项4=3,公差d=2,所以4=4+44=3+8=11

故选：C

【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.

3.已知椭圆上+$=1上的点P到椭圆一个焦点的距离为7,则P到另一焦点的距离为（）

2516

A.2B.3C.5D.7

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的定义列方程，求得P到另一个焦点的距离.

【详解】根据椭圆定义可知，P到两个焦点的距离之和为2a=2?510,所以P到另一个焦点的距离为

10-7=3.

故选：B.

【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.

4.已知空间向量a=（2,—1,2）,6=（^,2,力满足〃,/,,则实数X的值是（）

A.-5B.-4C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件得出4心=0,结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数X的值.

【详解】由已知条件得出a»=2x（T）—lx2+2x=2x—10=0,解得x=5.

故选：D.

5.已知圆x2+V-6x=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】当直线和圆心与点（1,2）的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】圆丁+〉2-6'=0化为（X-3）2+V=9,所以圆心。坐标为C（3,0）,半径为3,

设P（L2）,当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

ICP|=V（3-l）2+（-2）2=2V2

根据弦长公式得最小值为2d9-]CPf=279-8=2.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有

一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”.那么该女子第一天织布的尺

数为（）

45610

A.—B.—C.—D.—

31313131

【答案】B

【解析】

【分析】设第一天织布尺数为X，则由题意有X。+2+22+23+24)=5,据此可得答案.

4

【详解】设第一天织布的尺数为x,则x(l+2+2?+23+2)=5

25-1

=>X•---=----3-1--%=5=>x=—.

2一131

故选：B

7.设A、B是>轴上的两点，点P的横坐标为2,且|Q4|=|PB|,若直线出的方程为x-y+l=O,则直

线PB的方程为()

A.x+y-5=0B.2x-y-\-G

C.2x+y—7=0D,x+y—3=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线以的方程，确定出24的倾斜角，利用|%|=归却且A、3在y轴上，可得P3的倾斜

角，求出P的坐标，然后求出直线P8的方程.

【详解】解：由于直线小的方程为x-y+l=0,故其倾斜角为45。，

又4klp3|,且A、8是，轴上两点，故直线PB的倾斜角为135°,

又当x=2时,y=3,即尸(2,3),

二直线尸3的方程为y_3=_(x—2),即x+y—5=0.

故选：A.

8.是从点p出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60。，那么直线PC与平面所成角

的余弦值是O

A.旦B.立C.—D.1

3322

【答案】B

【解析】

【分析】作图，找到直线PC在平面E钻上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而

得到线面角；也可将PAPB,PC三条射线截取出来放在正方体中进行分析.

【详解】解法一:

如图，设直线PC在平面P钻的射影为P£＞，

作CGLPD于点G,CH1.PA于点H,连接用，

易得CG_LPA,又CHcCG=C,C",CGu平面CHG，则平面CHG,又HGu平面C/7G,

则Q4J_"G,

*PH

cosZCPA=——

*有*PC

PHpi-i

cosZCPDXcosNAPD=———=——

IPCPGPC

故cosZ.CPA=cosZ.CPDxcosZAPD.

已知ZAPC=60°,ZAPD=30°,

故cosNCPD=cos"PA=cos60^=也为所求

cosZAPDcos3003

解法二：

如图所示，把PAPB,PC放在正方体中，P4,PB,PC的夹角均为60。.

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

则尸(1,0,0),C(0,0,l),A(l,l,l),5(0,1,0),

所以PC=(-1,0,1),PA=(0,1,1),PB=(-1,1,0),

n-PA=y+z=Q

设平面Q46的法向量”=(xy,z),贝卜

n-PB=-x+y=0

令x=l,则y=l,z=-1,所以〃,

r-r-.q/DC\PCn_2—A/6

所以cos〈PC,n)=-.........=—j=—f==------.

