2024重庆市渝北中学高三下学期2月月考数学试题及答案

渝北中学2023-2024学年(下)高三2月月考质量监测数学试题（全卷共四大题19小题总分150分考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2x2AIB（1．已知集合A∣ylog,B∣y2x，则C．2．已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，m平面，n平面．若l满足lm，）2D．,2A．2B．2ln，则下列说法中正确的是（A．l）B．la，则a∥lC．若D．3．2023年11月30日，重庆市轨道交通新开通6个站点，包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点，为广大市民的出行提供了更多便利．某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况，则在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为（）97351A．B．C．D．101010SN4．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：CW1，其中C为最大数据2S传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比.香农公式在5G技术中NSS发挥着举足轻重的作用.当99，W2000Hz时，最大数据传输速率记为1；当，NNC21W3000Hz时，最大数据传输速率记为C，则=（）21352154A．B．C．D．3数学试卷第1页共6页π635π65．已知cossin，则sin的值是（）4314143A．B．C．D．446．过点P2作圆x2y24x10的两条切线，切点分别为,B，则cosAPB（）14144A．B．C．D．45sinx7．函数fxxx在,2上的图象大致为（）exA．B．C．D．8．已知点F为抛物线C:y小值为（24x的焦点，过F的直线l与C交于,B两点，则2的最）A．B．4C．D．622322二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知复数z，z，则下列结论正确的有（）12A．1212B．zzzz2C．1z21z2zzzzD．121212110．已知函数fx，gx的定义域为R，且fxg1xa（a0g1xg1x，若fx2为奇函数，则下列说法正确的有（）A．gx的图象关于x1对称B．gx为奇函数C．f2D．fx为偶函数01211．已知正项数列a满足a，an1fa，其中fxlnex1lnx，则（）n1nB．a2023a2024A．a为单调递减数列n121C．an1anD．aaaa1123n2n数学试卷第2页共6页三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）212．已知等差数列a满足a584，前n项和为Sn，则S9．n13．已知向量，b为单位向量，且ab，向量c与r．r1푎+3푏共线，则|bc|的最小值为214．如图，已知正方体ABCDABCD的棱长为2，点E,F,G,H分别为1111棱，AD，AB，BC的中点，且点E,F,G,H都在球O的表面上，1111111点P是球O表面上的动点，当点P到平面A的距离最大时，异面11直线与所成角的余弦值的平方为．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）Sn1121513分）设S为数列a的前n项和，已知是首项为、公差为的等差数列．nnnn13(1)求a的通项公式；nn2n1a(2)令n，求数列bn的前项积．nTSnn1615分）某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．，从X的取值中随机抽取K（KN(1)已知如下结论：若X~N,2，K2）个数据，*2记这K个数据的平均值为Y，则随机变量Y~N,,请利用该结论解决问题：假设面K包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为Y，求PY；数学试卷第3页共6页(2)6个面包，其中黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．附：随机变量服从正态分布N，则P0.6827，,2P220.9545，P330.9973．1715分）如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，且PB6BC，点O,Q分别为棱CD,PB的中点，且平面．(1)证明：平面；(2)求二面角PADQ的大小．数学试卷第4页共6页1817分）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点P2,2在C上，点P与1C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为．2(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点A0,1的直线l与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直1线l，直线PE与l交于点D，且，求直线AB的斜率．22DF2BF数学试卷第5页共6页1917分）已知fxae2x2e（其中e2.71828x(1)当a0时，求曲线yfx在点f处的切线方程；1(2)当a时，判断fx是否存在极值，并说明理由；21(3)xR,fx0，求实数a的取值范围．a数学试卷第6页共6页渝北中学2023-2024学年（下）高三2月月考质量监测数学参考答案一、单项选择题题号答案1A2C3B4D5B6A7D8C8.解：抛物线的焦点F1,0，过F1,0的斜率为0的直线为y0，直线y0与抛物线y24x有且只有一个交点，与条件矛盾，故直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为xmy1，2联立方程组y4x，得y24my40，方程y24my40的判别式16m160，2xmy121422416yyy2116y22设A,y,B,y，则yy4，1，所以y22，1212y21y214y2244由抛物线的性质得AFBF11，y21y2148y2148y2148AF2BF12332322.2y2y2y1115当且仅当时，等号成立.412二、多项选择题题号答案91011BCACDACDhxfxxe1xx，x11．