\PC\-\n\V2XV33

设直线PC与平面PA6所成角为。，所以sin0=|cos(PC,〃〉=坐，

所以cos0=-sir?0=—.

3

故选B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.直线丁=公一2。+4（。€1＜）必过定点（2,4）

B.直线3x—丁-1=。在y轴上的截距为1

C.过点（一2,3）且垂直于直线x―2y+3=0的直线方程为2x+y+l=。

D.直线x+Gy+1=0的倾斜角为120。

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；

对于B,将x=0代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；

对于C,根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；

对于D,根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.

【详解】对于A,由直线方程y=ox-2a+4,整理可得y=a（x—2）+4,当x=2时，y=4,故A正确；

对于B,将x=0代入直线方程3x-y-l=0,可得-y-l=0,解得y=-l,故B错误；

对于C,由直线方程x-2y+3=0,则其垂线的方程可设为2x+y+C=0,将点（一2,3）代入上式，可得

2x（—2）+3+C=0,解得。=1,则方程为2x+y+l=0,故C正确；

对于D,由直线方程x+Gy+1=0,可得其斜率为-B,设其倾斜角为。，则tan。=一@，解得6=150，

故D错误.

故选：AC.

10.已知椭圆C：土+匕=1内一点Ml,彳，过点M的直线/与椭圆C交于A,B两点,且M是线段A8

42I2）

的中点，椭圆的左，右焦点分别为片，F2,则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的焦点坐标为（2,0）,（-2,0）

B.椭圆C的长轴长为4

C.直线用片与直线MF,的斜率之积为一2

4

D.\AB\=^

113

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.

【详解】依题意，椭圆C:二+二=1,

42

所以a=2,b=c=®,所以焦点坐标为耳（6,0）,巴卜3,0）,A选项错误.

长轴长2/=4,B选项正确.

11

卜“_22一1,C选项正确.

丫2222

设A（AX）,3（X2，%），则5+与=1，卷+三=1，

1

-

X-2X-%1y-%

两式相减并化简得_2=析+%---=

12

马

%X玉

4%+x,-2.--2

[3

即直线AB的斜率为T,直线AB的方程为y--==-%+-,

3

y=-x+—

由＜22消去y并化简得6f—12x+l=0，

工+二=1

I42

所以X+X?=2,演,所以=J1+（-1）2X

故选：BCD

11.已知数列｛勺｝的前〃项和S“=J〃2+|〃+3（〃eN"）,则下列结论正确的是（）

A.数列｛4｝是递增数列B.数列｛4｝不是等差数列

C.a2,%，4成等差数列D.S6-S3,S9-S6,%-S9成等差数列

【答案】BCD

【解析】

【分析】由an与S”的关系推导出数列｛q｝的通项公式，判断选项A,B,分别计算出a2,a4,小和§6-,

59-S6,几-S9,结合等差数列的定义判断选项C,D.

i2

2

【详解】S,7=-n+-〃+3(/7£N"),

43、7

I2"[22-]5

2

时，an=Sn-SH_}=-n+-n+3-+](〃—1)+3=-»+—,

47,

~-,»=1

12

九=1时，4=S]=—,即。〃，〃eN*.

15

-n-\----,n>2

1212

4=*<4=三，因此数列｛可｝不是单调递增数列，故A错误;

又〃=1时，不满足4=3"+得，

，数列｛q｝不是等差数列，故B正确；

172941

%=—，UA=—,4=—,

-12412612

因此出，%,4成等差数列，故C正确;

15351553

1^6-^3=<34+<35+<36--X(4+5+6)+T59~^6=£f7+£i8+^=2X(7+8+9)+—X3=~

]571

5I2-S9=<2IO+aH+^2=-x(10+11+12)+—x3=—.

S6-53,S9-S6,512-59成等差数列，故D正确.

故选：BCD.

12.平行六面体ABCD-AB'C'D中，各棱长均为2,设NA'AB=NA'AT>=NmB=。，则下列结论中

正确的有()

A.当时，AC'=2A/3

B.AC'和5。总垂直

27r

C.6的取值范围为(0,r-)

D.。=60。时，三棱锥C—C'3'D'的外接球的体积是4遥万

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,求正方体对角线即可判断；对于B,利用空间向量数量积运算即可判断；对于C,由正三

棱锥

A-ABD高与斜高的关系即可计算判断；对于D,求出正四面体外接球体积判断作答.

【详解】平行六面体A3CD-AB'C'。'中，各棱长均为2,设NA'AB=NA'")=NDW=8,

对于A,8=］时，该平行六面体为正方体，其体对角线长AC'=2百，A正确；

对于B,AC'=AB+AA'+AD<BD=AD-AB，因此，

..，•....2.2.,.

AC'BD^(AB+AA'+AD)(AD-AB)^AD-AB+AA'-AD-AA'-AB

=2?-2?+4cos8-4cose=0，B正确；

对于C,连接8D,AB,A'。，如图，依题意，A-AT®为正三棱锥，取BD中点E,

令。为正一48。的中心，^AE,AO,EO,有AO_L平面A'BO，

正三棱锥4一48。的斜高4£=4835上=20^上，6。=2A8sin上=4sin上，则

2222

2G.e

OnEp=——BD=-----sin—，

632

显然，AE>OE,即2cos幺〉/sinS，则tang<G,锐角,e(0,王)，从而得6e(0,二)，C正

2322233

确；

对于D,当。=60时，三棱锥C—C'B'。'为正四面体，三棱锥A-AM也是正四面体，它们全等，

由C选项知，AO=y/AE2-OE2=J(V3)2-(—)2=>正四面体A-48。的外接球球心在线段4。

V3

上，设球半径为，

则有产=(49一厂)2+082,整理得2AO"=AO2+QOE)2,解得「="，

2

于是得三棱锥C-C'B'D'外接球的体积V=(当了=6,D不正确.

故选：ABC

【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是

解题的关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.准线方程为x=2的抛物线的标准方程是.

【答案】：/=_8%

【解析】

【详解】抛物线的准线方程为x=2,说明抛物线开口向左，且〃=2x2=4,所以抛物线的标准方程是

V=—8x.

4

14.已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为y=±§x,请写出双曲线C的一个

离心率.

【答案】-（答案不唯一）

3

【解析】

【分析】分类讨论双曲线。的焦点在x轴、y轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离心率公式计算可

得.

【详解】当双曲线。的焦点在X轴时，其渐近线为y=±2x,则2=3,

aa3

所以离心率e=£=^1+-Y=+=g>

当双曲线C的焦点在y轴时，其渐近线为y=±qx,则q=即2=9,

■hb3a4

所以离心率e==+

综上，可得双曲线的离心率为之或3.

34

故答案为：-（答案不唯一）.

3

15.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称/CME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连

串直角三角形演化而成的，其中。4=44=人4==44=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下

去，记。4,，0%，OA,,,的长度构成数列{%},则此数列的通项公式为%=.

【答案】册

【解析】

［分析］由图可知=A人2=4A3=…=44=1，由勾股定理可得a：=aj+1，利用等差数列的通

项公式求解即可.

【详解】根据图形。4,=44=44=•••=44=1，

因为△044、AOA2A3…都是直角三角形,

必=%2+1,

a：是以1为首项，以1为公差的等差数列,

：.a：=l+（〃-l）xl="，

an=\/'n,故答案为4n-

【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考

查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.

16.已知过点P（4,l）的直线与椭圆C：三+匕=1相交于不同的两点A和8,在线段AB上存在点Q,满足

42

|AP|•画=喇］囱，则10Q|的最小值为

【答案】述

5

【解析】

【分析】设B（马,%）,Q（x,y）,由ARB,Q四点共线，用向量共线关系表示A3两点坐标,

又点AB在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出。点在一条定直线上，再求最短距离即可.