解：对于AB，由已知得an1fa，令nexxhx定义域为x(0,)，，令g(x)exx，g(x)ex，xex当x(0,)时，此时g(x)0恒成立，故在)上单调递减，g(x)g(x)g(0)0，也可得ex10，即hx0，x故h(x)在)上单调递减，h(x)h(0)，当x0时，h(x)0，则h(x)0，故fxx，则faan，即an1a，故a为单调递减数列，nnn数学答案第1页共6页故A正确，显然a2023a2024，故B错误，1an，对于C，欲证aan，且由题意得an1faneann12ea1ean12n12an21即证eananan，即证an，取指数得e，ananan2an2又易知n0，化简得ean0，故证明ean0恒成立即可，1ane1ane令hxe2xex，x(0,)，而hxex(exx)0，aa2故hx在)上单调递增，且n0，故hn0，21an2恒成立，故a0a得证，故C正确，n即ean1anen12111411112n对于D，由C可知，1，a1，aa2，aan1，n，23222821n221111上式相加，得，aaaa123n2n122112n故1a23an1得证，故D正确.三、填空题21142212．1213.14．414．解：因为点E,F,G,H分别为棱AA，AD，AB，BC的中点，1111111且点E,F,G,H都在球O的表面上，则球O是正方体ABCD的棱切球，球心为对角线AC1的中点，半径为2，1111取AD的中点O，则点P为OO延长线与球O表面的交点时点P到平面ADDA的距离最大，11111此时OP12，OE1，PEOE21P422．2111连接OE，则////，PEO就是异面直线与所成角，因为OEOP2，所以222PEOEOP42212cosPEO22，222PEOE24222所以异面直线与所成角的余弦值的平方为.4数学答案第2页共6页四、解答题Sn11215．（13分）解：（1）由是首项为、公差为的等差数列，nn13Snnn1121n161n2nnnn1，即Snnn1，故33366n2n1n1当n2时，Sn1故SnSn1an当n1时，11，622n2n1n1n2n1n1n2nn12nn1，n2666321，符合上式，故an2；n62nan62nn262nnn2n1n1（2）由nn2，Sn，故bn，n2nn2nn6Sn6n216n62164162n1n2nn2则Tbbn．n1221422n1n12n1n150216．(15分)解：（1）由题意1000,K则100，K25)，于是随机变量Y的期望为，标准差为，1P(980Y1020)1所以Y:N2Y1020)0.9545，故PY980)0.02275；因P(9802（2）设取出黄色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2．2124351547531407312645135449则P028,P22,62287840121132P228.2657840故随机变量的分布列为：0125344984073p140840所以数学期望为：E)012.1217．(15分)解：（1）取中点G，连接GQ,GD点为PB中点，QGQAB,GQAB.1底面是边长为2的正方形，O为CD中点，AB,DOAB.2GQOQOD,GQOD四边形GQOD是平行四边形.平面PAD,OQ平面PAD；PAD,平面数学答案第3页共6页PBC,BCPBCDQBC平面.（2）平面底面是边长为2的正方形，DCBC,DQDCD,DQ平面DCQ，平面DCQ平面DCQ.QOQ平面DCQBCOQ.CQ平面PB26,QB6,BCQC2DCQBCCQ..底面是边长为2的正方形，DB22,DQ2DQCQ，O为CD中点，OQDC.BCOQ,DCBCC,平面ABCD，平面ABCDOQ平面ABCD.取中点E，以OE,OC,OQ所在直线分别为x,y,z轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz，则O0,0,Q0,1,A1,0,B0,D1,0,P1,2，4,0,2,AD0,0,AQ，所以AP设平面PAD法向量为mx,y,z，mAP4x2zm00则mAD2x01设平面QAD法向量为nx,y,z，11mnnAQ211102则，cosm,n，mn2nAD2x01π所以向量的夹角为，结合图形可知二面角PADQ为锐角，4π所以二面角PADQ的大小为．4y22x2218．(17分)解：（1）由题意设双曲线C的方程为1(ab0)，ab44221．①由点P2,2在C上，得ab2c2c12设C的上、下焦点分别为Fc，Fc，则，解得c6，21222y2x2所以a2b26．②由①②得a22，b24，故双曲线C的标准方程为1；24（2）由题意，直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为xmym2，2Ex,y，Fx,y，112数学答案第4页共6页xmy1,整理得m22y2mym40联立，得方程组222y2x212422m所以m24，Δ2m24m2240，解得4，m22m2m2421y24．所以yy，yy，则3yy12m212m212222107710761077当直线PE的斜率不存在时,E2,F1,,D,B,,直线AB的斜率为．21212yx22，所以点D的坐标为当直线PE的斜率存在时，直线PE的方程为21y22y，212212y2my2y2m11y2221y221由1my1，可得22，1121212由，得点B为DF的中点，所以DF2BFm2yy3yy42yy1my1y2221y211y22xB1my121212，222y22111121y2y21y2yyy2y212121y22kAB则B,y，所以1y1y2022112311y2212y221y21．2221y21y219．(17分)解：（1）当a0时，fxx2x1e，2ex，可得fx4e,f12e，则f1所以曲线yfx在点f处的切线方程为y2e4ex，即y4ex2e；1212（2）当a时，fxe2x2e，定义域为R，xxe2x2xeexxex2x2，令Fxex2x2，则Fx可得fxe2，当x,ln2时，Fx0；当xln2,时，Fx0，所以Fx在,ln2递减，在ln2,上递增，数学答案第5页共6页2ln20，所以F(x)minFln222ln22