APPB

【详解】设4（%,y）,8（积%），Q（x，y），由,斗忸@=|42|上,，记——=——，又A,P,8,Q四

A。QB

点共线，设尸A=2AQ,则由已知；1>0,且九wl,PB=-ABQ.

由PA=AAQ,得（％-4,y-1）=4（1一%,,-yj,

_4+Ax

1+4

解得<同理PB——ABQ,得(9—4,%—1)=-X(x—%，丁—%)，

_1+Ay

-1+4

(4+词2+(1+到2①

42v'

同理点B在椭圆上，所以(1-A)2-②

42

4

。②得竽+苧—)

所以2x+y-2=0,故点。在定直线2x+y-2=0上,

|OQ|的最小值为点O到直线2x+j-2=0的距离d=1=苧.

故答案：正.

5

【点睛】解析几何中线段定比分点问题方法点睛：

I.在平面直角坐标系中，已知A(玉,乂)，8(%2，%)，P(x,y)，且AP=/IPB，且；1#一1，那么

我们就说P分有向线段AB的比为2,则有：

_%1+ZX2

A-1+2

这就是定比分点坐标公式.

♦y+办2

y--■：：~~

1+A

当P为内分点时，丸>()；

当尸为外分点时，A<0(A^-l).

2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一

个大题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点.

(1)求线段AB的长；

(2)证明：OA±OB.

【答案】(1)2M；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得|AB|.

(2)根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.

【小问1详解】

y=x-2

设A（X1,y）,5（巧,%），由，,，得x?—6x+4=0.

y~=2x

x,+x2=6,XyX2=4,

所以MM=\jl+k2-J(X]+工2)--4*](2=2^10•

【小问2详解】

由（1）知：玉+马=6,xtx2=4,

所以O/VQB=西工2+,%=2X,X2-2(^+x2)+4=0,

所以。4,08,

所以。4,O5.

18.如图，在三棱锥O—ABC中，OA,OB,OC两两垂直，OA=OC=3,03=2.

（1）求点8到直线AC的距离：

（2）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）妞

2

⑵亚

17

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.

（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得

【小问1详解】

解：以。为坐标原点，OB，0C，Q4方向分别为x,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（0,0,3）,3（2,0,0）,C（0,3,0）,所以AB=（2,0,—3）,AC=（0,3,-3）,03=（2,0,0）.

取。=AB=（2,0,-3）,M=|^=。'等'一等］,则。2=13，夕〃=^^，

所以点B到直线AC的距离为

小问2详解】

ABn=O2x-3z=0

解：设”=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，贝卜，所以《

ACn=03y-3z=0，

x=3/.

取z=2,解得＜所以〃=(3,2,2).

y=2

设直线OB与平面ABC所成角为e，

OBn6_3V17

则sin6=cos(08,〃)=

l04H2xVn-17

所以直线OB与平面ABC所成角的正弦值为之叵.

17

19.在数列｛外｝的首项为q=l,且满足an+l+a“=3.2".

(1)求证：｛《,一2"｝是等比数列.

(2)求数列｛%｝的前〃项和S”.

2e-2,〃为偶数

【答案】(1)证明见解析；(2)S„=<

2向一3,〃为奇数

【解析】

【分析】(1)由，*=一％+3-2",化简得到-1,结合等比数列的定义，即可求解;

%一2"

(2)由(1)求得见=(-1)"+2",分当”为偶数和当〃为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式,

即可求解.

【详解】⑴由题意，数列｛4｝满足。“+]+。“=3,2",即=一%+3-2",

q+「2用=_%+3.2"_2向=j__

'4-2"4-2"q-2"

又由6=1,可得4—2J—1,

所以数列｛。"一2"｝表示首项为-1,公比为-1的等比数列.

(2)由(1)知。"-2"=—1x(_1尸所以?=(一1)"+2",

所以S“=2i+22+.+2"+(—l)+l++(-1)",

当〃为偶数时，可得S=2(1-2")+0=2e_2；

"1-2

当〃为奇数时，可得§,=2（1_2）_]=22—3,

"1-2

2"“-2,〃为偶数

综上可得，S"=<

2用-3,〃为奇数

20.已知两个定点M（-l,0）,N（l,0）,动点尸满足|儿肉=血归7卜

（1）求点P的轨迹方程；

（2）若点N到直线的距离为1,求直线PN的方程.

【答案】(1)x2+y2-6x+l=0

（2）y=x-l或y=-x+l

【解析】

【分析】（1）设点P（x,y），后由|MP|=结合两点间距离公式可得轨迹方程：

（2）由点N到直线PM的距离为1,可得/PMN=30°,则可得直线PM方程为

旷=母@+1）或丫=-3（》+1），将直线方程与轨迹方程联立可得点尸坐标，后可得直线PN方程.

【小问1详解】

设点P的坐标为（x,y）,因为|用"=夜归可|,

所以J（x+i）-+/=④•

整理得f+y2—6x+l=0,所以点P的轨迹方程为r+,2一6》+1=0.

【小问2详解】

因为点N到直线PM的距离为1,|跖V|=2,

所以NPMN=30°,直线PM的斜率为且或—无，

33

所以直线的方程为旷=曰"+1）或、=一等（x+1）.

联立轨迹方程与y=±+1），

x24-y2-6x+l=0

可得vn”?—4x+1=0,

y(尤+i)

解得x=2+百或x=2-百.得直线PM的方程为y=1g(x+l)时，

P的坐标为(2+&1+❷或(2-6,-1+G).直线的方程为,=-走(x+1)时，P的坐标为

(2+百,-1-6)或(2-6,1-8).

当P的坐标为(2+73,1+73)时，直线PN的方程为：

y1+73._.

---------------广=19B即ny-X-].

X-11+V3

P的坐标为(2—6,-1+省)时，直线PN的方程为：

一^=-1+$=一1,即y=-x+l.

X-11-V3

P的坐标为(2+6,-1-6)时，直线PN的方程为：

y_T-/=一],即y=-x+l.

X-11+V3

P的坐标为(2—6,1-6)时，直线PN的方程为：

—=1-=1,即y=x—l.

x-11-<3

综上可得直线PN的方程为y=x-l或y=-x+l

21.歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇

山顶，又名九脊顶，其屋顶(上半部分)类似于五面体形状.如图所示的五面体所-ABC。的底面ABC。

为一个矩形，AB=2EF=8,AD=6,EF//AB,棱EA=ED=FB=FC=5,M,N分别是AD,BC

的中点.

(1)求证：平面E/WM_L平面ABCD；

(2)求平面BFC与平面EFCD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

14

【解析】

【分析】（1）证明以及根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面3FC与平面£FC£）法向量，根据向量的夹角公式

即可求解.

【小问1详解】

因为E4=ED，M为A。中点，所以

在矩形A8CD中，M,N分别是A£>,的中点，所以

又EMcMN=M,EM,MNu平面EFNM,所以AZ）J•平面EFNM.

又ADu平面ABC£）,所以平面“7VM_L平面ABCD.

【小问2详解】

在平面EFMW中，过F作FH上MN,H为垂足.

因为平面£7WM_L平面ABC£>,平面E/WMc平面ABC。=MN,

FHu平面EFNM,所以£HJ_平面ABCD.

过”作BC的平行线，交AB于点S,则HS=3，HN=2,HF=26，

以”为坐标原点，以“S，HN，〃户方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系，则*3,2,0),C(—3,2,0),D(-3,-6,0),F(0,0,273),

所以BF=”,-2,26),fiC=(-6,0,0),CF=(3,-2,2>/3),CD=